Для игры в классики на земле нарисован ряд клеток, в которые вписаны по порядку числа от 1 до 10 (см. рис). 1 4 5 8 9. Опять увидеть граф: счет вершин и ребер 7. Какое наибольшее число клеток доски 99 можно разрезать по обеим диагоналям, чтобы при этом доска не распалась на

Все задачи на плюсик группы 9-2
Жадный алгоритм
ЖА1. На блюде лежат 15 кусков сыра двух весов. Сначала Вася может разрезать некоторые из этих кусков (но не все) каждый на две части так, чтобы в результате снова получились куски двух весов. Затем Петя берет себе один из кусков, потом Вася – один из оставшихся кусков, затем снова Петя и т.д. пока не разберут весь сыр. Каждый старается получить как можно больше. Каков результат игры при наилучших действиях сторон?
ЖА2. Два мага сражаются друг с другом. Вначале они оба парят над морем на высоте 100 м. Маги по очереди применяют заклинания вида “уменьшить высоту парения над морем на a м у себя и на b м у соперника”, где a, b – действительные числа, 0 < a < b. Набор заклинаний у магов конечен и одинаков, их можно использовать в любом порядке и неоднократно. Маг выигрывает дуэль, если после чьего-либо хода его высота над морем будет положительна, а у соперника – нет. Существует ли такой набор заклинаний, что второй маг может гарантированно выиграть (как бы ни действовал первый)?
ЖА3. На первой горизонтали шахматной доски стоят 8 одинаковых черных ферзей, а на последней – 8 одинаковых белых ферзей. За какое минимальное число ходов белые ферзи могут обменяться местами с черными? Ходят белые и черные по очереди, по одному ферзю за ход.
ЖА4. а) 100 карточек в стопке пронумерованы числами от 1 до 100 сверху вниз. Двое играющих по очереди снимают сверху по одной или нескольку карточек и отдают противнику. Выигрывает тот, у кого первого произведение всех чисел на карточках станет кратно 1000000. Каков будет результат игры при правильной игре сторон? б) Тот же вопрос при N! карточек, выигрывает тот, у кого первого произведение разделится на N!
Увидеть граф
9+. Для игры в классики на земле нарисован ряд клеток, в которые вписаны по порядку числа от 1 до 10 (см. рис).
1
4
5
8
9

2
3
6
7
10

Маша прыгнула снаружи в клетку 1, затем попрыгала по остальным клеткам (каждый прыжок – на соседнюю по стороне клетку) и выпрыгнула наружу из клетки 10. Известно, что на клетке 1 Маша была 1 раз, на клетке 2 – 2 раза, ..., на клетке 9 – 9 раз. Сколько раз побывала Маша на клетке 10?
УГ1. На шахматной доске 5(5 расставили максимальное число коней так, чтобы они не били друг друга. Докажите, что такая расстановка – единственная.
УГ2. На шахматной доске стоят две одинаковых фишки. За один ход можно сдвинуть одну из фишек на соседнее поле по вертикали или горизонтали. Так ходили, пока не прошли через все возможные позиции. Докажите, что какая-то позиция встретилась не менее двух раз.
УГ3. 10 кружковцев образовали дежурную команду для решения домашних задач. В команде всегда не менее 3 человек. Каждый вечер в команду добавляется один человек либо из неё исключается один человек. Можно ли будет перебрать все допустимые составы команды ровно по одному разу?
Опять увидеть граф: счет вершин и ребер
7. Какое наибольшее число клеток доски 9(9 можно разрезать по обеим диагоналям, чтобы при этом доска не распалась на несколько частей?
ОУГ1. Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок, по 2 бусинки в каждую коробку. а) Докажите, что можно выбрать по одной бусинке из каждой коробки так, что все выбранные будут разного цвета. б) Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.
ОУГ2. В Зурбагане сеть железных дорог устроена так: все города стоят на кольце; кроме того, столица соединена отдельными ветками с каждым из городов, кроме соседей по кольцу. Правительство Зурбагана разбило сеть на участки между соседними городами и постановило разделить эти участки между двумя компаниями так, чтобы можно было проехать между любыми двумя городами как по дорогам только первой компании, так и по дорогам только второй компании. Можно ли выполнить постановление правительства?
ОУГ3. В классе 30 человек. За месяц было 29 дежурств, в каждом дежурила пара учеников. Докажите, что можно так выставить всем ученикам класса по одной оценке по 5-балльной шкале, что будет выставлена хотя бы одна пятерка, и в каждой паре дежуривших сумма оценок будет равна 8.
ОУГ4. В строку выписаны n различных чисел. За одну операцию можно поменять местами два любых числа. За какое наименьшее число операций можно гарантировано расставить числа по возрастанию?

Московские сборы, осень 2013, 9 класс, А.Шаповалов, www.ashap.info

Heading 2 Heading 3Default Paragraph Font Plain Text
Без интервалаSasjaUC:\M\Papa\Math\Занятия и кружки\Московские сборы\2013осень\21(9-1) Все задачи на+.docSasjaQC:\Users\Sasja\AppData\Local\Temp\Auto
·
·:\M\Papa\Math\Занятия и кружки\Московские сборы\2013осень\21(9-2) Все задачи на+.docSasjaQC:\Users\Sasja\AppData\Local\Temp\AutoRecovery save of 21(9-2) Все задачи на+.asdSasjaUC:\M\Papa\Math\Занятия и кжки\Московские сборы\2013осень\21(9-2) Все задачи на+.docПериодичность и непериодичность. Зацикливание.
11+. В тридесятом королевстве у каждого замка и каждой развилки сходятся по три дороги. Рыцарь, Любящий Разнообразие, выехал из своего замка и по очереди поворачивает то направо, то налево. Докажите, что рано или поздно он приедет к своему замку.
ПЦ1. Докажите, что среди чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... бесконечно много а) кратных 3; b) кратных 17.
ПЦ2. Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,12345678910111220092010 – иррациональное число. (Сдавать письменно)
ПЦ3. В конечной последовательность из N членов не все числа одинаковы. Она периодична одновременно с двумя периодами a) 13 и 14; b) p и q (где p и q – взаимно просты).
Каково наибольшее значение N?
ПЦ4 Последовательность задана рекуррентным соотношением 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415. Докажите, что последовательность периодична ( число x1 рационально.
Узкие места
6. б) У Пети есть 27 белых кубиков 1(1(1. Он хочет сложить из всех них куб снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? УМ1. Какое наименьшее количество квадратиков 1(1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25(25, разделенного на 625 квадратиков 1(1?
УМ2. Какое наименьшее число королей можно расставить на белых полях шахматной доски 8Ч8 так, чтобы они побили все свободные поля (как чёрные, так и белые)?
УМ3. Есть 64 белых кубика со стороной 1. Катя хочет сложить из куб 4Ч4Ч4, белый снаружи. Какое наименьшее число граней должен испачкать проказник Егор, чтобы ей помешать? УМ4. Натуральное число не оканчивается нулем. Обязательно ли найдется кратное ему натуральное число, в записи которого каждая следующая цифра не меньше предыдущей?
Разрезания: счет узких мест, соответствие
Р
·ажите, что рано или поздно он приедет к своему замку.
Периодичность и непериодичность. Зацикливание.
11+. В тридесятом королевстве у каждого замка и каждой развилки сходятся по три дороги. Рыцарь, Любящий Разнообразие, выехал из своего замка и по очереди поворачивает то направо, то налево. Докажите, что рано или поздно он приедет к своему замку.
ПЦ1. Докажите, что среди чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... бесконечно много а) кратных 3; b) кратных 17.
ПЦ2. Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,12345678910111220092010 – иррациональное число. (Сдавать письменно)
ПЦ3. В конечной последовательность из N членов не все числа одинаковы. Она периодична одновременно с двумя периодами a) 13 и 14; b) p и q (где p и q – взаимно просты).
Каково наибольшее значение N?
ПЦ4 Последовательность задана рекуррентным соотношением 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415. Докажите, что последовательность периодична ( число x1 рационально.
Узкие места
6. б) У Пети есть 27 белых кубиков 1(1(1. Он хочет сложить из всех них куб снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? УМ1. Какое наименьшее количество квадратиков 1(1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25(25, разделенного на 625 квадратиков 1(1?
УМ2. Какое наименьшее число королей можно расставить на белых полях шахматной доски 8Ч8 так, чтобы они побили все свободные поля (как чёрные, так и белые)?
УМ3. Есть 64 белых кубика со стороной 1. Катя хочет сложить из куб 4Ч4Ч4, белый снаружи. Какое наименьшее число граней должен испачкать проказник Егор, чтобы ей помешать? УМ4. Натуральное число не оканчивается нулем. Обязательно ли найдется кратное ему натуральное число, в записи которого каждая следующая цифра не меньше предыдущей?
Разрезания: счет узких мест, соответствие
Рз1. МЛР квадрат на треугольники так, чтобы каждый граничил ровно а) с тремя другими? б) не менее, чем с 4-мя другими?
Рз2. На какое наибольшее число равных невыпуклых многоугольников можно разрезать квадрат так, чтобы все стороны многоугольников были пар
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Периодичность и непериодичность. Зацикливание.
11+. В тридесятом королевстве у каждого замка и каждой развилки сходятся по три дороги. Рыцарь, Любящий Разнообразие, выехал из своего замка и по очереди поворачивает то направо, то налево. Докз1. МЛР квадрат на треугольники так, чтобы каждый граничил ровно а) с тремя другими? б) не менее, чем с 4-мя другими?
Рз2. На какое наибольшее число равных невыпуклых многоугольников можно разрезать квадрат так, чтобы все стороны многоугольников были параллельны сторонам квадрата и никакие два из этих многоугольников не получались друг из друга параллельным переносом?
Рз3. Многоугольник можно разрезать на 100 прямоугольников, но нельзя на 99. Докажите, что его нельзя разрезать на 100 треугольников.
Рз4. а) Торт имеет форму треугольника, в котором один угол в три раза больше другого. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) у
· Периодичность и непериодичность. Зацикливание.
11+. В тридесятом королевстве у каждого замка и каждой развилки сходятся по три дороги. Рыцарь, Любящий Разнообразие, выехал из своего замка и по очереди поворачивает то направо, то налево. Докажите, что рано или поздно он приедет к своему замку.
ПЦ1. Докажите, что среди чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... бесконечно много а) кратных 3; b) кратных 17.
ПЦ2. Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,12345678910111220092010 – иррациональное число. (Сдавать письменно)
ПЦ3. В конечной последовательность из N членов не все числа одинаковы. Она периодична одновременно с двумя периодами a) 13 и 14; b) p и q (где p и q – взаимно просты).
Каково наибольшее значение N?
ПЦ4 Последовательность задана рекуррентным соотношением 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415. Докажите, что последовательность периодична ( число x1 рационально.
Узкие места
6. б) У Пети есть 27 белых кубиков 1(1(1. Он хочет сложить из всех них куб снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? УМ1. Какое наименьшее количество квадратиков 1(1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25(25, разделенного на 625 квадратиков 1(1?
УМ2. Какое наименьшее число королей можно расставить на белых полях шахматной доски 8Ч8 так, чтобы они побили все свободные поля (как чёрные, так и белые)?
УМ3. Есть 64 белых кубика со стороной 1. Катя хочет сложить из куб 4Ч4Ч4, белый снаружи. Какое наименьшее число граней должен испачкать проказник Егор, чтобы ей помешать? УМ4. Натуральное число не оканчивается нулем. Обязательно ли найдется кратное ему натуральное число, в записи которого каждая следующая цифра не меньше предыдущей?
Разрезания: счет узких мест, соответствие
Рз1. МЛР квадрат на треугольники так, чтобы каждый граничил ровно а) с тремя другими? б) не менее, чем с 4-мя другими?
Рз2. На какое наибольшее число равных невыпуклых многоугольников можно разрезать квадрат так, чтобы все стороны многоугольников были параллельны сторонам квадрата и никакие два из этих многоугольников не получались друг из друга параллельным переносом?
Рз3. Многоугольник можно разрезать на 100 прямоугольников, но нельзя на 99. Докажите, что его нельзя разрезать на 100 треугольников.
Рз4. а) Торт имеет форму треугольника, в котором один угол в три раза больше другого. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку?
б) Та же задача для торта в форме тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в два раза больше одного из острых углов. в) Та же задача для торта, имеющего форму треугольника с углами 20
·, 30
·, 130
·.
(Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)
Конструкции по индукции
4+. Набор гирь целого веса называется хорошим, если ими можно уравновесить любой вес от 1 до суммы весов всех гирь (при этом гири разрешается класть на обе чаши весов). Например, набор 1, 2, 6 – хороший. Докажите, ложить в эту коробку?
б) Та же задача для торта в форме тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в два раза больше одного из острых углов. в) Та же задача для торта, имеющего форму треугольника с углами 20
·, 30
·, 130
·.
(Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)
Конструкции по индукции
4+. Набор гирь целого веса называется хорошим, если ими можно уравновесить любой вес от 1 до суммы весов всех гирь (при этом гири разрешается класть на обе чаши весов). Например, набор 1, 2, 6 – хороший. Докажите, что для любого n найдется такой хороший набор из n гирь, что любой вес уравновешивается единственным образом.
6+. Многоугольник на клетчатой плоскости состоит из n клеток. а) Докажите, что его клетки можно занумеровать от 1 до n так, чтобы для любого k клетки с номерами от 1 до k образовывали связную фигуру. б) Докажите, что его периметр не превосходит 2n+2.
КИ1. Докажите, что что для любого n найдутся n различных дробей с числителями 1 и суммой 1.
КИ2. В шахматном турнире каждый с каждым сыграли по разу. Докажите, что можно так занумеровать участников, чтобы каждый не проиграл участнику со следующим номером. (Сдать письменно)
КИ3. На фестивале патриотической 100 певцов из разных стран должны исполнить по одной песне. Каждая песня оскорбительна не более, чем для трёх других участников. Исполнив песню, певец сразу уезжает, остальные слушают следующие песни. Докажите, что песни можно исполнить в таком порядке, чтобы каждый был оскорблён не более трёх раз.
КИ4. Докажите, что для любого n на плоскости можно отметить конечное число точек так, чтобы на расстоянии 1 от каждой было ровно n отмеченных точек.


аллельны сторонам квадрата и никакие два из этих многоугольников не получались друг из друга параллельным переносом?
Рз3. Многоугольник можно разрезать на 100 прямоугольников, но нельзя на 99. Докажите, что его нельзя разрезать на 100 треугольников.
Рз4. а) Торт имеет форму треугольника, в котором один угол в три раза больше другого. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку?
б) Та же задача для торта в форме тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в два раза больше одного из острых углов. в) Та же задача для торта, имеющего форму треугольника с углами 20
·, 30
·, 130
·.
(Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)

что для любого n найдется такой хороший набор из n гирь, что любой вес уравновешивается единственным образом.
6+. Многоугольник на клетчатой плоскости состоит из n клеток. а) Докажите, что его клетки можно занумеровать от 1 до n так, чтобы для любого k клетки с номерами от 1 до k образовывали связную фигуру. б) Докажите, что его периметр не превосходит 2n+2.
КИ1. Докажите, что что для любого n найдутся n различных дробей с числителями 1 и суммой 1.
КИ2. В шахматном турнире каждый с каждым сыграли по раз14 [

Приложенные файлы

  • doc 44472601
    Размер файла: 107 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий