4. Исследовать отношение Р на наличие стандартных свойств (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность).


Задание
Дано:
Универсум
Множества , ,
Бинарные отношения
Функция

Требуется:
1. Найти

2. Решить уравнение
3. Построить графы и матрицы отношений P и Q, указать , ,
4. Исследовать отношение Р на наличие стандартных свойств (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность).
5. Построить граф и матрицу отношения , указать , .
6. Построить граф и матрицу отношения , указать , .
7. Построить графы и матрицы замыканий отношения Р:
. Для каждого из замыканий указать и.
8. Найти, построить естественную проекцию :.
9. Построить таблицу значений, граф и матрицу функции f. Указать .
10. Построить граф и матрицу отношения .
11. Найти , построить индуцированное отображение : .
12. Построить граф и матрицу отношения М. Указать , .
13. Доказать, что отношение М есть отношение строгого порядка в А.
14. Исследовать М на линейность (полноту).
15. Интерпретируя отношение М как «меньше», найти в множестве А относительно М минимальные и максимальные, наименьшие и наибольшие элементы (если таковые существуют).
Решение
1. Найти



2. Решить уравнение


3. Построить графы и матрицы отношений P и Q, указать , ,
рефлексивность симметричность граф матрица



4. Исследовать отношение Р на наличие стандартных свойств (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность).
По матрице отношения Р определяем его свойства:
Не рефлексивно, т.к. на главной диагонали имеются нули.
Не антисимметрично, т.к. на главной диагонали имеются единицы.
Не симметрично
Не антисимметрично
Для определения является ли отношение транзитивным, возведем его матрицу в квадрат:

По полученной матрице видно, что отношение Р не транзитивно.
5. Построить граф и матрицу отношения , указать , .



6. Построить граф и матрицу отношения , указать , .



7. Построить графы и матрицы замыканий отношения Р: . Для каждого из замыканий указать и.







8. Найти, построить естественную проекцию :.


9. Построить таблицу значений, граф и матрицу функции f. Указать .
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f(x) 5 7 1 2 2 4 3 2 1 1


10. Построить граф и матрицу отношения .
или в матричной форме


11. Найти , построить индуцированное отображение : .


12. Построить граф и матрицу отношения М. Указать , .


13. Доказать, что отношение М есть отношение строгого порядка в А.
Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. По матрице отношении М:
1. Отношение антирефлексивно, т.к. на главной диагонали нет 1.
2. Отношение антисимметрично, т. к. при aRb и bRa a=b.
3. Для проверки на транзитивность возведем матрицу отношения в квадрат:

Сравнивая полученную матрицу с исходной видим, что отношение транзитивно.
Следовательно, отношение М является отношением строгого порядка.
14. Исследовать М на линейность (полноту).
Рассмотрим отношения связности:

На основе этого строим ранжированный граф:

Граф представляет собой прямую линию, т.е. в нем нет параллельных вершин, следовательно, отношение М линейно.
15. Интерпретируя отношение М как «меньше», найти в множестве А относительно М минимальные и максимальные, наименьшие и наибольшие элементы (если таковые существуют).
Рассмотрим ранжированный граф.

В графе нет параллельных вершин, поэтому минимальный элемент является наименьшим, а максимальный – наибольшим. Наименьший элемент – 3, наибольший элемент – 7.

Приложенные файлы

  • docx 44050084
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий