Вычисление преобразований Фурье. Свойства классического преобразования Фурье на группе целых чисел, окружности и прямой. Преобразование Фурье как преобразование Гельфанда.


Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»



Факультет Математики

Программа дисциплины Функциональный анализ


для направления 13 FILLIN \* MERGEFORMAT 14010100.62 "Математика"15 подготовки бакалавра




Автор программы: Пирковский А.Ю., к.ф.-м.н., доцент, [email protected]


Одобрена на заседании кафедры Геометрии и топологии «___»____________ 2010 г.
Зав. кафедрой В.А. Васильев

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2010 г.
Председатель С.К. Ландо

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2010 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________ 13 FILLIN \* MERGEFORMAT 1415










Москва, 2010

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
ГОС ВПО;
Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра. 13 FILLIN \* MERGEFORMAT 1415
Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации Математика13 FILLIN \* MERGEFORMAT 1415, утвержденным в 2010 г.
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины “Функциональный анализ” являются знакомство студентов с базовыми принципами функционального анализа, его приложений и взаимосвязей с другими областями математики и математической физики, а также умение применять эти принципы к конкретным математическим объектам.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать основные понятия и теоремы функционального анализа
Уметь применять технику функционального анализа в различных ситуациях
Приобрести опыт работы с конкретными примерами абстрактных функционально-аналитических объектов
Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу общие профессиональные дисциплины и блоку основных дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.

Тематический план учебной дисциплины

Название раздела
Всего часов
Аудиторные часы
Самостоятельная работа




Лекции
Семинары
Практические занятия


 
Нормированные и банаховы пространства
85
16
16
 
53

 
Банаховы алгебры, элементарная спектральная теория, компактные и фредгольмовы операторы
85
16
16
 
53

 
Локально выпуклые пространства, обобщенные функции, преобразование Фурье
104
18
18
 
68

 
Спектральная теория операторов в гильбертовом пространстве
104
19
19
 
66

 
Итого:
378
69
69
 
240

Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
1 год
Параметры **



1
2
3
4


Текущий
(неделя)
Контрольная работа

8

9
Письменная работа 90 минут


Коллоквиум

6
8
8


Промежуточный
Зачет
v

v

Письменная работа 180 минут


Экзамен

v


Устный экзамен

Итоговый
Экзамен




v
Устный экзамен



Критерии оценки знаний, навыков
Контрольная работа: студент должен продемонстрировать умение решать задачи по материалу, пройденному к моменту написания контрольной.
Зачет: студент должен знать основные определения и формулировки основных теорем и продемонстрировать умение решать задачи по пройденному материалу.
Экзамен: студент должен знать основные определения, примеры, формулировки и доказательства основных теорем.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Содержание дисциплины

Нормированные и банаховы пространства
Нормированные пространства и ограниченные линейные операторы
Содержание лекций. Нормированные пространства; примеры: конечномерные пространства, пространства последовательностей, пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Ограниченные линейные операторы, их простейшие свойства, эквивалентность ограниченности и непрерывности; примеры: операторы умножения, сдвига, интегральные операторы. Топологические свойства линейных операторов. Мажорирование и эквивалентность норм. Классификация конечномерных нормированных пространств.
Содержание семинаров. Изучение свойств конкретных нормированных пространств и конкретных линейных операторов. Вычисление норм операторов.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 3, семинары – 3, самостоятельная работа – 9.
Конструкции нормированных пространств
Содержание лекций. Факторпространства. Универсальное свойство факторпространств. l^p-суммы.
Содержание семинаров. Изучение свойств конкретных нормированных пространств и их конструкций.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 1, семинары – 1, самостоятельная работа – 3.
Банаховы пространства
Содержание лекций. Напоминания о полных метрических пространствах. Банаховы пространства. Полнота классических пространств. Полнота факторпространств. Полнота пространства линейных операторов. Продолжение линейных операторов “по непрерывности”. Пополнение.
Содержание семинаров. Исследование конкретных нормированных пространств на предмет полноты. Знакомство с тензорными произведениями банаховых пространств.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 3, семинары – 3, самостоятельная работа – 9.
Гильбертовы пространства
Содержание лекций. Полуторалинейные формы; поляризация. Скалярные произведения и предгильбертовы пространства; примеры. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца; норма на предгильбертовом пространстве. Гильбертовы пространства; примеры и конструкции. Проекции и ортогональные дополнения. Направленности и суммируемые семейства. Ортогональные и ортонормированные системы. Коэффициенты Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Ортонормированные базисы. Эквивалентность свойств тотальности, максимальности и базисности ортонормированных систем. Равенство Парсеваля. Ортогонализация. Существование ортонормированных базисов. Теорема Рисса-Фишера. Классификация гильбертовых пространств.
Содержание семинаров. Изучение различных геометрических свойств гильбертовых пространств. Проверка классических нормированных пространств на “гильбертизуемость”. Ортогонализация; классические ортогональные многочлены. Ряды Фурье. Знакомство с тензорными произведениями гильбертовых пространств.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 4, семинары – 4, самостоятельная работа – 12.
Линейные функционалы
Содержание лекций. Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Примеры. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Описание пространств, сопряженных к классическим нормированным пространствам. Каноническое вложение во второе сопряженное; рефлексивность. Пространство, сопряженное к подпространству и к факторпространству. Сопряженный оператор в случае гильбертовых пространств. C*-тождество.
Содержание семинаров. Описание пространств, сопряженных к некоторым нормированным пространствам. Исследование различных пространств на рефлексивность. Связь свойств банахова пространства и его сопряженного (рефлексивность, сепарабельность). Описание сопряженных операторов к конкретным линейным операторам. Изучение связи между свойствами линейного оператора и его сопряженного.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 3, семинары – 3, самостоятельная работа – 9.
Теорема Банаха об обратном операторе и теорема Банаха-Штейнгауза
Содержание лекций. Теорема Бэра. Свойство бочечности банаховых пространств. Теорема Банаха-Штейнгауза и ее следствия. Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике.
Содержание семинаров. Необходимость полноты в условиях теорем Банаха и Банаха-Штейнгауза. Различные следствия и приложения теорем Банаха и Банаха-Штейнгауза. Исследование связи свойств линейного оператора со свойствами его сопряженного. Точные последовательности банаховых пространств.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа – 11.

Литература по разделу: 1,3,4,7,9,10,11,13,14,17,20
Банаховы алгебры и элементарная спектральная теория
Алгебраические свойства спектра
Содержание лекций. Спектр элемента алгебры. Примеры. Поведение спектра при гомоморфизмах. Спектр относительно подалгебры. Спектр произведения. Спектр обратного элемента. Теорема об отображении спектра для многочленов.
Содержание семинаров. Вычисление спектров элементов различных алгебр.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа – 6.
Банаховы алгебры и спектры их элементов
Содержание лекций. Банаховы алгебры. Примеры. Свойства группы обратимых элементов. Характеры. Компактность спектра. Резольвентная функция. Непустота спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус.
Содержание семинаров. Вычисление спектров элементов различных банаховых алгебр, в особенности спектров классических линейных операторов. Точечный, непрерывный и остаточный спектры.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 3, семинары – 3, самостоятельная работа – 11.

Литература по разделу: 1,3,5,6,7,9,10,12,15,17,18,19,20
Компактные и фредгольмовы операторы
Компактные метрические пространства
Содержание лекций. Эквивалентность компактности, счетной компактности и секвенциальной компактности для метрических пространств. Вполне ограниченные метрические пространства и их свойства. Критерий компактности в терминах полной ограниченности. Некомпактность единичной сферы в бесконечномерном нормированном пространстве. Теорема Арцела.
Содержание семинаров. Исследование различных метрических пространств на компактность. Критерии компактности подмножеств классических банаховых пространств. Метрика Хаусдорфа. Расстояние Банаха-Мазура.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 3, семинары – 3, самостоятельная работа – 9.
Компактные операторы между банаховыми пространствами
Содержание лекций. Компактные линейные операторы. Примеры. Основные свойства компактных операторов. Компактность сопряженного оператора. Компактность интегрального оператора. Конечномерность собственных подпространств компактного оператора.
Содержание семинаров. Исследование конкретных линейных операторов на компактность.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа – 6.
Фредгольмовы операторы и индекс
Содержание лекций. Фредгольмовы операторы; индекс. Примеры. Аддитивность индекса. Общая теорема Фредгольма. Альтернатива Фредгольма. Приложения к интегральным уравнениям. Приложение: спектр компактного оператора. Теорема С. М. Никольского. Алгебра Калкина. Дальнейшие свойства индекса. Существенный спектр.
Содержание семинаров. Исследование на фредгольмовость, вычисление индекса и существенного спектра конкретных линейных операторов.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 4, семинары – 4, самостоятельная работа – 12.
Компактные нормальные операторы и теорема Гильберта-Шмидта
Содержание лекций. Некоторые свойства нормальных операторов в гильбертовом пространстве. Теорема Гильберта-Шмидта о диагонализации компактных нормальных операторов. Теорема Шмидта о строении компактных операторов; s-числа. Приложение: задача Штурма-Лиувилля.
Содержание семинаров. Исследование различных свойств нормальных операторов. Диагонализация конкретных компактных операторов.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа – 9.

Литература по разделу: 1,3,4,5,7,9,10,11,13,14,17,20
Локально выпуклые пространства
Локально выпуклые пространства и непрерывные линейные операторы
Содержание лекций. Топологические векторные пространства. Топология, порожденная семейством полунорм. Полинормированные пространства. Примеры: пространства непрерывных, гладких и голоморфных функций; сильная и слабая операторные топологии. Непрерывные полунормы и непрерывные линейные операторы между полинормированными пространствами. Локально выпуклые пространства и их “полинормируемость”. Критерии нормируемости и метризуемости локально выпуклого пространства.
Содержание семинаров. Исследование свойств (метризуемость, нормируемость, сепарабельность и т.п.) конкретных локально выпуклых пространств. Полные локально выпуклые пространства; пространства Фреше.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа – 6.
Дуальные пары и слабые топологии
Содержание лекций. Дуальные пары векторных пространств. Примеры. Сопряженный оператор. Поляра. Слабая топология. Теорема о биполяре. Теорема Банаха-Алаоглу.
Содержание семинаров. Исследование различных свойств слабых топологий. Слабые топологии и банаховы пространства: теоремы Мазура и Голдстайна; слабые топологии и рефлексивность.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа – 6.
Преобразование Гельфанда коммутативных банаховых алгебр
Содержание лекций. Максимальные идеалы и характеры коммутативных банаховых алгебр. Гельфандов спектр и топология на нем. Преобразование Гельфанда, его основные свойства и примеры.
Содержание семинаров. Исследование спектра и преобразования Гельфанда на конкретных примерах.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа – 6.
Теоремы Крейна-Мильмана и Стоуна-Вейерштрасса
Содержание лекций. Крайние точки подмножества векторного пространства; примеры. Теорема Крейна-Мильмана и ее следствия. Теорема Стоуна-Вейерштрасса и ее следствия.
Содержание семинаров. Различные приложения теорем Крейна-Мильмана и Стоуна-Вейерштрасса.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа – 6.

Литература по разделу: 1,3,7,8,9,10,11,19,20,21


Обобщенные функции
Пространства основных (пробных) функций и обобщенных функций (распределений). Обобщенные производные
Содержание лекций. Пространства основных функций, примеры функций из этих пространств, топологии на этих пространствах. Пространства обобщенных функций. Примеры обобщенных функций. Порядок обобщенной функции. Дифференцирование обобщенных функций
Содержание семинаров. Исследование различных свойств пространств основных функций. Вычисление порядка обобщенных функций. Дифференцирование и сходимость обобщенных функций.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа – 6.
Носитель и строение обобщенных функций
Содержание лекций. Пучок обобщенных функций. Носитель обобщенной функции; его свойства. Обобщенные функции с компактным носителем. Строение обобщенных функций с одноточечным носителем и с компактным носителем.
Содержание семинаров. Различные задачи на действия с обобщенными функциями и сходимость обобщенных функций. Нахождение носителей обобщенных функций.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа – 6.
Свертка
Содержание лекций. Свертка функций и достаточные условия ее существования. Примеры. Свойства свертки;
·-образные последовательности. Свертка обобщенной и основной функции. Свертка и дифференцирование. Свертка обобщенных функций.
Содержание семинаров. Свойства свертки. Сглаживание.
Количество часов аудиторной работы: лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа – 8.

Литература по разделу: 1,2,3,9,15,21
Преобразование Фурье
Классическое преобразование Фурье
Содержание лекций. Классическое преобразование Фурье на прямой. Примеры. Свойства преобразования Фурье. Преобразование Фурье и дифференцирование. Функции Эрмита. Преобразование Фурье и сдвиг. Преобразование Фурье и свертка.
Содержание семинаров. Вычисление преобразований Фурье. Свойства классического преобразован

Приложенные файлы

  • doc 43040052
    Размер файла: 158 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий