Не пугайтесь. a) Как известно, между преобразованиями группы Лоренца и группы 4-мерных вращений O+(4) (или SO(4) по-новому)

Китаев А.Е.
Функции-векторы и функции-спиноры.

1. Примеры наборов (столбцов) функций.

Возьмем такой набор из трех сферических функций.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Заменим его на другой набор, произведя такие манипуляции с составляющими:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теперь произведем замену над параметром (, входящим в 1-й и 3-й элемент этого столбца. Фактически мы произведем поворот на угол (’’ ((’ =( -(’’ ). Используем хорошо знакомые тригонометрические соотношения.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Переставим для дальнейшего удобства строчки местами (и дополним их множителем sin():

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Сравним получившиеся соотношения с преобразованиями координат вектора двумерного пространства при повороте:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Отсюда видно, что 3-я и 1-я компоненты столбца аналогичны 1-й и 2-й координате вектора. Возьмем на себя смелость переставить компоненты столбца и заявить, что получившийся столбец 3-х функций весьма напоминает трехмерный вектор.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Для того, чтоб продолжить проверку аналогии в отношении поворота вокруг оси X (в плоскости YZ) на угол (’’, нужно, по-видимому, подобрать соответствующим образом угол ( (чтоб первая компонента занулилась).
Вспомним, что при введении параметризации трехмерных поворотов с помощью углов Эйлера, мы, производя замены координат, сперва совершаем поворот вокруг оси z (в плоскости XY), потом вокруг оси x (точнее вокруг ее нового направления), а потом снова вокруг оси z (ее направление на этом шаге тоже изменилось). Выбор угла (=(/2 соответствует выбору неподвижной оси (x в данном случае) для поворота.
Но мы здесь проводить подробно эти выкладки не будем.
Делаем вывод: такая тройка функций (сферических) фактически является трехмерным вектором. Так как при поворотах преобразуется подобно вектору.

Возьмем теперь такую четверку функций:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Заменим, как и раньше, угол ( на (-(’’ ((’ =( -(’’ ).
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Все это можно записать так:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Вспомним о существовании матрицы (3 (смотри теорию уравнения Дирака):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Так как
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
это соотношение можно записать так:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Этот закон напоминает правила преобразования уже не для вектора, а для спинора. Таким образом, похоже, дело обстоит так: если переставить компоненты столбца E, мы получим спинор (точнее биспинор) – тот самый, который входит в уравнение Дирака. Итак, подобная четверка функций похожа уже не на трехмерный вектор, а на биспинор.
Заметим, здесь мы рассматривали лишь вращения и не касались преобразований Лоренца.



2. Дифференциальное уравнение для этих наборов и его комплексификация.

Приведенные только что примеры функций, объединенных в столбцы, являются решениями некоторого уравнения. Приведем это уравнение:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Здесь k – это некоторое число, подбирая значение которого, мы добиваемся того, что некоторые функции (именно некоторые, а не любые) будут удовлетворять уравнению. Его называют собственным числом.
Будем называть это уравнение «первым» уравнением. Это уравнение более общее, чем уравнение для сферических функций. Фактически оно является квадратом инфинитеземального оператора для группы трехмерных вращений (квадратом момента). Кстати, второй набор (из 4-х компонент) уравнению сферических функций не удовлетворяет. Сферические же функции удовлетворяют не только уравнению для сферических функций, но и этому уравнению.
Проверим это для функции
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вычислим производные, входящие в уравнение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Подставим теперь все это в уравнение:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Как видно, вычисления достаточно просты.
Здесь сделаем некоторое сугубо математическое отступление, процитировав научные монографии. Не пугайтесь.
a) Как известно, между преобразованиями группы Лоренца и группы 4-мерных вращений O+(4) (или SO(4) по-новому) имеется взаимно однозначное соответствие в окрестности единичного элемента. (М.И. Петрашень , Е.Д.Трифонов, «Применение теории групп в квантовой механике», стр 275).
b) Группа SO(4) содержит циклическую группу 2-го порядка (т.е. из 2-х элементов) из операторов плюс-минус E, где E-тождественное преобразование. Фактор-группа группы SO(4) по этой подгруппе изоморфна прямому произведению двух групп SO(3) (Д.К.Фадеев, «Лекции по алгебре», стр. 400). Кстати, SO(3) – это как раз группа трехмерных вращений.
В связи с этими отступлениями возникает мысль «удвоить» первое уравнение, рассмотренное выше, то-есть добавить еще одно аналогичное слагаемое, но зависящее уже от других параметров. Кроме того, будем считать один или даже два параметра мнимыми.
Итак, произведем такой фокус – будем считать параметр ( чисто мнимым. Зачем? Мы хотим сделать «шаг» от вращений к преобразованиям Лоренца.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Уравнение после такой замены приобретает такой вид:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

или
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Будем называть это уравнение «вторым». Введем еще и третье уравнение, считая мнимым еще один параметр
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Запишем и удвоенное уравнение, фактически сложив первое и третье с некоторыми неопределенными множителями (и переименовав параметр ()
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Попробуем в качестве решения второго (а также третьего) уравнения испытать такую функцию (получается из рассмотренной выше с помощью аналогичной замены):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вычислим производную по ( (остальные производные не изменятся).
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Подставим во второе уравнение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Получилось то же самое (это результата и следовало ожидать, ведь мы произвели замену переменного и в уравнении, и в решении).

Теперь «испробуем» такую функцию (для первого уравнения):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Здесь все аргументы уже «половинные».
Начнем вычислять производные для подстановки в уравнение:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теперь – для W (это будет чуть посложнее).
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Подставляем все это в уравнение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Используем, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда, продолжаем преобразование выражения, полученного в результате подстановки в уравнение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
«Скомбинируем» первый и третий член в квадратных скобках (использовав формулу для котангенса половинного аргумента).
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Получим после этого

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Теперь опять – пусть параметр ( чисто мнимый.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Функция с учетом этого приобретает такой вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вычислим теперь производные по ( и (:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Подставим все это во второе уравнение (производные величины W) не изменятся.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Это то же самое. Уравнение будет удовлетворяться. Значение для k не изменится.

Вернемся теперь к функциям единичного аргумента. Попробуем наряду со столбцом
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

составить такой столбец из функций с мнимым (:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Ясно, что при «сдвигах» параметра ( будет наблюдаться нечто похожее на преобразование Лоренца. Что я имею ввиду?
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Если считать, что преобразуются координаты (ct) и z (под номерами 0 и 3), а третья координата (неподвижная) пусть будет y, то можно считать это таким столбцом:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Попробуем теперь «объединить» эти два столбца симметричным образом в объект из 4-х компонент:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Или так (чтоб вращения не затрагивали нулевую составляющую):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Похоже на то, что этот объект является аналогом 4-вектора.

3. Квадраты функций.

Дальше рассмотрим вот какую интересную задачку.
Сперва рассматриваем лишь векторы и спиноры (без привлечения четырехмерного пространства).
Возьмем множество рассмотренных нами функций от углов (,( и (. Кроме этого возьмем комплексные сопряжения от всех этих функций и составим из них второе множество.
Теперь составим попарные произведения, где первый сомножитель – функция из первого множества, а второй сомножитель – функция из второго множества.
Пример –
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Это, конечно, только часть возможных произведений.
Далее нас будут интересовать проекции получившихся произведений на функции из первого, исходного множества.
Для получения прикидочного значения попробуем использовать такие соотношения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Нас будет интересовать проекция на функцию
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Поэтому запишем (отбросив часть членов)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Под пропорциональностью имеется ввиду пропорциональность с точностью до некоторого действительного положительного множителя.
Можно записать и по-другому:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Кстати, можно ввести наряду с уже рассмотренными функциями просто константу, которая будет аналогом скаляра (назовем ее S). И рассмотреть (прикидочно) проекции величин E и на скаляр. Так как
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
эти проекции будут одного знака:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Аналогично
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вспомним, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Таким образом,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Причем здесь проекция точная, никакие члены не отбрасываются.

Далее попробуем такую комбинацию:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Попробуем найти проекцию этого произведения на функцию
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Точной проекции здесь тоже не получается, попробуем приближенную (прикидочную):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Отбросим член, пропорциональный квадрату синуса половинного аргумента.
Получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Далее снова возьмем столбец из четырех функций половинного аргумента
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Произведем замену части аргументов на мнимые:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

После этого попробуем скомпоновать произведения этих функций таким образом:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Похоже на то, что комбинация E1E2+E3E4 даст нулевую компоненту четырех вектора (в смысле рассмотренных выше проекций).


Приложенные файлы

  • doc 43039988
    Размер файла: 217 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий