Облачные вычисления время отклика гистерезисное управление динамическое масштабирование пороговая система преобразование Лапласа-Стилтьеса.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
21 УДК 221.35 Горбунова А.В. 1 , Самуйлов К.Е. 1 , Сопин Э.С. 1,2 1 России̮скии̮ университет дружб ы народов, г. Москва, Россия 2 Институт проблем информатики ФИЦ ИУ РАН, г. Москва, Россия П РЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАС А - СТИЛТЬЕСА ДЛЯ ВРЕМ ЕНИ ОТКЛИКА СИСТЕМЫ ОБЛАЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ГИСТЕРЕЗИСНЫМ УПРА ВЛЕНИЕМ И ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ОДНО ВРЕМЕННОЕ ЧИСЛО АКТИ ВАЦИЙ * АННОТАЦИЯ Для анализа показателей производительности модели системы облачных вычислений с динамическим масштабированием в статье рассмотрена многолинейная система массового обслуживания с гистерезисным управлением количеством включенных приборов на основе порогов длины очереди и немгновенным подключением дополнительных приборов , а также ограничением на одновременное количество активаций приборов с целью уменьшения вычислительной сложности без потери соответствующих свойств моделируемой системы. Р азработан р екуррентный метод вычисления преобразования Лапласа - Стилтьеса распределения времени пребывания заявки в системе и времени ож идания начала обслуживания. С помощью полученного преобразования проведен анализ характеристик системы облачных вычислений. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА Облачные вычисления; время отклика ; гистерезисное управление ; динамическое масштабирование ; пороговая система ; преобразование Лапласа - Стилтьеса . Anas t a s i a Gorbunova 1 , onstantin Saouylov 1 , Edward Sopin 1,2 1 R5D. 5niversity, oscow, Russia 2 nstitute of nforatics 0robles, FRC CSC RAS, oscow, Russia RES0O.SE TE A.ALYS S . TERS OF LA0LA CE - STELTJES TRA.SFO R FOR CLO5D CO05T.G SYST E 7T YSTERETC C O.TROL A.D LTED S5LTA.EO5S ACTVAT O.S ABSTRACT n the paper, cloud coputing syste with dynaic scaling is analyzed in ters of ultiserver queuing syste with hysteretic control of active server nubers based on queue length thresholds, and noninstantaneous server activation. To decrease coputing co plexity of the algoriths for evaluation of response tie characteristics, we provide the analysis under siplifying assuption that only three servers ay run activation procedures siultaneously. Recurrent algorith for Laplace - Stieltjes transfor of th e response tie and the sojourn tie is developed. The algorith is used to analyze response tie characteristics of a cloud coputing syste. EY7ORDS Cloud coputing; response tie ; hysteretic control ; dynaic scaling ; Laplace - Stieltjes transfor. Введе ние Под облачными вычислениями (англ. cloud coputing) обычно понимается предоставление пользователю компьютерных ресурсов и мощностеи̮ в виде интернет - сервиса. Системы облачных вычислении̮ применяются для хранения и обработки данных, для распределенных вычи слении̮ при решении научных и коммерческих задач. Современные облачные системы проектируются, как * Труды  Международной научной конференции «Конвергентные когнитивно - информационные технологии» (Convergent’2012), Москва, 21 - 22 ноября, 2012 22 правило, масштабируемыми, что позволяет системе справляться с высокои̮ нагрузкои̮ и иметь возможность снизить энергопотребление в периоды снижения нагрузки. Проб лема недостаточного использования ресурсов возникает вследствие того, что их распределение обычно происходит в соответствии с пиковои̮ нагрузкои̮, которая может длиться только в течение короткого периода времени. Затем происходит переход в состояние простоя, но при этом потребляемая мощность может по - прежнему составлять около 10% от пиковои̮, что вызывает значительные потери энергии. Вообще говоря, методы повышения энергетическои̮ эффективности и энергосбережения можно условно разделить на три категории: измене ние рабочеи̮ нагрузки, влияние на поведение пользователеи̮, перенастрои̮ка ресурсов. Идея первого заключается в использовании дополнительного устрои̮ства между сервисом и пользователем, которое изменяет интенсивность входящего трафика посредством буферизации: увеличивает продолжительность « спящего » режима и удлиняет периоды высокои̮ загрузки [ 5 ]. Если же говорить о втором подходе, то положительныи̮ опыт внедрения мер стимулирования потребителеи̮ к энергосбережению имеется, в частности, у энергетических компании̮. Применение системы тарификации, предполагающеи̮ значительное снижение стоимости электроэнергии в периоды низкои̮ активности, например, ночью, побуждает потребителеи̮ к использованию электричества хотя бы отчасти в ночное время, что в свою очередь, приводит к выравниванию рабочеи̮ нагрузки. Однако у этих методов имеется существенныи̮ недостаток, которыи̮ заключается в снижении качества оказываемых услуг, что является нарушением SLA. Одним из способов реализации третьего подхода является динамическая активация вирт уальных машин [ 1,10 ]. Иными словами, регулируется количество ресурсов (серверов, машин) в зависимости от текущеи̮ нагрузки [ 2 - 4 ]. При анализе таких систем применяются модели с пороговым управлением обслуживанием, в том числе, с гистерезисным управлением кол ичеством включенных приборов [ 2,0 ]. При этом основнои̮ проблемои̮ при моделировании облачных систем с помощью методов теории телетрафика является высокая вычислительная сложность получаемых в результате алгоритмов [ 1 ]. В [ 0 ] исследована система с гистерезисн ым управлением обслуживанием для анализа предоставления услуги видео по требованию, стационарные характеристики системы получены с помощью матричных методов, которые не применимы для анализа современных облачных платформ из - за высокои̮ вычислительнои̮ сложно сти. В [ 10 ] система с гистерезисным управлением обслуживанием применена для анализа облачных систем с конечным числом приборов, а для случая трех приборов получен эффективныи̮ вычислительныи̮ алгоритм расчета стационарных характеристик функционирования облач нои̮ системы, имеющии̮ линеи̮ную сложность. Однако слабои̮ сторонои̮ предложеннои̮ модели является чрезвычаи̮но большая мощность пространства состоянии̮, которая имеет квадратичную зависимость от количества серверов. Поэтому в даннои̮ статье мы рассмотрим упрощенну ю модель с уменьшенным пространством состоянии̮ благодаря наложению ограничения на максимальное количество одновременно возможных активации̮, и проведем анализ ее характеристик с помощью известных свои̮ств преобразования Лапласа - Стилтьеса, алгоритм получения которого и будет предложен в даннои̮ работе. С т атья является развитием работы [10 ], а также продолжением работы [ 3 ], в которои̮ был разработан эффективныи̮ алгоритм вычисления стационарных вероятностеи̮ и показателеи̮ качества функционирования системы. Математи ческая модель Рассматривается система облачных вычислении̮ с гистерезисным подключением и отключением дополнительных виртуальных машин в виде многолинеи̮нои̮ системы массового обслуживания с K приборами, часть которых может быть не активн а, и конечнои̮ емкостью системы R . В систему поступает пуассоновскии̮ поток заявок с параметром  . Считаем, что приборы являются однородными, время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром  . В пустои̮ системе активным, т.е. готовым при поступлении заявки мгновенно начать ее обслуживание, является один прибор. При поступлении заявок в систему активация приборов происходит не мгновенно, при этом количество активных приборов определяется числом заявок в очереди, в которои̮ установлены парные пороги, заданные значениями векторов  L...L L  1 R 1   K H H H Η L ... 1 R 1     K H H H и  L...L L  1 R 1   K L L L L , L ... 1 R 1     K L L L где L 1 i i H L   R L 1   K i и L i i H L  1 L 1   K i . Заявки обслуживаются в порядке поступления, т.е. очередь имеет дисциплину FCFS (First Coe First Served). При поступлении на прибор заявка сохраняет место в очереди. Кроме того, накладывается ограничение на числ о одновременных активации̮, которых не 23 должно быть больше трех. Таким образом, когда в системе уже запущено два процесса активации, то при возникновении необходимости в запуске третьего дополнительного прибора его активация происходит мгновенно. Правила раб оты системы следующие: 1. Если в системе уже есть i H заявок, то при поступлении новои̮ заявки активируется (подключается) один  1   i - и̮ дополнительныи̮ прибор, но не мгновенно, а через случаи̮ное время, имеющее экспоненциальное распределение с параметром  ; R. Если в системе находится i L заявок и при этом одна заявка обслужилась, то  1   i - и̮ прибор мгновенно отключается, либо, если он не был активен, останавливается процедура его активации. ... ...                       1L1L0 1 1L1L1 L  1L1L1 1L1LR 1 1L1L H R RL1L1 L  1 RL1L1 H  1 RL1L L R RL1L H ... ... ... R RLRL1 L  1 RLRL1 H  1 RLRL L R RLRL H ... ... ...     R  R  R  R  R  R  R                R   R    1 SL1L H S SL1L1 L  R SL1L L R SL1L1 H  ... ... ...   R  R  R  R  R  R         1 SLRL H R SLRL L R SLRL1 H  ... ... ...          R  R  R  S  S  S  S  S  1 SLSL H R SLSL L R SLSL1 H  ... ... S      S  ...   R  R  R TLRL H S TLRL1 H  S TLRL L ... ... ...  S  S        R TLSL H S TLSL1 H  S TLSL L ... ... ...        R  R  T  T  R TLTL H S TLTL1 H  S TLTL L ... ...  ... ... ... ... S SLRL1 L  S SLSL1 L    S SL1L H R   S SLRL H   R  S  S SLSL H  S    R   R  R  R  R  S  S  S  T  T  T  R  S  T      I   II   II   III   III   I   I   IV   T TLRL H R   T TLSL H S   T TLTL H T   R  ... ... T TLRL1 L  T TLSL1 L  S  S  R  R       ... T TLTL1 L  T  T      S  R  S 5LSL H T 5LSL1 H  T 5LSL L ... ... ...  T  T        S 5LTL H T 5LTL1 H  T 5LTL L ... ... ...        R  R  5  5  S 5L5L H T 5L5L1 H  T 5L5L L ... ...  ... S  S  S  S  T  T  T  5  5  5   5LSL R S   5LTL R T   5L5L R 5   R  ... ... 5 5LSL1 L  5 5LTL1 L  T  T  S  S       ... 5 5L5L1 L  5  5       5  T  S   I   II   II   III  eve1L1 eveRL1 eveRLR eveSL1 eveSLR ... R    R  Рис. 1 . Диаграмма интенсивностей переходов для системы с K 5 приборами Функционирование системы описывается Марковским процессом   t X с множеством состоянии̮   L L R L L L R L 1 L S L L 1 L R L 1 L 1 L 0 L L 1 1 1 1                                       k k i K k R n L k k i K k H n L k k i k H n L i k H n n i k S k k k k k где k – необходимое количество приборов; i – количество активированных приборов; n – количество заявок в очереди. Для выбранного расположения пороговых значении̮ относительно 20 друг друга диаграмма интенсивностеи̮ переходов для системы с 5  K приборами представле на на рисунке 1 . Метод вычисления преобразования Лапласа - Стил тьеса для времени отклика системы Для того чтобы составить объективное мнение о поведении времени отклика системы, недостаточно знать только среднее значение этои̮ случаи̮нои̮ величины. Для всеи̮ полноты картины, а также для решения актуальных практических зад ач наряду с математическим ожиданием желательно иметь предста вление о значениях дисперсии и моментов высших порядков . В этои̮ связи определение функции распределения времени отклика – в нашем случае в терминах преобразования Лапласа - Стилтьеса (ПЛС) – приобр етает особую важность. Обозначим   L L s V  n i k – ПЛС времени ожидания  - и̮ в очереди заявки, если система находится в состоянии  L L  n i k . В случае, когда i   , время ожидания равно нулю, а значит . L 1   L L i  s V  n i k   (1) В остальных случаях будут справедливы рекуррентные соотношения, полученные, исходя из следующих соображении̮: время ожидания  - и̮ в очереди заявки , если система находится в состоянии  L L  n i k , складывается из суммы двух времен , а именно времени, проведенн ого в ожидании переход а в одно из следующи х возможны х состояни и̮ и времени пребывания заявки в очереди в ожидании обслуживания, оставшегося уже после совершения этого шага, проделав которыи̮, естественно, что заявка может сменить свое местоположение в очереди. Теперь, воспользовавшись формул ои̮ полнои̮ вероятности , запишем следующие соотношения для различных состоянии̮ системы: ; L 1 L      1 1 L L 1 1 L L L L k k  n k k  n k k  n k k H n L K k s V s k s V s k k s V                     ( 2 ) ; R L      1 L L 1 1 L 1 L 1 L L 1 1 1 K k s V s k s V s k k s V  L k k  L k k  L k k k k k                       ( 3 ) ; 1 1 L      1 L L 1 1 1 L L L L              K k s V s k s V s k k s V  H k k  H k k  H k k k k k       ( 0 ) ;    1 1 L L L L s V s K K s V  R K K  R K K       ( 1 ) ; L R L  R  R  R   R  R    R  R   R    1 L 1 L 1 L R L 1 1 L R L L R L k k  n k k  n k k  n k k  n k k H n L K k s V s k s V s k s V s k k s V                                          ( 2 ) ; L R L   1      1     1   1    1 L L 1 L 1 L 1 1 L 1 L L 1 L k k  n k k  n k k  n k k  n k k H n L K k s V s k s V s k s V s k k s V                                         ( 3 ) ; R L  R  R  R   R  R    R  R   R    1 1 1 1 L 1 L 1 L R L 1 1 L R L 1 L R L K k s V s k s V s k s V s k k s V  L k k  L k k  L k k  L k k k k k k                                            ( 4 ) ; R L   1     1     1   1    1 1 1 1 L L 1 L 1 L 1 1 L 1 L 1 L 1 L K k s V s k s V s k s V s k k s V  L k k  L k k  L k k  L k k k k k k                                           ( 5 ) ; 1 R L  R  R  R   R  R    R  R   R    L 1 L 1 L 1 L 1 1 1 L R L L R L                             K k s V s k s V s k s V s k k s V  H k k  H k k  H k k  H k k k k k k             (1 0 ) 21 ; 1 R L   1     1     1   1    L L 1 L 1 L 1 1 1 L 1 L L 1 L                            K k s V s k s V s k s V s k k s V  H k k  H k k  H k k  H k k k k k k             (1 1 ) . 1 L            L 1 L 1 1 L L L L K i s V s i K i i K s V s i K i i s V  R i K  R i K  R i K                     (12 ) Далее н а основе рекуррентных соотношении̮ (1) – ( 12 ) составл яется алгоритм уже для вычисления ПЛС L  L L s V n n i k с помощью которого можно наи̮ти ПЛС   s V времени ожидания и ПЛС   s W времени пребывания заявки в системе: ;      L L  L L L L    S n i k n n i k n i k s V s V  (1 3 ) L    s V s s W     (1 0 ) где n i k L L  – стационарные вероятности для соответствующих состоянии̮  L L  n i k , алгоритм вычисления которых приведен в [ 3 ]. Последовательность применения рекуррентных формул для вычисления   L L s V n n i k в силу громоздкости ее описания приводить не будем, но заметим, что в качестве первых шагов итерации следует рассматривать П ЛС для времени ожидания обслуживания заявки, стоящеи̮ первои̮ в очереди , постепенно отдаляя ее от обслуживающих приборов. Задача обращения ПЛС для времени ожидания начала обслуживания и времени отклика системы в случае большого объема накопителя и, соответст венно, значении̮ парных порогов активации и отключения дополнительных приборов, представляет собои̮ значительную вычислительную трудность. Однако благодаря свои̮ствам ПЛС, в частности, тому, что n - и̮ момент с лучаи̮нои̮ величины  равен:  0   1    n n n E     , где  0    n  – это значение n - и̮ производнои̮ ПЛС с лучаи̮нои̮ величины  в нуле, возможно вычислить моменты высших порядков и составить полноценное представление о поведении исследуемых случаи̮ных величин. Численный пример Рассмотрим применение разработанного метода расчета временных характеристик модели системы облачных вычисл ении̮ в терминах преобразования Лапласа - Стилтьеса для следующего набора данных: число приборов T  K , максимальная длина очереди 75  R , векторы нижних и верхних порогов  S0 L R0 L 10   L ,  T5 L S5 L R5   H , интенсивность обслуживания заявок 1   . Рис.2. Математическое ожидание времени отклика 22 На рисунке 2 изображены графики зависимости среднего времени отклика от интенсивности входящего потока  для различных значении̮ параметра  экспоненциального времени активации дополнительных приборов, на которых в целом наблюдается рост математического ожидания, что вполне естественно для увеличения значении̮ интенсивности входящего потока. При 1 . 0   колебания среднего времени отклика незначительны, и с ростом  кривая сглаживается, п оскольку большую часть времени заявки проводят в ожидании начала обслуживания. Для двух других значении̮  на графиках более четко выражены локальные минимумы, что объясняется выигрышем во времени при небольших значениях загрузки систем ы за счет быстрого и своевременного подключения дополнительных приборов. Рис.3. Дисперсия времени отклика Как видно из рисунка 3 , на графике дисперсии тоже присутствуют локальные минимумы, что также вызвано вышеописаннои̮ причинои̮. При малом значении 1 . 0   система ведет себя более определенно, так как серверы в преобладающем большинстве случаев не успевают вовремя подключиться и заявкам приходится длительную часть времени пребывать в очереди. При больших значениях  наблюдаются скачки, в частности, локальныи̮ максимум при T   . Заключение Разработанныи̮ метод расчета временных характеристик модели системы облачных вычислении̮ в терминах преобразования Лапласа - Стилтьеса в сочетании с полученными ранее р езультатами позволяет с высокои̮ точностью получить оценки важнеи̮ших показателеи̮ качества обслуживания, на которые следует ориентироваться при расчете и проектировании облачных систем. Однако, для реальных систем облачных вычислении̮, где вычислительные обла ка включают тысячи серверов и обеспечивают ресурсами десятки тысяч приложении̮, которые одновременно используют миллионы пользователеи̮, размерность пространства состоянии̮ модели создает вычислительные трудности, даже несмотря на линеи̮ную вычислительную слож ность предложенного в статье алгоритма. Поэтому задачеи̮ дальнеи̮ших исследовании̮ является разработка приближенного метода оценки показателеи̮ производительности модели системы облачных вычислении̮ . Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 14 - 07 - 00090, 15 - 07 - 03051, 15 - 07 - 03608. Литература 1. Basharin G.0., Gaidaaka Yu.V., Sauilov .E. atheatical teletraffic theory and its application to the analysis of the next generations ultiservice networks // Autoatic control and coputer sciences, Latvia, Riga: nstitute of electronics and coputer science of the Latvian university. - 2013. - №. 2. - 0. 11 - 21. 2. Гайдамака Ю.В., Печинкин А.В., Разумчик Р.В., Самуйлов А.К., Самуйлов К.Е., Соколов И.А., Сопин Э.С. , Шоргин С .Я. Распределение времени выхода из множества состояний перегрузки в системе  |  | 1 | | <,R> с гистерезисным управлением нагрузкой // Информатика и ее применения. - 2013. - Т. 3, Вып. 0. - С. 20 - 33. 23 3. Gaidaaka Yu., Sopin E., Talanova . A siplifi ed odel for perforance analysis of cloud coputing systes with dynaic scaling // 0roc. of the 14th nternational Scientific Conference “Distributed Coputer and Counica tion .etworks: Control, Coputation, Counications” DCC. - 2011, М .: ИПУ РАН , 2011. – 0. 31 – 42 0. Golubchik L., Lui J.C.S. Bounding of 0erforance easures for Threshold - Based 1ueuing Systes: Theory and Application to Dynaic Resource anageent in Video - on - Deand Servers // EEE Trans. Coputers. – 2002. - Vol. 11, №. 0. - 0. 313 - 332. 1. Goswai V., 0atra S.S., und G..B. 0erforance Analysis of Cloud with 1ueue - Dependent Virtual achines // 0roc. of 1st nt’l Conf. on Recent Advances in nforation Technology, Dhanbad, ndia. - 2012. - 0. 313 - 322. 2. axiras S., artonosi . Coputer Archite cture Techniques for 0ower - Efficiency // Synthesis Lectures on Coputer Architecture. - 2004. - Vol. 3, №. 1. - 0p. 1 - 203. 3. Lin ., 7ieran A., Andrew L.L.., Thereska E. Dynaic right - sizing for power - proportional data centers // .FOCO, 0roceedings EEE. - 2011. - 0. 1054 – 1102. 4. eisner D., Gold B.T., 7enisch T.F. 0owernap: eliinating server idle power // C SG0LA. .otices. – 2005. - Vol. 00. - 0. 201 – 212. 5. .edevschi S., 0opa L., annaccone G., Ratnasay S., 7etherall D. Reducing network energy consuptio n via sleeping and rate - adaptation // 0roceedings of the 1th 5SE.X Syposiu on .etworked Systes Design and pleentation , .SD’04, Berkeley, CA, 5SA. 5SE.X Association. - 2004. - 0. 323 – 332. 10. Shorgin S.Y., 0echinkin A.V., Saouylov .E., Gaidaaka Y.V. , Gudkova .A., Sopin E.S. Threshold - based 1ueuing Syste for 0erforance Analysis of Cloud Coputing Syste with Dynaic Scaling // 0roc. of the 12th nternation al Conference of .uerical Analysis and Applied atheatics C.AA - 2010, Rhodes, Greece, 2010, 5SA, A0 0ublishing - 2011. - Vol. 1204. - 0. 1 – 3. References 1. Basharin G.0., Gaidaaka Yu.V., Sauilov .E. atheatical teletraffic theory and its application to the analysis of the next generations ultiservice networks // Autoatic control and coputer sciences, Latvia, Riga: nstitute of electronics and coputer science of the Latvian university. - 2013. - №. 2. - 0. 11 - 21. 2. Gaydaaka Yu.V., 0echinkin A.V., Razuchik R.V., Sauylov A.., Sauylov .E., Sokolov .A., Sopin E .S., Shorgin S.Ya. Raspredelen ie vreeni vykhoda iz nozhestva sostoyaniy peregruzki v sistee  |  | 1 | | <,R> s gisterezisny upravlenie nagruzkoy // nforatika i ee prieneniya. - 2013. - T. 3, Vyp. 0. - S. 20 - 33. 3. Gaidaaka Yu., Sopin E., Talanova . A siplified odel fo r perforance analysis of cloud coputing systes with dynaic scaling // 0roc. of the 14th nternational Scientific Conference “Distributed Coputer and Counica tion .etworks: Control, Coputation, Counications” DCC. - 2011, М .: ИПУ РАН , 2011. – 0. 31 – 42 0. Golubchik L., Lui J.C.S. Bounding of 0erforance easures for Threshold - Based 1ueuing Systes: Theory and Application to Dynaic Resource anageent in Video - on - Deand Servers // EEE Trans. Coputers. – 2002. - Vol. 11, №. 0. - 0. 313 - 332. 1. Goswai V., 0a tra S.S., und G..B. 0erforance Analysis of Cloud with 1ueue - Dependent Virtual achines // 0roc. of 1st nt’l Conf. on Recent Advances in nforation Technology, Dhanbad, ndia. - 2012. - 0. 313 - 322. 2. axiras S., artonosi . Coputer Architecture Techniqu es for 0ower - Efficiency // Synthesis Lectures on Coputer Architecture. - 2004. - Vol. 3, №. 1. - 0p. 1 - 203. 3. Lin ., 7ieran A., Andrew L.L.., Thereska E. Dynaic right - sizing for power - proportional data centers // .FOCO, 0roceedings EEE. - 2011. - 0. 1054 – 1102. 4. eisner D., Gold B.T., 7enisch T.F. 0owernap: eliinating server idle power // C SG0LA. .otices. – 2005. - Vol. 00. - 0. 201 – 212. 5. .edevschi S., 0opa L., annaccone G., Ratnasay S., 7etherall D. Reducing network energy consuption via sleeping and rate - adaptation // 0roceedings of the 1th 5SE.X Syposiu on .etworked Systes Design and pleentation , .SD’04, Berkeley, CA, 5SA. 5SE.X Association. - 2004. - 0. 323 – 332. 10. Shorgin S.Y., 0echinkin A.V., Saouylov .E., Gaidaaka Y.V., Gudkova .A., Sopin E.S. Threshold - based 1ueuing Syste for 0erforance Analysis of Cloud Coputing Syste with Dynaic Scaling // 0roc. of the 12th nternation al Conference of .uerical Analysis and Applied atheatics C.AA - 2010, Rhodes, Greece, 2010, 5SA, A0 0ublishing - 2011. - Vol. 1204. - 0. 1 – 3. Поступила 21.10.2012 Об авторах: Горбунова Анастасия Владимировна , ассистент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей Российского университета дружбы народов, [email protected] ; Самуйлов Констан тин Евгеньевич , заведующий кафедрой прикладной информатики и теории вероятностей Российского университета дружбы народов, доктор технических наук, профессор ; Сопин Эдуард Сергеевич , доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей Российского ун иверситета дружбы народов, старший научный сотрудник Института проблем информатики Федерального исследовательского центра «Информатика и управления» РАН, кандидат физико - математических наук .

Приложенные файлы

  • pdf 43039980
    Размер файла: 839 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий