В §4 получены две серии контрпримеров к 21-ой проблеме Гильберта. Из вида преобразования (15) следует, что функции ?ki l(z) имеют полюса порядков, не выше, чем k ? l в точке ai.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Îçàäà÷àõ,ýêâèâàëåíòíûõ21-îéïðîáëåìåÃèëüáåðòà È.Â.Âüþãèí Àííîòàöèÿ Âðàáîòåäàíûòðèôîðìóëèðîâêè21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòàäëÿñêàëÿðíûõôóêñîâûõóðàâ- íåíèéèäîêàçàíàèõýêâèâàëåíòíîñòü.ÈñõîäíîÃèëüáåðòîìáûëïîñòàâëåíâîïðîñîïîñòðîåíèè ôóêñîâàóðàâíåíèÿñïðåäïèñàííûìèîñîáûìèòî÷êàìèèìîíîäðîìèåé.Äðóãàÿôîðìóëèðîâêà çàêëþ÷àåòñÿââîïðîñåïîñòðîåíèÿôóêñîâîéñèñòåìûñïåöèàëüíîãî,ïî÷òèòðåóãîëüíîãîâèäà. Òðåòüÿäàíàíàÿçûêåãîëîìîðôíûõðàññëîåíèéñëîãàðèôìè÷åñêèìèñâÿçíîñòÿìè,îíàïîç- âîëÿåòïðèìåíèòüêèññëåäîâàíèþýòîéçàäà÷èàïïàðàòâåêòîðíûõðàññëîåíèéñîñâÿçíîñòüþ, ïîêàçàâøèéñâîþýôôåêòèâíîñòüïðèðåøåíèèÀ.À.Áîëèáðóõîì21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòàäëÿ ôóêñîâûõñèñòåì.Âêîíöåðàáîòûïðèâåäåíûíåêîòîðûåñëåäñòâèÿèçýòèõðåçóëüòàòîâ. 1Ââåäåíèå Âäàííîéðàáîòåóñòàíîâëåíûñâÿçèìåæäóòðåìÿîáðàòíûìèçàäà÷àìèìîíîäðîìèè àíàëèòè÷åñêîéòåîðèèëèíåéíûõäèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé.Ïåðâàÿçàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿôóêñîâà(ðåãóëÿðíîãî)óðàâíåíèÿïîåãîïðåäñòàâëåíèþìîíîäðîìèè èíàáîðóîñîáûõòî÷åê.Ýòàçàäà÷àÿâëÿåòñÿèñõîäíîé(äàííîéÃèëüáåðòîì)ôîðìóëè- ðîâêîé21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòà.Áîëååèçâåñòíûìâàðèàíòîìïðîáëåìûÿâëÿåòñÿ âòîðàÿçàäà÷àçàäà÷àâîññòàíîâëåíèÿôóêñîâîéñèñòåìûïîïðåäñòàâëåíèþìîíî- äðîìèè,íàçûâàåìàÿïðîáëåìîéÐèìàíàÃèëüáåðòà,èëè21-îéïðîáëåìîéÃèëüáåðòà äëÿëèíåéíûõôóêñîâûõñèñòåì.Òðåòüÿçàäà÷àïîñòðîåíèÿïîìîíîäðîìèèëîãà- ðèôìè÷åñêîéñâÿçíîñòèâãîëîìîðôíîìâåêòîðíîìðàññëîåíèè,èìåþùåìçàäàííûé òèïðàñùåïëåíèÿ.Íàéäåíûçàäà÷èâòîðîãîèòðåòüåãîòèïîâ,âòî÷íîñòèýêâèâàëåíò- íûåïåðâîéçàäà÷å.Â÷àñòè3ðàáîòûäîêàçàíàýêâèâàëåíòíîñòüýòèõòðåõçàäà÷. ñëåäóþùèõ÷àñòÿõïðåäñòàâëåíûíåêîòîðûåñëåäñòâèÿèçýòèõðåçóëüòàòîâ. ÈíòåðïðåòàöèÿïðîáëåìûÐèìàíàÃèëüáåðòàäëÿôóêñîâûõñèñòåìêàêçàäà÷è ïîñòðîåíèÿëîãàðèôìè÷åñêîéñâÿçíîñòèâãîëîìîðôíîìðàññëîåíèè,àçàòåìíàõîæ- äåíèÿñîîòâåòñòâóþùåãîòðèâèàëüíîãîðàññëîåíèÿ,äîêàçàëàñâîþýôôåêòèâíîñòüâ ðàáîòàõÕ.ÐåðëÿèÀ.À.Áîëèáðóõà.Çäåñüìûïðåäñòàâëÿåìàíàëîãè÷íóþèíòåð- ïðåòàöèþäëÿçàäà÷èïîñòðîåíèÿñêàëÿðíîãîôóêñîâàóðàâíåíèÿïîìîíîäðîìèè. îòëè÷èåîòïðåäûäóùåéçàäà÷è,çäåñüýòàèíòåðïðåòàöèÿÿâëÿåòñÿäîñòàòî÷íîñëîæ- íûìóòâåðæäåíèåì.Îòâåòïîëó÷àåòñÿñëåäóþùèì. 1) ( F; r ) òðèâèàëüíî,ò.å. K =(0 ;:::; 0) (îïðåäåëåíèåòèïàðàñùåïëåíèÿ K ñì. íèæå) () ïîìîíîäðîìèèñâÿçíîñòè r ìîæíîïîñòðîèòüôóêñîâóñèñòåìó(çàìåòèì, ÷òîòðèâèàëüíîåðàññëîåíèåâñåãäàÿâëÿåòñÿïîëóñòàáèëüíûì); 2) ( F; r ) ñòàáèëüíàèëèïîëóñòàáèëüíà(îïðåäåëåíèåñì.íèæå)ñòèïîìðàñ- ùåïëåíèÿ K =(0 ;n � 2 ;:::; ( n � 2)( p � 1)) () ïîìîíîäðîìèèñâÿçíîñòè r ìîæíî ïîñòðîèòüñêàëÿðíîåôóêñîâîóðàâíåíèå. Çàìåòèì,÷òîðàññëîåíèåâîçíèêàþùååâîâòîðîìïóíêòåèìååòñàìûéðàçðåæåí- íûéòèïðàñùåïëåíèÿñðåäèïîëóñòàáèëüíûõïàð.Â[2],â÷àñòíîñòè,ïîêàçàíî,÷òî 1 äëÿòèïàðàñùåïëåíèÿïîëóñòàáèëüíîéïàðûâûïîëíåíîíåðàâåíñòâî 8 ik i +1 � k i 6 n � 2 .Âïåðâîìïóíêòå,íàîáîðîò,âîçíèêàåòòðèâèàëüíîåðàññëîåíèå.À.À.Áîëèáðó- õîìâðàáîòå[1]èññëåäîâàëàñüçàäà÷àâîññòàíîâëåíèÿóðàâíåíèÿñäîïîëíèòåëüíûìè ëîæíûìèîñîáåííîñòÿìèïîìîíîäðîìèè.Óíåãîïîëó÷åíîâûðàæåíèåäëÿ÷èñëà òàêèõîñîáûõòî÷åêïðèóñëîâèè,÷òîìîíîäðîìèÿíåïðèâîäèìà(òîãäàóñëîâèåñòà- áèëüíîñòèïàðûâûïîëíÿåòñÿàâòîìàòè÷åñêè).Åãîðåçóëüòàòûáûëèïåðåèçëîæåíû Ì.ÇèíãåðîìèÌ.ÂàíäåðÏóò(ñì.â[5])âòåðìèíàõäèôôåðåíöèàëüíîéòåîðèè Ãàëóà. Ÿ4ïîëó÷åíûäâåñåðèèêîíòðïðèìåðîâê21-îéïðîáëåìåÃèëüáåðòà.Òî,÷òî21-ÿ ïðîáëåìàÃèëüáåðòàäëÿñêàëÿðíûõôóêñîâûõóðàâíåíèéèìååòâîáùåìñëó÷àåîòðè- öàòåëüíîåðåøåíèå,ñëåäóåòèçïîäñ÷åòà÷èñëàïàðàìåòðîâ,îòêîòîðûõçàâèñÿòìíî- æåñòâàâñåâîçìîæíûõïðåäñòàâëåíèéèóðàâíåíèé(ñì.â[2]).Ïðèýòîìÿâíîïîñòðî- åíûñåðèèêîíòðïðèìåðîâáûëèòîëüêî,êîãäàÀ.À.Áîëèáðóõäîêàçàë,÷òîêîíòðïðè- ìåðûêïðîáëåìåÐèìàíàÃèëüáåðòàÿâëÿþòñÿêîíòðïðèìåðàìèèê21-îéïðîáëåìå Ãèëüáåðòàäëÿñêàëÿðíûõóðàâíåíèé,îòâåòèâíàâîïðîñ,ïîñòàâëåííûéÍ.Ï.Åðóãè- íûì.Ýòàòåîðåìàíåìíîãîóëó÷øåíàâ[5],òàìïîêàçàíî,÷òîñèñòåìàìîæåòáûòü âûáðàíàïî÷òèâåðõíåòðåóãîëüíîé.Òàêèìîáðàçîì,óæåèçâåñòíûåêîíòðïðèìåðûê ïðîáëåìåÐèìàíàÃèëüáåðòàÿâëÿþòñÿêîíòðïðèìåðàìèèêýòîéçàäà÷å,íîïîñòðî- åííûåíàìèñåðèèíåÿâëÿþòñÿêîíòðïðèìåðàìèêïðîáëåìåÐèìàíàÃèëüáåðòà.Òàì æåïåðåäîêàçàíàèóñèëåíàòåîðåìàÀ.À.Áîëèáðóõà,óòâåðæäàþùàÿ,÷òîïîìîíî- äðîìèèôóêñîâàóðàâíåíèÿâñåãäàìîæíîïîñòðîèòüôóêñîâóñèñòåìó.Ïîêàçàíî,÷òî ìîæíîïîñòðîèòüöåëîåñåìåéñòâîòàêèõñèñòåì. Â5ðàçäåëåäîêàçàíî,÷òîôóêñîâîóðàâíåíèåñ n � 3 îñîáûìèòî÷êàìèíåìîæåò áûòüèçîìîíîäðîìíîíåïðåðûâíîïðîäåôîðìèðîâàíîâíåêîòîðóþîêðåñòíîñòü,åñëè ïàðàìåòðàìèäåôîðìàöèèÿâëÿþòñÿîñîáûåòî÷êè. 1.1Ôóêñîâûóðàâíåíèÿèñèñòåìû Ðàññìîòðèìëèíåéíîåäèôôåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå d p y dz p + b 1 ( z ) d p � 1 y dz p � 1 + ::: + b p ( z ) y =0 ; (1) ïîðÿäêà p ñìåðîìîðôíûìèíàñôåðåÐèìàíà C = C [1 êîýôôèöèåíòàìè b 1 ( z ) ;:::;b p ( z ) , ãîëîìîðôíûìèâíåìíîæåñòâàîñîáûõòî÷åê a 1 ;:::;a n . Ïðåäñòàâëåíèåììîíîäðîìèè èëè ìîíîäðîìèåé äàííîãîóðàâíåíèÿíàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå  :  1 ( C nf a 1 ;:::;a n g ;z 0 ) �! GL ( p; C ) (2) ôóíäàìåíòàëüíîéãðóïïûïðîñòðàíñòâà C nf a 1 ;:::;a n g âïðîñòðàíñòâîíåâûðîæ- äåííûõêîìïëåêñíûõìàòðèöïîðÿäêà p ,êîòîðîåîïðåäåëÿåòñÿñëåäóþùèìîáðàçîì. Âîêðåñòíîñòèíåîñîáîéòî÷êè z 0 ðàññìîòðèìáàçèñ ( y 1 ( z ) ;:::;y p ( z )) ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèéóðàâíåíèÿ(1).Ïðèàíàëèòè÷åñêîìïðîäîëæåíèèôóíêöèé y 1 ( z ) ;:::;y p ( z ) âäîëüïðîèçâîëüíîéïåòëè ,ñêîíöàìèâòî÷êå z 0 èëåæàùåéâ C nf a 1 ;:::;a n g ,áàçèñ ( y 1 ;:::;y p ) ïåðåõîäèòâ(âîîáùåãîâîðÿ,äðóãîé)áàçèñ (~ y 1 ;:::; ~ y p ) .Äâàáàçèñàñâÿçàíû ñïîìîùüþíåâûðîæäåííîéìàòðèöûïåðåõîäà G ,ñîîòâåòñòâóþùåéïåòëå : ( y 1 ;:::;y p )=(~ y 1 ;:::; ~ y p ) G : 2 Îòîáðàæåíèå [ ] 7! G (êîòîðîåçàâèñèòòîëüêîîòãîìîòîïè÷åñêîãîêëàññà [ ] ïåòëè )èçàäàåòïðåäñòàâëåíèå  . Ìàòðèöåéìîíîäðîìèè óðàâíåíèÿ(1)âîñîáîéòî÷êå a i (îòíîñèòåëüíîáàçèñà ( y 1 ;:::;y p ) )íàçûâàåòñÿìàòðèöà G i ,ñîîòâåòñòâóþùàÿïðîñòîé ïåòëå i ,îáõîäÿùåéòî÷êó a i ,ò.å. G i =  ([ i ]) . Îñîáàÿòî÷êà a i óðàâíåíèÿ(1)íàçûâàåòñÿ ôóêñîâîé ,åñëèêîýôôèöèåíò b j ( z ) èìååò âýòîéòî÷êåïîëþñïîðÿäêàíåáîëåå j ( j =1 ;:::;p ).ÑîãëàñíîòåîðåìåÔóêñà(ñì. [2])îñîáàÿòî÷êà a i ÿâëÿåòñÿôóêñîâîéòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàîíà ðåãóëÿðíà (ò. å.êîãäàëþáîåðåøåíèåèìååòíåáîëåå,÷åìñòåïåííîéðîñòâîêðåñòíîñòèòî÷êè a i ). Óðàâíåíèå(1)íàçûâàåòñÿ ôóêñîâûì ,åñëèâñååãîîñîáûåòî÷êèôóêñîâû. Çàäà÷àîïîñòðîåíèèôóêñîâàóðàâíåíèÿ(1)ñçàäàííûìèîñîáûìèòî÷êàìè a 1 ;:::;a n èçàäàííûìïðåäñòàâëåíèåììîíîäðîìèè(2)âîáùåìñëó÷àåèìååòîòðèöàòåëüíîåðå- øåíèå,ïîñêîëüêó÷èñëîïàðàìåòðîâ,îòêîòîðûõçàâèñèòòàêîåóðàâíåíèå,ìåíüøå ÷èñëàïàðàìåòðîâ,îòêîòîðûõçàâèñèòìíîæåñòâîïðåäñòàâëåíèé  (ñì.[2]). Íàðÿäóñóðàâíåíèåì(1)ìîæíîðàññìîòðåòüëèíåéíóþñèñòåìó dy dz = B ( z ) y;y ( z ) 2 C p ;B ( z ) 2 Mat p  p ( C ) (3) èç p óðàâíåíèé,ñìåðîìîðôíîéíàñôåðåÐèìàíàìàòðèöåé B ( z ) ,ãîëîìîðôíîéâíå òî÷åê a 1 ;:::;a n .Ïðåäñòàâëåíèåìîíîäðîìèèäàííîéñèñòåìûîïðåäåëÿåòñÿòàêæå, êàêèäëÿóðàâíåíèÿ(1),íóæíîòîëüêîâìåñòîñòðîêè ( y 1 ;:::;y p ) ðàññìîòðåòü ôóí- äàìåíòàëüíóþìàòðèöó Y ( z ) ìàòðèöó,ñòîëáöûêîòîðîéîáðàçóþòáàçèñâïðî- ñòðàíñòâåðåøåíèéñèñòåìû. Îñîáàÿòî÷êà a i ñèñòåìû(3)íàçûâàåòñÿ ôóêñîâîé ,åñëèìàòðèöà B ( z ) èìååòïðî- ñòîéïîëþñ(ïîëþñïåðâîãîïîðÿäêà)âýòîéòî÷êå.Ôóêñîâàîñîáàÿòî÷êàëèíåéíîé ñèñòåìûâñåãäàÿâëÿåòñÿðåãóëÿðíîé,õîòÿðåãóëÿðíàÿîñîáåííîñòüíåîáÿçàíàáûòü ôóêñîâîé(ñì.[2]).Ñèñòåìà(3)íàçûâàåòñÿ ôóêñîâîé ,åñëèâñåååîñîáûåòî÷êèôóê- ñîâû. 1.2Ëîêàëüíàÿñòðóêòóðàôóíäàìåíòàëüíîéñèñòåìûðåøåíèé Äëÿôóíäàìåíòàëüíîéìàòðèöûôóêñîâîéñèñòåìûèìååòìåñòîóäîáíîåëîêàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå.Çäåñüìûáóäåìñ÷èòàòü,÷òî z =0 ôóêñîâàîñîáàÿòî÷êàóðàâíåíèÿ èëèñèñòåìû. Âîêðåñòíîñòèðåãóëÿðíîéîñîáîéòî÷êè z =0 ñóùåñòâóåòòàêàÿôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìàðåøåíèé,êîòîðàÿìîæåòáûòüïðåäñòàâëåíàâñëåäóþùåéôîðìå Y ( z )= U ( z ) z A z E ;A = 0 @ ' 1 0 . . . 0 ' p 1 A ;E = 0 @  1  . . .  0  p 1 A ; (4) ãäå U ( z ) ãîëîìîðôíàÿâíóëåìàòðèöà,ñòîëáöûêîòîðîéèìåþòíåíóëåâûåýëåìåí- òû(âñëó÷àåñèñòåìû),èëèãîëîìîðôíûéâåêòîð,ýëåìåíòûêîòîðîãîíåîáðàùàþòñÿ âíîëüâíóëå(âñëó÷àåóðàâíåíèÿ).Äèàãîíàëüíûåýëåìåíòû ' j öåëûå÷èñëà(öåëûå ÷àñòèàñèìïòîòèêðåøåíèé),äëÿêîòîðûõâûïîëíåíîóñëîâèå ' 1 � ::: � ' p ; (5) 3 à  j íîðìàëèçîâàííûåëîãàðèôìûñîáñòâåííûõçíà÷åíèéìàòðèöû G ìîíîäðîìèè âíóëå.Áîëååòî÷íî E = 1 2 i ln G; spec( E )=(  1 ;:::; p ) ; ïðè÷åìâåòâüëîãàðèôìàâûáèðàåòñÿòàê,÷òî  j = 1 2 i ln  j ; 0 6 Re  j 1 ; ãäå  j ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿìàòðèöûìîíîäðîìèè. Îïèñàííûéâûøåáàçèñïðîñòðàíñòâàðåøåíèéâñåãäàñóùåñòâóåòèíàçûâàåòñÿ ëåâåëåâñêèì .Áàçèñ,êîòîðûéïîëó÷àåòñÿêàêîáúåäèíåíèåëåâåëåâñêèõáàçèñîâñîá- ñòâåííûõ(äëÿîïåðàòîðàìîíîäðîìèè)ïîäïðîñòðàíñòâ,íàçûâàåòñÿ ñëàáîëåâåëåâ- ñêèì .Åñëèñíÿòüóñëîâèå(5)èóñëîâèåâåðõåéòðåóãîëüíîñòèìàòðèöû E ,íîíàëî- æèòüóñëîâèå,÷òîìàòðèöà z A Ez � A ãîëîìîðôíàâíóëå,òîáàçèñíàçûâàþò àññîöè- èðîâàííûì .Ìîæíîïîêàçàòü,÷òîëåâåëåâñêèéèñëàáîëåâåëåâñêèéáàçèñûâñåãäà ñóùåñòâóþòèÿâëÿþòñÿàññîöèèðîâàííûìè(ñì.â[2]). Äëÿàññîöèèðîâàííîãîáàçèñàñó÷åòîì(4)ìàòðèöóêîýôôèöèåíòîâñèñòåìûìîæ- íîçàïèñàòüââèäå B ( z )= dU dz U � 1 + U ( z ) A + z A Ez � A z U � 1 ( z ) : (6) Âåëè÷èíó j = ' j +  j íàçûâàþòïîêàçàòåëåì.Èç(6)âèäíî,÷òîïîêàçàòåëèñóòü ñîáñòâåííûå÷èñëàâû÷åòîâìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâñèñòåìû. Òåîðåìà1. (À.Ëåâåëü[2])Ñèñòåìà(3)ôóêñîâàâòî÷êå z =0 òîãäàèòîëüêî òîãäà,êîãäàìàòðèöà U ( z ) èçðàçëîæåíèÿ(4)ãîëîìîðôíîîáðàòèìàâ z =0 ,ò.å. îïðåäåëåííûõâïåðåñå÷åíèÿõîêðåñòíîñòåé,óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèÿìëåììû1 (ñì.íèæå).Íàáîðòàêèõôóíêöèéíàçûâàþò êîöèêëîì ; â)ôèêñèðîâàíûëîêàëüíûåòðèâèàëèçàöèè s i ðàññëîåíèÿ F íàäîêðåñòíîñòÿìè U i , òîåñòüíàäêàæäîéîêðåñòíîñòüþ U i ôèêñèðîâàííàáîðèç p ëîêàëüíûõãîëîìîðôíûõ ñå÷åíèé(âåêòîð-ôóíêöèé s j i ( z ): U i ! C p ) ( s i )=( s 1 i ( z ) ;:::;s p i ( z )) ,îáðàçóþùèõâ êàæäîéòî÷êå z îêðåñòíîñòè U i áàçèñ ( s 1 i ( z ) ;:::;s p i ( z )) âñëîå L = C p . Ïóñòüîêðåñòíîñòè U i , U j èìåþòíåïóñòîåïåðåñå÷åíèå.Òîãäàîïðåäåëèìôóíêöèþ g ij ( z ) êàêôóíêöèþïåðåõîäàìåæäóòðèâèàëèçàöèÿìè s i = g ij s j . Ëåììà1. Ïîâåêòîðíîìóðàññëîåíèþ F ,ïîêðûòèþ f U i g èôèêñèðîâàííûì òðèâèàëèçàöèÿì f ( s i ) g ðàññëîåíèÿ F íàä f U i g ìîæíîïîñòðîèòüíàáîðîòîáðàæå- íèé (7) ,îáëàäàþùèõñëåäóþùèìèñâîéñòâàìè: g ij ( z )  ( g ji ( z )) � 1 ;z 2 U i \ U j ; g ji ( z )  g ik ( z )  g kj ( z )  I;z 2 U i \ U j \ U k : (8) Èîáðàòíî,ïîëþáîìóïîêðûòèþ f U i g ìíîãîîáðàçèÿ B èïîëþáîìóíàáîðóîòîá- ðàæåíèé (7) ,îáëàäàþùèõñâîéñòâàìè (8) ,ìîæíîïîñòðîèòüâåêòîðíîåðàññëîåíèå F 0 =( L ; B ; ~  0 ) .Åñëèíàáîðîòîáðàæåíèé f g ij g áûëïîñòðîåíïîâåêòîðíîìóðàññëî- åíèþ F ,òîðàññëîåíèå F 0 áóäåòýêâèâàëåíòíîðàññëîåíèþ F . Ïðèòàêîìîïèñàíèèòîòàëüíîåïðîñòðàíñòâî F íåôèãóðèðóåòÿâíî.×òîáûîïðå- äåëèòüïðîñòðàíñòâî F ,ðàññìîòðèìíåñâÿçíîåîáúåäèíåíèå ~ F = F U i  C p èââåäåì íàìíîæåñòâå ~ F ñëåäóþùååîòíîøåíèåýêâèâàëåíòíîñòè  :åñëè x 2 U i \ U j ,òî ( x;v )  ( x;g ji ( x ) v ) ; ( x;v ) 2 U i  C p ; ( x;g ji ( x ) v ) 2 U j  C p ; ( x;v )  ( x;v ) ;x 2 U i ;v 2 C p : Èçñâîéñòâ(8)ñëåäóåò,÷òîêîððåêòíîîïðåäåëåíîîòíîøåíèåýêâèâàëåíòíîñòè,è F = ~ F=  .Ïîäðîáíååîáýòîììîæíîïðî÷èòàòüâëåêöèè2èç[1]. Îïðåäåëåíèå1. Ãîâîðÿò,÷òîââåêòîðíîìðàññëîåíèè F çàäàíàñâÿçíîñòü r ,åñëèäëÿëþáîéòðèâèàëèçàöèèðàññëîåíèÿ,ò.å.ïîêðûòèÿ f U i g ,íàáîðàêîöèêëîâ f g ij ( z ) g è f ( s i ) g ,çàäàííàáîðìàòðè÷íûõäèôôåðåíöèàëüíûõ1-ôîðì f ! i g ,óäîâëå- òâîðÿþùèõñîîòíîøåíèÿì: ! i =( dg ij ) g � 1 ij + g ij ! j g � 1 ij : (9) Îïðåäåëåíèå2. Ñâÿçíîñòüíàçûâàþòëîãàðèôìè÷åñêîé(ôóêñîâîé),åñëèäèô- ôåðåíöèàëüíûåôîðìû f ! i g èìåþòëèøüïîëþñûïåðâîãîïîðÿäêàâîêðåñòíîñòÿõ f U i g ,ãäåîíèîïðåäåëåíû,ñîîòâåòñòâåííî. 1.4Êîíñòðóêöèÿñåìåéñòâàðàññëîåíèéñîñâÿçíîñòüþ Âñåïàðû ( F; r ) (ðàññëîåíèåñîñâÿçíîñòüþ)ìîæíîîïèñàòüñïîìîùüþêîîðäèíàòíî- ãîîïèñàíèÿ:ïîêðûòèÿñôåðûÐèìàíàîêðåñòíîñòÿìè f U i g ,íàäêàæäîéèçêîòîðûõ ðàññëîåíèåòðèâèàëüíî.Ñâÿçíîñòüâýòîéîêðåñòíîñòèîïðåäåëÿåòñÿêàêñèñòåìàëè- íåéíûõäèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé dy = ! i y;z 2 U i : (10) Áàçèñãîðèçîíòàëüíûõñå÷åíèé ( s i ) ñâÿçíîñòèýòîôóíäàìåíòàëüíàÿñèñòåìàðåøå- íèéýòîéñèñòåìû.Ñâÿçíîñòüíàçûâàþò ëîãàðèôìè÷åñêîé èëè ôóêñîâîé ,åñëè,îïðå- äåëÿþùèåååñèñòåìû(10)ôóêñîâûâñâîèõîêðåñòíîñòÿõ.Áàçèñûñèñòåì,çàäàííûõ 5 âñîñåäíèõîêðåñòíîñòÿõîòîæäåñòâëÿþòñÿïîôîðìóëå ( s i )= g ij ( z )( s j ) ñïîìîùüþ ñêëåþâàþùèõôóíêöèé g ij ( z ) ,îïðåäåëåííûõâïåðåñå÷åíèÿõ U i \ U j ,èîáðàçóþùèõ ãîëîìîðôíûéêîöèêë.Áëàãîäàðÿôîðìóëå(4)èòåîðåìå1ìûèìååìëîêàëüíóþàíà- ëèòè÷åñêóþêëàññèôèêàöèþëèíåéíûõñèñòåìâîêðåñòíîñòèôóêñîâîéîñîáîéòî÷êè. Áëàãîäàðÿýòîìóìîæíîäàòüêëàññèôèêàöèþâñåõãîëîìîðôíûõðàññëîåíèéñëîãà- ðèôìè÷åñêèìèñâÿçíîñòÿìèíàñôåðåÐèìàíà,ñòî÷íîñòüþäîãîëîìîðôíîéýêâèâà- ëåíòíîñòèðàññëîåíèéèñâÿçíîñòåé.Ïîäðîáíîîáýòîìñì.â[2]. 1.5Ãëîáàëüíàÿêëàññèôèêàöèÿãîëîìîðôíûõðàññëîåíèéíàä C ÊàæäîåãîëîìîðôíîåðàññëîåíèåíàñôåðåÐèìàíà,ñîãëàñíîòåîðåìåÁèðêãîôà Ãðîòåíäèêà,ýêâèâàëåíòíîíåêîòîðîìóðàññëîåíèþâèäà � U 1 = C ;U 1 = C nf a 1 g ;g 1 1 =( z � a 1 ) K  ;K =diag( k 1 ;:::;k p ) ; ãäå k 1  k 2  :::  k p ,(çàìåòèì,÷òîâöèòèðîâàííîéëèòåðàòóðåîáû÷íîðàññìàò- ðèâàåòñÿîáðàòíûéïîðÿäîêñëåäîâàíèÿýëåìåíòîâ).Íàáîðöåëûõ÷èñåë ( k 1 ;:::;k p ) íàçûâàþò òèïîìðàñùåïëåíèÿ . Ñòåïåíüþðàññëîåíèÿ íàçûâàþò÷èñëî deg F = p X i =1 k i ; à íàêëîíîì âåëè÷èíó  ( F )= deg F rk F . Êðîìåòîãî,èçâåñòíî,÷òîñòåïåíüðàññëîåíèÿðàâíàñóììåïîêàçàòåëåé deg F = P n i =1 P p j =1 j i ,ãäå j i ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿâû÷åòîâñâÿçíîñòèâîñîáîéòî÷êå a i , îíèæåàñèìïòîòèêèðåøåíèéàññîöèèðîâàííîãîáàçñà. Ðàññëîåíèå F íàçûâàåòñÿñòàáèëüíûì(ïîëóñòàáèëüíûì)åñëèäëÿëþáîãîåãîïîä- ðàññëîåíèÿ F sub âûïîëíåíîíåðàâåíñòâî  ( F ) � ( F sub ) (  ( F ) �  ( F sub ) ).Ñòàáèëüíûõ ðàññëîåíèéíàäñôåðîéíåáûâàåò,íîäëÿíàñáóäåòâàæíîïîíÿòèåñòàáèëüíîãîðàñ- ñëîåíèÿñîñâÿçíîñòüþ. Ïîäðàññëîåíèåíàçûâàþò ñòàáèëèçèðóþùèìñÿñâÿçíîñòüþ ,åñëèïîäïðîñòðàí- ñòâîåãîãîðèçîíòàëüüíûõñå÷åíèéÿâëÿåòñÿèíâàðèàíòíûìîòíîñèòåëüíîäåéñòâèÿ ìîíîäðîìèè.Ðàññëîåíèå F ñîñâÿçíîñòüþ r íàçûâàþò ñòàáèëüíîéïàðîé ,åñëèäëÿ äëÿëþáîãîåãîïîäðàññëîåíèÿ F sub ,êîòîðîåñòàáèëèçèðóåòñÿñâÿçíîñòüþ,âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå  ( F ) � ( F sub ) . 2Ôîðìóëèðîâêè Ìûïðèâîäèìòðèýêâèâàëåíòíûõôîðìóëèðîâêè21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòà,ïåðâàÿ èçêîòîðûõÿâëÿåòñÿèñõîäíîé,äàííîéÃèëüáåðòîì.Âðàáîòåìûïîêàæåìýêâèâà- ëåíòíîñòüýòèõòðåõçàäà÷. I.Ïîñòðîèòüïîïðåäñòàâëåíèþ  èíàáîðóòî÷åê a 1 ;:::;a n ôóêñîâîóðàâíåíèå: d p y dz p + b 1 ( z ) d p � 1 y dz p � 1 + ::: + b p ( z ) y =0 ; (11) èìåþùååïðåäñòàâëåíèåìîíîäðîìèè  èçàäàííûéíàáîðîñîáûõòî÷åê. 6 II.Ïîñòðîèòüïîïðåäñòàâëåíèþ  èíàáîðóòî÷åê a 1 =0 ;a 2 ;:::;a n � 1 ;a n = 1 ôóêñîâóñèñòåìó(3)ñìàòðèöåéêîýôôèöèåíòîââèäà B ( z )= 0 B B B @  100  . . . 0 . . . . . . 1  :::  1 C C C A z + n X i =2 0 B B @  000  00 . . . . . . . . . 0  :::  1 C C A z � a i (12) ñäàííîéìîíîäðîìèåé  . III.Ïîñòðîèòüãîëîìîðôíîåâåêòîðíîåðàññëîåíèå F ñëîãàðèôìè÷åñêîéñâÿçíî- ñòüþ r ,èìåþùåéçàäàííóþìîíîäðîìèþ  èíàáîðîñîáûõòî÷åê a 1 ;:::;a n ,îáðàçó- þùååñòàáèëüíóþïàðóñòèïîìðàñùåïëåíèÿ K =(0 ;n � 2 ;:::; ( n � 2)( p � 1)) . Äàëååìû,êàêïðàâèëî,áóäåìñ÷èòàòü,÷òî a 0 =0 , a n = 1 .Ýòîïðåäïîëîæåíèå íåîãðàíè÷èâàåòîáùíîñòè,òàêêàêýòîãîâñåãäàìîæíîäîáèòüñÿäðîáíî-ëèíåéíîé çàìåíîéíåçàâèñèìîéïåðåìåííîé.Êàêèçâåñòíî,òàêèåçàìåíûïåðåâîäÿòôóêñîâû òî÷êèâôóêñîâû.Âåçäåïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òî÷èñëîîñîáûõòî÷åê n � 3 .Ñëó÷àé n =2 òðèâèàëüíîðàçáèðàåòñÿ,íîôîðìàëüíîíåâñåôîðìóëèðîâêèáóäóòâåðíû,òàêêàê âýòîìñëó÷àåíåáûâàåòñòàáèëüíûõïàð.Ââåäåìïîëåçíîåîáîçíà÷åíèå: D =diag(0 ; 1 ;:::; p � 1) : Ñðàçóîãîâîðèìñÿ,÷òîâðàçíûõïàðàãðàôàõèâäîêàçàòåëüñòâàõòåîðåìîäíèèòå æåîáîçíà÷åíèÿìîãóòîáîçíà÷àòüðàçíûåîáúåêòû. 3Îñíîâíûåòåîðåìû Âýòîìïàðàãðàôåñîäåðæàòñÿòðèòåîðåìû,äîêàçûâàþùèåâñîâîêóïíîñòèýêâèâà- ëåíòíîñòüòðåõïðèâåäåííûõâûøåôîðìóëèðîâîê21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòàäëÿ ñêàëÿðíûõôóêñîâûõóðàâíåíèé. T2:III = ) II T3:II = ) I T4:I = ) III Òåîðåìà2. Ïîïðåäñòàâëåíèþìîíîäðîìèè  (2)èíàáîðóîñîáûõòî÷åê a 1 =0 ;a 2 ;:::;a n � 1 ;a n = 1 ;n � 3 ñòàáèëüíîéïàðûñòèïîìðàñùåïëåíèÿ K =diag(0 ; ( n � 2) ;:::; ( n � 2)( p � 1))=( n � 2) D; ìîæíîïîñòðîèòüôóêñîâóñèñòåìóâèäà(3),(12). Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèìïàðó ( F; r ) (ðàññëîåíèåñîñâÿçíîñòüþ),çàäàííóþ ïîóñëîâèþòåîðåìû.Ååìîæíîïðåäñòàâèòüâêîîðäèíàòíîéôîðìå.Ðàññìîòðèìäâå 7 êîîðäèíàòíûõîêðåñòíîñòè: U 0 ìàëàÿîêðåñòíîñòüíóëÿ,íåñîäåðæàùàÿäðóãèõ îñîáûõòî÷åê,è U 1 = C n 0 ,èêîöèêë,çàäàâàåìûéñêëåèâàþùåéôóíêöèåé g 0 1 ( z )= z K = z ( n � 2) D .Ñâÿçíîñòüçàäàþòäâåôîðìû ! 0 è ! 1 ,êîòîðûåôóêñîâûâ U 0 èâ U 1 , ñîîòâåòñòâåííî.Ýòèôîðìûñâÿçàíûñîîòíîøåíèåì: ! 0 = g 0 1 ! 1 g � 1 0 1 + dg 0 1  g � 1 0 1 : (13) Èç(13)ñëåäóåò,÷òîäëÿýëåìåíòîâ ! 0 kl ( z ) è ! 1 kl ( z ) ìàòðè÷íûõôîðì ! 0 è ! 1 âûïîë- íåíûñëåäóþùèåñîîòíîøåíèÿ ! 1 kl ( z )= z ( n � 2)( l � k ) ! 0 kl ( z ) : (14) Îòñþäà,àòàêæåèçòîãî,÷òîôîðìû ! 0 è ! 1 èìåþòëèøüïðîñòûåïîëþñûâòî÷êàõ a 1 2 U 0 è a 2 ;:::;a n 2 U 1 ,ñîîòâåòñòâåííî,ñëåäóåò,÷òîýëåìåíòûôîðì ! 0 kl ( z ) è ! 1 kl ( z ) ñíîìåðàìè ( k;l ) äëÿ l � k� 1 ,òîæäåñòâåííîðàâíûíóëþ.Äåéñòâèòåëüíî, ñîîòíîøåíèå(14)èóñëîâèå l � k� 1 äàþòòî,÷òîýëåìåíò ! 1 kl ( z ) èìååòíîëüïîðÿäêà ord 0 ! 1 kl ( z )=( n � 2)( l � k ) � 1 � n � 2 âíóëå,àïîëþñàó ! 1 kl ( z ) åñòüëèøüâòî÷êàõ a 2 ;:::;a n ,èìåþùèåïåðâûéïîðÿäîê,ò.å. ord a i ! 1 kl ( z ) � � 1 , i =2 ;:::;n .Ïðèýòîì, ñóììàïîðÿäêîâíóëåéìèíóññóììàïîðÿäêîâïîëþñîâäèôôåðåíöèàëüíîéôîðìûíà ñôåðåÐèìàíàðàâíà � 2 (åñëèîíàíåÿâëÿåòñÿòîæäåñòâåííîíóëåâîé),àóýëåìåíòà ! 1 kl ( z ) ýòàñóììàäîëæíàáûòüíåìåíüøå,÷åì ord 0 ! 1 kl ( z )+ n X i =2 ord a i ! 1 kl ( z ) � � 1 � � 2 : Ñëåäîâàòåëüíî ! 1 kl ( z )  0 ïðè l � k� 1 . Òàê,íàøåðàññëîåíèåñîñâÿçíîñòüþçàäàíûäâóìÿïî÷òèòðåóãîëüíûìèôîðìàìè ! 0 è ! 1 èêîöèêëîì g 0 1 ( z ) .Âìåñòîôîðì ! 0 è ! 1 íàìóäîáíîáóäåòðàññìîòðåòü ôîðìó ! =�( z ) ! 1 � � 1 ( z )+ d � dz � � 1 ; �( z )= n � 1 Y i =2  z z � a i  D : (15) Äàëååáóäåìðàññìàòðèâàòüðåãóëÿðíóþñèñòåìó dy = !y .Ýòàñèñòåìàèìååòôóêñî- âûîñîáåííîñòèâíóëåèáåñêîíå÷íîñòèèðåãóëÿðíûåâòî÷êàõ a 2 ;:::;a n � 1 . ! = n � 1 X i =2 0 B B @  000  00  i kl  0  1 C C A z � a i dz + 0 B B @  100  10  1  1 C C A z dz (16) Èçâèäàïðåîáðàçîâàíèÿ(15)ñëåäóåò,÷òîôóíêöèè i kl ( z ) èìåþòïîëþñàïîðÿäêîâ, íåâûøå,÷åì k � l âòî÷êå a i ord a i i kl ( z ) � l � k; èãîëîìîðôíûâåçäåâíå z = a i , i =2 ;:::;n � 1 ,â÷àñòíîñòè,íàääèàãîíàëüíûåýëå- ìåíòûïîëó÷àþòñÿíóëåâûìèâåçäå,êðîìåïîñëåäíåãî÷ëåíà.Òî,÷òîíàääèàãîíàëü 8 ïîñëåäíåãîêîýôôèöèåíòàåäèíè÷íàÿ,íåñëåäóåòèçñêàçàííîãîâûøå,íî,âñëó÷àå, êîãäàíèîäèíååýëåìåíòíåðàâåííóëþ,ýòîãîìîæíîäîñòè÷üïîäõîäÿùèìïîñòî- ÿííûìäèàãîíàëüíûìêàëèáðîâî÷íûìïðåîáðàçîâàíèåì.Ñëó÷àé,êîãäàêàêîé-òîèç íàääèàãîíàëüíûõýëåìåíòîâíóëåâîé ! l;l +1 ( z )  0 ,ïðîòèâîðå÷èòóñëîâèþñòàáèëüíî- ñòèèñõîäíîéïàðû ( F; r ) .Ýòîáóäåòñåé÷àñïîêàçàíî. Äåéñòâèòåëüíî,âýòîìñëó÷àåðàññëîåíèåèñâÿçíîñòüïðèâîäÿòñÿ.Ïîäðàññëîåíèå êîòîðîåñòàáèëèçèðóåòñÿñâÿçíîñòüþ,ñîîòâåòñòâóåòíèæíåìóïðàâîìóáëîêóôîðì ñâÿçíîñòèèêîöèêëà,íî,ëåãêîâèäåòü,÷òîòèïðàñùåïëåíèÿ K 1 ýòîãîïîäðàññëîåíèÿ F 1 ñîâïàäàåòñêîíöîìòèïàðàñùåïëåíèÿðàññëîåíèÿ F ,òîåñòüñîñòîèòèçíàèáîëü- øèõåãîýëåìåíòîâ K 1 =( k l +1 ;:::;k p ) .Òîãäàåãîíàêëîíáîëüøåíàêëîíà F  ( F 1 )= k l +1 + ::: + k n n � l = ( n � 2)( p + l � 1) 2 � ( F )= ( n � 2)( p � 1) 2 : Òàê,ìûïîëó÷èëèïðîòèâîðå÷èåñóñëîâèåìñòàáèëüíîñòèïàðû ( F; r ) .Òåïåðüäîêà- çàíî,÷òîôîðìà ! èìååòâèä(16). Âèäíî,÷òîêàëèáðîâî÷íîåïðåîáðàçîâàíèå ~ y =( z � a i ) D y ïåðåâîäèòñèñòåìó(16) âôóêñîâóâòî÷êå a i ( d ~ y = ! i ~ y ),ïðè÷åìâû÷åòìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâïðåîáðàçî- âàííîéñèñòåìûâòî÷êå z = a i èìååòâèä: 0 B B @  1 a i 00  1 a i 0  1 a i  1 C C A ; (17) ãäå  îáîçíà÷àþòíåêîòîðûå÷èñëà.Ñëåäîâàòåëüíî,ôóíäàìåòàëüíàÿìàòðèöàñè- ñòåìû(16)âòî÷êå a i èìååòâèä: Y ( z )=( z � a i ) � D Y 0 i ( z ) ; (18) ãäåìàòðèöà Y 0 i ( z ) ýòîôóíäàìåíòàëüíàÿìàòðèöàôóêñîâîéâ z = a i ñèñòåìû. Ïðîäîëæèâýòî,ïîëó÷èìïðåäñòàâëåíèå Y ( z )= T i ( z )( z � a i ) � D Y 0 0 ( z ) ;T i ( z )= n � 1 Y j =2 ( z � a j ) � D !  ( z � a i ) D ; (19) ãäå Y 0 ( z ) ôóíäàìåíòàëüíàÿìàòðèöàôóêñîâîéâòî÷êàõ a 2 ;:::;a n � 1 ñèñòåìû. Äàëååíàìïîòðåáóåòñÿëåììà2,êîòîðàÿïðèâåäåíàíèæå.Òàê,ñîãëàñíîëåììå2, ïðèìåíèâêàëèáðîâî÷íîåïðåîáðàçîâàíèå ~ y =� i ( z ) y; êôóíäàìåíòàëüíîéìàòðèöå ( z � a i ) � D Y 0 0 ( z ) ,ïîëó÷èìôóíäàìåíòàëüíóþìàòðèöó ôóêñîâîéâòî÷êå z = a i ñèñòåìû.Íî,ïîñêîëüêó,ìàòðèöà(19)èìååòåùåîäèíìíî- æèòåëü,íóæíîâèäîèçìåíèòüïðåîáðàçîâàíèåèçëåììû2èðàññìîòðåòüñîïðÿæåííîå êíåìó ~ y = T i � i T � 1 i y: 9 Ñîïðÿæåííîåïðåîáðàçîâàíèå ~ � i = T i � i T � 1 i òàêæåêàêèñõîäíîåãîëîìîðôíîîáðà- òèìîâíåòî÷êè z = a i ,ýòîâèäíîèçíèæíåéòðåóãîëüíîñòèìàòðèöû � i ( z ) èâèäà ìàòðèöû T i ( z ) . Òîãäàìûìîæåìïðèìåíÿòüïðåîáðàçîâàíèÿ y 0 = ~ � i y ïîñëåäîâàòåëüíîäëÿâñåõ òî÷åê a 2 ;:::;a n � 1 èïîëó÷èìôóíäàìåíòàëüíóþìàòðèöóñèñòåìû Y 0 ( z )= ~ � 2 ( z )  :::  ~ � n � 1 ( z ) Y ( z ) .Ïîëó÷åííàÿñèñòåìàèáóäåòèñêîìîéñèñòåìîéâèäà(3),(12). Ëåììà2. Ìîæíîïîìíîæèòüôóíäàìåíòàëüíóþìàòðèöó(18)íàíèæíå- òðåóãîëüíóþìàòðèöó � i ( z ) ,ãîëîìîðôíîîáðàòèìóþâ C nf a i g èìåðîìîðôíóþâ a i , ò.å. � i ( z ) ìàòðè÷íûéìíîãî÷ëåíîò 1 =z ñïîñòîÿííûìèíåíóëåâûìèýëåìåíòàìè íàäèàãîíàëè.Òàê,÷òîïîëó÷èììàòðèöóâèäà Y 0 i ( z )=� i ( z ) Y i ( z )=� i ( z )( z � a i ) � D Y 0 i ( z )= U i 0 ( z )( z � a i )  i � D ( z � a i ) E i ; ãäå Y 0 i ( z ) ôóíäàìåíòàëüíàÿìàòðèöàôóêñîâîéâ z = a i ñèñòåìû,ò.å. dz + t j B ( z ) ;j =0 ;:::;p � 1 : (20) 10 Ðàññìîòðèììàòðèöó �( z ) ,ñòðîêàìèêîòîðîéÿâëÿþòñÿ t 0 ;t 1 ( z ) ;:::;t p � 1 ( z ) .Âèäíî, ÷òîåñëèóñòðîêè t 0 îòëè÷åíîòíóëÿòîëüêîïåðâûéýëåìåíò,òî,ó÷èòûâàÿïî÷òè òðåóãîëüíûéâèä(12)ìàòðèöû B ( z ) êîýôôèöèåíòîâñèñòåìû,ìàòðèöà �( z ) îêàçû- âàåòñÿíèæíåòðåóãîëüíîé.Èçíåðàâåíñòâàíóëþíàääèàãîíàëèâû÷åòà(17)èôîð- ìóëû(20)ïîëó÷èì,÷òîíàäèàãîíàëèóíååñòîÿòýëåìåíòû ii ( z ) ,èìåþùèåïîëþñà ïîðÿäêà ( i � 1) âòî÷êàõ a 2 ;:::;a n � 1 . Òåïåðüïîêàæåì,÷òîïðåîáðàçîâàíèå ~ y =�( z ) y ïðèâîäèòñèñòåìóâñèñòåìó,ýêâè- âàëåíòíóþñêàëÿðíîìóóðàâíåíèþ.Ðàññìîòðèìâåêòîð-ôóíêöèþ b ( z )=( b p ( z ) ;:::;b 1 ( z )) , óäîâëåòâîðÿþùèéñîîòíîøåíèþ t p ( z )= � b ( z )�( z ) ; èñîîòâåòñòâóþùóþåìóìàòðèöó e B ( z )= 0 B B @ 010 . . . . . . 001 � b p :::::: � b 1 1 C C A : (21) Èçôîðìóë(20)ñëåäóåò,÷òî d � dz = e B � � � B; ïîýòîìóïðåîáðàçîâàíèå ~ y =�( z ) y ïåðåâîäèòñèñòåìó(3)âñèñòåìóñìàòðèöåéêî- ýôôèöèåíòîâ � B � � 1 + d � dz � � 1 =� B � � 1 + e B � � B � � 1 = e B èñêîìîãîâèäà. 3.2Äîêàçàòåëüñòâîëåììû3 Äîêàçàòåëüñòâîëåììû3. Ðàññìîòðèìêàëèáðîâî÷íîåïðåîáðàçîâàíèå ~ y =�( z ) y , ïîñòðîåííîåâïðåäûäóùåìïàðàãðàôå,êîòîðîåïðèâîäèòñèñòåìóêâèäó,ýêâèâà- ëåíòíîìóóðàâíåíèþ. Òåïåðüðàññìîòðèìïðåîáðàçîâàíèå ~ � i ( z )=( z � a i ) D � ,êîòîðîåïðèâîäèòñèñòåìó êñèñòåìåñìàòðèöåéêîýôôèöèåíòîââèäà e B ( z )= 0 B B B @ 010 1 . . . 0 . . . 1 0 ::: 0 p � 1 1 C C C A 1 z � a i + 0 B B B @ 000 . . . . . . 000 � ~ b p :::::: � ~ b 1 1 C C C A ; (22) ãäå ~ b k =( z � a i ) k � 1 b k , k =2 ;:::;n � 1 ; êîòîðàÿñâîäèòñÿêóðàâíåíèþ(1)ñïîìîùüþ çàìåíû y 1 = y;y 2 =( z � a i ) y 0 ;:::;y p =( z � a i ) p � 1 y ( p � 1) : (23) 11 Çàìåòèì,÷òîèçâèäàôîðìû(16)êîýôôèöèåíòîâèñõîäíîéñèñòåìûèñïîñîáàïî- ñòðîåíèÿìàòðèö �( z ) è � i ( z ) (èçŸ3.1èŸ3.2,ñîîòâåòñòâåííî)êàëèáðîâî÷íûõïðåîá- ðàçîâàíèéñëåäóåò,÷òîïðåîáðàçîâàíèå ~ � i ( z ) íèæíåòðåóãîëüíîå,ñåäèíè÷íîéäèàãî- íàëüþèãîëîìîðôíîîáðàòèìîåâ z = a i .Òàêîåïðåîáðàçîâàíèåíåìîæåòèçìåíèòü ãëàâíûõóãëîâûõìèíîðîâìàòðèöû U i ( a i ) ,òîåñòüîíèðàâíûãëàâíûìóãëîâûììè- íîðàììàòðèöû ~ � i ( a i ) U i ( a i ) . Äëÿñèñòåìû,ïîëó÷åííîéèçóðàâíåíèÿñïîìîùüþçàìåíûâèäà(23),èçâåñòíî, ÷òîååãëàâíûåóãëîâûåìèíîðûîòëè÷íûîòíóëÿ,íàïðèìåð,èç[1]. Äåéñòâèòåëüíî,ðàññìîòðèìàññîöèèðîâàííûéáàçèñðåøåíèéôóêñîâàâ z = a i óðàâíåíèÿ,ñîñòîÿùèéèçðåøåíèé u 1 ( z ) ;:::;u p ( z ) .Òàêîé,÷òîìàòðèöàìîíîäðîìèè G i âòî÷êå z = a i èìååòâåðõíåòðåóãîëüíûéâèä,íàïðèìåðëåâåëåâñêèé.Òîãäàîïðå- äåëèòåëüìàòðèöû U i ( a i ) ,ïîëó÷åííîéèçóðàâíåíèÿñïîìîùüþçàìåíû(23),îòëè÷åí îòíóëÿïîòåîðåìåËåâåëÿ,òàêêàêýòàñèñòåìà(3),(22)ôóêñîâàâòî÷êå z = a i . Òåïåðüðàññìîòðèìíàáîðôóíêöèé u 1 ( z ) ;:::;u k ( z ) , kp .Ýòîòíàáîðòîæåÿâëÿåòñÿ àññîöèèðîâàííûìáàçèñîìðåøåíèéóðàâíåíèÿ 1 W ( u 1 ;:::;u k ) dz ::: du k dz dy dz . . . . . . . . . d k u 1 dz k ::: d k u k dz k d k y dz k 1 C C C A =0 : (24) Ýòîóðàâíåíèåôóêñîâî(ïîò.Ôóêñà),òàêêàêîíîðåãóëÿðíî.Ýòîîçíà÷àåò,÷òîñïî- ìîùüþàíàëîãè÷íîé(23)çàìåíåèçíåãîìîæíîïîëó÷èòüôóêñîâóâ z = a i ñèñòåìó. Óýòîéñèñòåìûáóäåòñîîòâåòñòâóþùàÿìàòðèöà U k i ( a i ) ,îïðåäåëèòåëüêîòîðîéîòëè- ÷åíîòíóëÿïîòåîðåìåËåâåëÿ.Çàìåòèì,÷òîèçâèäàçàìåíû(23)èèçëåâåëåâñêîãî ðàçëîæåíèÿ(4)âèäíî,÷òîýòàìàòðèöà U k i ( a i ) ïîäìàòðèöàìàòðèöû U i ( a i ) ,ñòîÿ- ùàÿíàïåðåñå÷åíèèïåðâûõ k ñòðîêèïåðâûõ k ñòîëáöîâ.Òàêèìîáðàçîì,ãëàâíûå óãëîâûåìèíîðû U i ( a i ) îïðåäåëèòåëèñîîòâåòñòâóþùèõìàòðèöñèñòåììåíüøèõ ðàçìåðíîñòåéè,ñîîòâåòñòâåííî,âñåîíèîòëè÷íûîòíóëÿ. 2 Òåîðåìà3. Åñëèïîìîíîäðîìèè  èíàáîðóîñîáûõòî÷åê a 1 ;:::;a n ìîæíî ïîñòðîèòüñèñòåìóâèäà(3),(12),òîìîæíîïîñòðîèòüèôóêñîâîóðàâíåíèå(11). Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâîñîñòîèòâïîñëåäîâàòåëüíîìïðèìåíåíèèìåðî- ìîðôíûõêàëèáðîâî÷íûõïðåîáðàçîâàíèé,ïðèâîäÿùèõâèòîãåñèñòåìóâèäà(3),(12) âñèñòåìóñìàòðèöåéêîýôôèöèåíòîââèäà(21),ýêâèâàëåíòíóþóðàâíåíèþ.Ìûóáå- äèìñÿ,÷òîýòèêàëèáðîâî÷íûåïðåîáðàçîâàíèÿíåäîáàâÿòíîâûõîñîáûõòî÷åê,à òî,÷òîïîëó÷åííîåâèòîãåóðàâíåíèåáóäåòôóêñîâûì,ñëåäóåòèçåãîðåãóëÿðíîñòè, êîòîðàÿî÷åâèäíûìîáðàçîìâûòåêàåòèçðåãóëÿðíîñòèèñõîäíîéôóêñîâîéñèñòåìû. Ðàññìîòðèìïðåîáðàçîâàíèåâèäà ~ y =� i y; � i ( z )= I + E i ( z ) ; � ; ñìàòðèöåé E i ( z ) ,ñîäåðæàùåéòîëüêîîäèííåíóëåâîéýëåìåíò e i ( z )= � X k =1 h ik z ( z � a i ) k ;i =2 ;:::;n � 1; e 1 ( z )= const 12 íàìåñòå ( ; ) ñïîäõîäÿùèìèïîñòîÿííûìè h ik .Ìàòðèöûïðåîáðàçîâàíèé � i ( z ) ãîëîìîðôíîîáðàòèìûâíå a i ,ïðè i =2 ;:::;n � 1 ,èïîñòîÿííûïðè i =1 .Ñèñòåìà ïîääåéñòâèåìýòèõïðåîáðàçîâàíèéïåðåñòàíåòáûòüôóêñîâîé,íîñîõðàíèòôîðìó (12),òîëüêîâìåñòîïîñòîÿííûõìàòðèöâû÷åòîâ B i áóäóòñòîÿòüìàòðèöûñïîëèíî- ìàìèîò 1 = ( z � a i ) .Íàçîâåìýòèìàòðè÷íûåôóíêöèè ~ B i .Ïðåîáðàçîâàíèå � i ( z ) ïðè ïîäõîäÿùåìâûáîðåïîñòîÿííûõ h ik îáíóëÿåòýëåìåíòìàòðèöû ~ B i ñèñòåìû(3),(12), ñòîÿùèéíàìåñòå ( � 1 ; ) ,ïðè÷åìâñåîñòàëüíûåìàòðèöû ~ B j ñîõðàíÿþòíèæíþþ òðåóãîëüíîñòü,àïåðâûå � 1 ñòðîêñèñòåìûâîîáùåíåèçìåíÿòñÿ.Ýëåìåíò e i ñëå- äóåòâûáðàòüòàê: e i = a i  b i � 1 ; ,ãäå b i � 1 ; ýëåìåíòíà ( � 1 ; ) ìåñòåìàòðèöû ~ B i . Òàê,äåéñòâóÿâíóæíîìïîðÿäêå: � 1 21 ;:::; � n � 1 21 ; � 1 31 ;:::; � n � 1 31 ; � 1 32 ;:::;  ;:::; � n � 1 p;p � 1 ; îáíóëèìâñåñòðîêèìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâ(12),êðîìåïîñëåäíåéèêðîìååäèíè÷- íîéíàääèàãîíàëèâû÷åòàâíóëå.Ïåðåéäåìâñëåäóþùåéôîðìåìàòðèöûêîýôôè- öèåíòîâ ~ B ( z )= 1 z 0 B B @ 0100 00 . . . 0 0001  1 C C A + 0 B B @ 0000 . . . . . . . . . . . . 0000  1 C C A : Êïîëó÷åííîéñèñòåìåïðèìåíèìêàëèáðîâî÷íîåïðåîáðàçîâàíèåâèäà: ~ y =� f ( z ) y; � f ( z )= 0 B B B B @ 10000 01 =z 000 0 � 1 =z 2 1 =z 2 00 02 =z 3 � 2 =z 3 1 =z 3 0 0  1 C C C C A : ÎíîïîñòðîåíîñïîìîùüþïðîöåäóðûïàðàãðàôàŸ3.1.Ýòàñèñòåìàïðåîáðàçóåòñÿâ óðàâíåíèåñòàíäàðòíîéçàìåíîé. Ýòîïðåîáðàçîâàíèåïðåîáðàçóåòñèñòåìóâñèñòåìóâèäà(22). 2 Òåîðåìà4. Ïîôóêñîâóóðàâíåíèþ(1)ìîæíîïîñòðîèòüñòàáèëüíîåðàññëî- åíèåñëîãàðèôìè÷åñêîéñâÿçíîñòüþèòèïîìðàñùåïëåíèÿ K =( n � 2) D ñòåìè æåîñîáûìèòî÷êàìèèìîíîäðîìèåé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòüòî÷êè a 1 =0 , a 2 ;:::;a n îñîáûåòî÷êèôóêñîâàóðàâ- íåíèÿ(1),àòî÷êà z = 1 íåîñîáàÿ.Ïîóðàâíåíèþ(1)ñïîìîùüþçàìåíû y 1 = u;y 2 = u 0 ;:::;y p = u ( p � 1) ïîñòðîèìðåãóëÿðíóþñèñòåìóñëåäóþùåãîâèäà dy dz = 0 B B @ 010 . . . . . . 001 � b p :::::: � b 1 1 C C A y (25) 13 ñòåìèæåîñîáûìèòî÷êàìèèìîíîäðîìèåé,÷òîóóðàâíåíèÿ(1).Ëåãêîâèäåòü,÷òî ëîêàëüíî,âîêðåñòíîñòèòî÷êè z = a i ,ñèñòåìà(25)ïðåîáðàçîâàíèåìâèäà ~ y =( z � a i ) D y ïðèâîäèòñÿêôóêñîâîéâòî÷êå z = a i ñèñòåìå.Ïðåîáðàçîâàííàÿñèñòåìàáóäåòèìåòü îñîáåííîñòüâáåñêîíå÷íîñòè.×òîáûïðåîáðàçîâàòüñèñòåìó(25)êôóêñîâîéâòî÷êàõ a 2 ;:::;a n ,èíåèìåþùåéîñîáåííîñòèâáåñêîíå÷íîñòè,âîñïîëüçóåìñÿêàëèáðîâî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèåìâèäà ~ y =�( z ) y; �( z )= n Y i =2  z � a i z  D ; ãîëîìîðôíîîáðàòèìûìâáåñêîíå÷íîñòè. Ïðåîáðàçîâàííàÿñèñòåìà d ~ y dz = ~ B ( z )~ y; ~ B ( z )=� B ( z )� � 1 + d � dz � � 1 : (26) ôóêñîâàâîáëàñòè C n 0 .Ñèñòåìàâèäà d ~ y dz = ~ B 0 ( z )~ y; ~ B 0 ( z )=� 0 B ( z )� � 1 0 + d � 0 dz � � 1 0 ; (27) ñ � 0 ( z )= Q n i =1 ( z � a i ) D ,ôóêñîâàâíóëåèñâÿçàíàññèñòåìîé(26)ñëåäóþùèìîáðàçîì: ~ B ( z )= z � ( n � 2) D ~ B 0 z ( n � 2) D � ( n � 2) D z : Ñïîìîùüþïîëó÷åííûõñèñòåìíàñôåðåÐèìàíàìîæåòáûòüïîñòðîåíîãîëî- ìîðôíîåðàññëîåíèåñëîãàðèôìè÷åñêîéñâÿçíîñòüþ.Îïðåäåëèìåãîñïîìîùüþñëå- äóþùåãîêîîðäèíàòíîãîîïèñàíèÿ ( F; r )=  U 0 3 0 ;U 1 = C nf 0 g ;! 0 = ~ B 0 ( z ) ;! 1 = ~ B ( z ) ;g 0 1 = z ( n � 2) D  : Ïîñòðîåííîåðàññëîåíèåèìååòòèïðàñùåïëåíèÿ K =(0 ; ( n � 2) ;:::; ( n � 2)( p � 1)) , êàêèòðåáóåòñÿâóñëîâèèòåîðåìû.Îñòàåòñÿïîêàçàòü,÷òîïîñòðîåííîåðàññëîåíèå ñîñâÿçíîñòüþîáðàçóþòñòàáèëüíóþïàðó.Äîêàæåìýòî. Ïðåäïîëîæèì,÷òîóïðåäñòàâëåíèÿìîíîäðîìèè(2)ñâÿçíîñòè r èìååòñÿïîäïðåä- ñòàâëåíèå.Äðóãèìèñëîâàìè,ïðîñòðàíñòâîãîðèçîíòàëüíûõñå÷åíèé(ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèéñîîòâåòñòâóþùåéñèñòåìû)èìååòèíâàðèàíòíîåïîäïðîñòðàíñòâî.Çäåñüíàì ñíîâàóäîáíååðàáîòàòüññèñòåìîéâèäà(25).Ðàññìîòðèìáàçèñ u 1 ( z ) ;:::;u p ( z ) ïðî- ñòðàíñòâàðåøåíèéóðàâíåíèÿ,ïðè÷åìòàêîé,÷òîïåðâûå l åãîýëåìåíòîâîáðàçó- þòáàçèñèíâàðèàíòíîãîïîäïðîñòðàíñòâà.Çàìåòèì,÷òîôóíäàìåíòàëüíóþìàòðèöà Y ( z ) ñèñòåìû(25)èìååòâèä: Y ( z )= 0 B B B @ u 1 ( z ) u 2 ( z ) :::u p ( z ) u 0 1 ( z ) u 0 2 ( z ) :::u 0 p ( z ) . . . . . . . . . . . . u ( p � 1) 1 ( z ) u ( p � 1) 2 ( z ) :::u ( p � 1) p ( z ) 1 C C C A : 14 Ìàòðèöà Y i ( z )=( z � a i ) D Y ( z ) ôóíäàìåíòàëüíàÿìàòðèöàôóêñîâîéâ z = a i ñèñòåìû. Òåïåðüïîñòðîèìïîôîðìóëå(24)óðàâíåíèå,ôóíäàìåíòàëüíûìèðåøåíèÿìèêî- òîðîãîáóäóòôóíêöèè u 1 ( z ) ;:::;u l ( z ) ,îáðàçóþùèåèíâàðèàíòíîåïîäïðîñòðàíñòâî. Ïðèìåíåíèåýòîéôîðìóëûêîððåêòíî,òàêêàêôóíêöèè u 1 ( z ) ;:::;u l ( z ) ëèíåéíîíåçà- âèñèìûèïîðîæäàþòèíâàðèàíòíîåîòíîñèòåëüíîîïåðàòîðàìîíîäðîìèèïðîñòðàí- ñòâî.Ïîëó÷åííîåóðàâíåíèåíåáóäåòèìåòüîñîáûõòî÷åê,êðîìå a 1 ;:::;a n ,òàêêàê èõíåáûëîóèñõîäíîãîóðàâíåíèÿ.Ïîñòðîåííîåóðàâíåíèå u ( l ) + q 1 ( z ) u ( l � 1) + ::: + q l ( z ) u =0 (28) ðåãóëÿðíîå,àçíà÷èòôóêñîâî.Ñëåäîâàòåëüíî,ôóíêöèè r j ( z )= q j ( z )  n Y i =1 ( z � a i ) j ãîëîìîðôíûâ C .Óðàâíåíèå(28)ìîæíîèñïîëüçîâàòüêàêñîîòíîøåíèå,âûðàæàþùåå ñòàðøóþïðîèçâîäíóþëþáîéèçôóíêöèé u 1 ( z ) ;:::;u l ( z ) ÷åðåçìëàäøèåïðîèçâîä- íûå.Ñïîìîùüþýòîãîñîîòíîøåíèÿíàìóäàñòñÿïîñòðîèòüöåïî÷êóêàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé,êîòîðûåîáíóëÿòâñåýëåìåíòûôóíäàìåíòàëüíîéìàòðèöû Y 0 ( z ) , ñòîÿùèåíàïåðåñå÷åíèèïåðâûõ l ñòîëáöîâèïîñëåäíèõ p � l ñòðîê. Óðàâíåíèåèåãîïðîèçâîäíûåäàäóòñîîòíîøåíèÿäëÿôóíêöèé u ( l ) k ( z ) ;:::;u ( p � 1) k ( z ) , ïðè k =1 ;:::;l .Ëåãêîïðîâåðèòü,÷òîñîîòíîøåíèÿáóäóòèìåòüâèä: u ( m ) = m ~ q 1 ( z ) u ( m � 1) + ::: + m ~ q m ( z ) u;m � l; ãäåôóíêöèè ~ r j ( z )=~ q j ( z )  Q n i =1 ( z � a i ) j òîæåãîëîìîðôíûâ C ,òàêêàêýòîóðàâíåíèå òîæåôóêñîâî. Ïðèìåíèìêôóíäàìåíòàëüíîéìàòðèöåñèñòåìû(25)ñëåäóþùóþïîñëåäîâàòåëü- íîñòüêàëèáðîâî÷íûõïðåîáðàçîâàíèé ~ y =� l +1 ( z )  :::  � p ( z ) y; ãäå � m ( z )= 0 B B B B @ 10 ::: 00 01 ::: 00 . . . . . . . . . . . . . . . � m ~ q m ( z ) ::: � m ~ q 1 ( z )10 00 ::: 01 1 C C C C A ; ò.å.ïðåîáðàçîâàíèå ~ y =� m ( z ) y âû÷èòàåòèçñòðîêèñíîìåðîì m +1 ïðåäûäóùèå m ñòðîê,îáíóëÿÿïðèýòîìïåðâûå l ýëåìåíòîâ ( m +1) -îéñòðîêèìàòðèöû Y ( z ) . Îñòàëîñüóáåäèòüñÿ,÷òîäàííîåïðåîáðàçîâàíèåíåèçìåíèòïîðÿäêîâïîëþñîâ ëîêàëüíûõôîðìñâÿçíîñòè r .Äåéñòâèòåëüíî,ïðåîáðàçîâàíèå ( z � a i ) D � m ( z � a i ) � D ; äåéñòâóþùååíàôóêñîâóñèñòåìóñôóíäàìåíòàëüíîéìàòðèöåé Y i ( z ) ,ãîëîìîðôíî îáðàòèìîâòî÷êå a i .Ñëåäîâàòåëüíîîíàíåìîæåòèçìåíèòüãîëîìîðôíîãîòèïàðàñ- ñëîåíèÿ. 15 Òåïåðüâèäíî,÷òîëþáîåïîäðàññëîåíèå F 1 ðàññëîåíèÿ F ,èíâàðèàíòíîåîòíîñè- òåëüíîäåéñòâèÿìîíîäðîìèè,èìååòòèïðàñùåïëåíèÿñîâïàäàþùèéñíà÷àëîìòèïà ðàñùåïëåíèÿ F .Ýòîäîêàçûâàåòñòàáèëüíîñòüïàðû ( F; r ) ,òàêêàêýëåìåíòûòèïà ðàñùåïëåíèÿâîçðàñòàþò. 2 4Íåêîòîðûåñëåäñòâèÿ Ââåäåìäâàêëàññàïðåäñòàâëåíèé. Á-ïðåäñòàâëåíèÿìè íàçûâàþòïðèâîäèìûåïðåä- ñòàâëåíèÿ,êàæäàÿîáðàçóþùàÿêîòîðûõïðèâîäèòñÿêæîðäàíîâîéêëåòêå.Âýòîì êëàññåÀ.À.ÁîëèáðóõîìáûëèíàéäåíûïåðâûåêîíòðïðèìåðûêïðîáëåìåÐèìàíà Ãèëüáåðòàäëÿôóêñîâûõñèñòåì.Åùåîäèíêëàññïðåäñòàâëåíèéýòîïðåäñòàâëåíèÿ âèäà  =  1   2 ñîáðàçóþùèìè G i = G 1 i  G 2 i , i =1 ;:::;n ,òàêèìè,÷òîñïåêòðû ìàòðèö G 1 i è G 2 i íåïåðåñåêàþòñÿíèïðèîäíîì i .Íàçîâåìèõ ðàñùåïèìûìè . Ñëåäñòâèå1. Á-ïðåäñòàâëåíèÿèðàñùåïèìûåïðåäñòàâëåíèÿñíåìåíåå,÷åì òðåìÿîáðàçóþùèìèíåìîãóòáûòüðåàëèçîâàíûêàêïðåäñòàâëåíèÿìîíîäðîìèè ñêàëÿðíûõôóêñîâûõóðàâíåíèé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîîáàêëàññàïðåäñòàâëåíèéìîæíîïîêàçàòü,÷òîïîíèì íåëüçÿïîñòðîèòüñòàáèëüíîóþïàðó.ÏðîÁ-ïðåäñòàâëåíèÿýòîëåãêîñëåäóåòèçäî- êàçàòåëüñòâàòåîðåìû11.2èç[2]. Åñëèïðåäñòàâëåíèåðàñùåïèìî  =  1   2 ,òî,ïîñòðîåííîåïîíåìóðàññëîåíèå F ñîñâÿçíîñòüþáóäåòèìåòüäâàïîäðàññëîåíèÿ F 1 è F 2 ,êîòîðûåáóäóòñòàáèëèçè- ðîâàòüñÿñâÿçíîñòüþ(èíâàðèàíòíûîòíîñèòåëüíîäåéñòâèÿìîíîäðîìèè).Ïîäïðåä- ñòàâëåíèÿì  1 è  2 îòâå÷àþòïîäðàññëîåíèÿ F 1 è F 2 ,ñîîòâåòñòâåííî.Ïîêàæåì,÷òî deg F =deg F 1 +deg F 2 : (29) Âêà÷åñòâåàññîöèèðîâàííîãîáàçèñàðàññìîòðèìñëàáîëåâåëåâñêèé.Èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà,îòâå÷àþùèåïðÿìûìñëàãàåìûììîíîäðîìèè,ïîðîæäàþòñÿ÷àñòÿ- ìèñëàáîëåâåëåâñêîãîáàçèñà,ò.å.ïåðâûå l âåêòîðîâïîðîæäàþòïåðâîåèíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî,àïîñëåäíèå p � l âåêòîðîââòîðîå.Äåéñòâèòåëüíî,ðàññìîòðèì îïåðàòîð G i = G 0 i  G 00 i ,ãäå G 0 1 è G 00 i îáðàçóþùèåïîäïðåäñòàâëåíèé.Ïîóñëîâèþ, îïåðàòîðû G 0 i è G 00 i íåèìåþòîäèíàêîâûõñîáñòâåííûõçíà÷åíèé,à,çíà÷èò,êàæ- äûéâåêòîðèçñëàáîëåâåëåâñêîãîáàçèñàëåæèòðîâíîâîäíîìèçïîäïðîñòðàíñòâ,â òîì,âêîòîðîìëåæèòñîîòâåòñòâóþùååñîáñòâåííîåïîäïðîñòðàíñòâî.Òîãäàñòåïåíü ïîäðàññëîåíèÿ F 1 ðàâíàñóììåïîêàçàòåëåé,ñîîòâåòñòâóþùèõïîäïðåäñòàâëåíèþ  1 : deg F 1 = P n i =1 P l j =1 j i ,òîæåâåðíîèäëÿ F 2 ,òîåñòü deg F 2 = P n i =1 P p j = l +1 j i .Ñëåäî- âàòåëüíî,âûïîëíåíî(29).Èç(29)ñëåäóåò,÷òîïàðà ( F; r ) íåìîæåòáûòüñòàáèëüíîé. Òàêèìîáðàçîì,èçòðåòüåéôîðìóëèðîâêè21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòàñëåäóåò,÷òî äëÿýòèõäâóõêëàññîâïðåäñòàâëåíèéîíàèìååòîòðèöàòåëüíîåðåøåíèå. 2 Çàìå÷àíèå. Âõîðîøîèçó÷åííîìêëàññåôóêñîâûõóðàâíåíèéâòîðîãîïîðÿäêà ñòðåìÿîñîáûìèòî÷êàìè 0 , 1 è 1 óêàçàííûåñåìåéñòâàïðåäñòàâëåíèéäàþòâñå êëàññûíåðåàëèçóåìûåòàêèìèóðàâíåíèÿìè.Â÷àñòíîñòè,êýòîìóêëàññóîòíîñèòñÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîåóðàâíåíèå. Ýòîíåòðóäíîïîêàçàòü,âîñïîëüçîâàâøèñüïîëó÷åííûìèôîðìóëèðîâêàìè.Íà- ïðèìåð,ïîíåïðèâîäèìîìóïðåäñòàâëåíèþìîæíîïîñòðîèòüôóêñîâóñèñòåìó,àîíà 16 ïîñòîÿííîéêàëèáðîâêîéîáÿçàíàïðèâîäèòüñÿêâèäó(3),(12).Äåéñòâèòåëüíî,âû÷åò âòî÷êå z =1 ìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâìîæíîïðèâåñòèêíèæíåòðåóãîëüíîìóâèäó, àâû÷åòâíóëåíåñìîæåòèìåòüòàêîéâèä,ò.ê.ñèñòåìàíåïðèâîäèìà.Äàëåå,ïîä- õîäÿùèìäèàãîíàëüíûìêàëèáðîâî÷íûìïðåîáðàçîâàíèåìñäåëàåìïðàâûéâåðõíèé ýëåìåíòâû÷åòàâíóëååäèíèöåé.Åùåáîëååóäîáíîéÿâëÿåòñÿòðåòüÿôîðìóëèðîâêà, íîîíàòðåáóåòïðèìåíåíèÿòåõíèêèðàáîòûñðàññëîåíèÿìèñîñâÿçíîñòüþ. Ñëåäñòâèå2. Ïîìîíîäðîìèèôóêñîâàóðàâíåíèÿìîæíîïîñòðîèòüáåñêîíå÷- íîåñåìåéñòâîôóêñîâûõñèñòåì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíîòåîðåìå4ïîôóêñîâóóðàâíåíèþìîæíîïîñòðîèòü ñòàáèëüíóþïàðó ( F; r ) .Ñäðóãîéñòîðîíû,èçòåîðåìû3ðàáîòû[3]âûòåêàåò,÷òîèç ñóùåñòâîâàíèÿñòàáèëüíîéïàðûñëåäóåò,÷òîñóùåñòâóåòèñêîìîåñåìåéñòâîñèñòåì. 2 Îñíîâíàÿòðóäíîñòüÿâíîãîïðåäúÿâëåíèÿêîíòðïðèìåðîâê21-îéïðîáëåìåÃèëü- áåðòàäëÿñêàëÿðíûõôóêñîâûõóðàâíåíèéñîñòîèòâñëîæíîéçàâèñèìîñòèîòïîëîæå- íèÿîñîáûõòî÷åê.Êàêáóäåòïîêàçàíîíèæå,âñëó÷àå n � 4 îñîáûõòî÷åêîòâåòêïðî- áëåìåíåóñòîé÷èâîòíîñèòåëüíîäâèæåíèÿîñîáûõòî÷åê.Èçâåñòíûìïðèìåðîìòàêîé çàâèñèìîñòèÿâëÿåòñÿñëó÷àé÷åòûðåõîñîáûõòî÷åê 0 , 1 , t è 1 èíåïðèâîäèìîéìî- íîäðîìèè,ïðèíàäëåæàùåé SL(2 ; C ) .Òàêèåäàííûå,êàêïðàâèëî,íåëüçÿðåàëèçîâàòü ñêàëÿðíûìôóêñîâûìóðàâíåíèåìñ÷åòûðüìÿîñîáûìèòî÷êàìè,íîìîæíîðåàëèçî- âàòüóðàâíåíèåìñîäíîéäîïîëíèòåëüíîé,òàêíàçûâàåìîé,ëîæíîé(áåçâåòâëåíèÿ) îñîáîéòî÷êîé w ( t ) ,ïîëîæåíèåêîòîðîéçàâèñèòîò t .Ìûïðåäïîëàãàåì,÷òîìîíîäðî- ìèÿïîñòîÿííà.Ôóíêöèÿ w ( t ) ÿâëÿåòñÿðåøåíèåìóðàâíåíèÿÏåíëåâå6(ñì.[6]).Êàê ïðàâèëî,ðåøåíèÿóðàâíåíèéÏåíëåâåýòîíîâûåíåèçâåñòíûåôóíêöèè,èìåþùèå êðîìåòî÷åê 0 , 1 , 1 åùåèäðóãèå,òàêíàçûâàåìûåïîäâèæíûå,îñîáåííîñòè.Ýòè îñîáåííîñòèòåïîëîæåíèÿòî÷êè t ,ïðèêîòîðûõñóùåñòâóåòñêàëÿðíîåôóêñîâî óðàâíåíèå,ðåàëèçóþùååçàäàííóþìîíîäðîìèþ.Òàêèìîáðàçîì,âîïðîñîâîçìîæ- íîñòèïîñòðîåíèÿñêàëÿðíîãîôóêñîâàóðàâíåíèÿýòîâîïðîñîïèñàíèÿñòðóêòóðû äèâèçîðà. 5Íåäåôîðìèðóåìîñòüôóêñîâûõóðàâíåíèé Èçâåñòíî,÷òîôóêñîâóñèñòåìóñíàáîðîìîñîáûõòî÷åê a =( a 1 ;:::;a n ) ìîæíîâêëþ- ÷èòüâñåìåéñòâîôóêñîâûõñèñòåì dy dz = n X i =1 B i ( a ) z � a i ! y; n X i =1 B i ( a )=0 ; çàâèñÿùååîòïàðàìåòðà a òàê,÷òîýòèñèñòåìûáóäóòèìåòüîäíîèòîæåïðåäñòàâëå- íèåìîíîäðîìèè(2).Òàêîåñåìåéñòâîñèñòåìíàçûâàåòñÿ èçîìîíîäðîìíûì .Íàèáîëåå èçâåñòíîåèçòàêèõñåìåéñòâ,çàäàâàåìîåóðàâíåíèåìØëåçèíãåðà,íàçûâàåòñÿøëå- çèíãåðîâñêèì.Âíåðåçîíàíñíîìñëó÷àåâñåèçîìîíîäðîìíûåäåôîðìàöèèøëåçèíãå- ðîâñêèåèëèñâîäÿòñÿêíèìñîïðÿæåíèåì.Íåïðåðûâíûåèçîìîíîäðîìíûåäåôîðìà- öèèñîõðàíÿþòïîêàçàòåëè.Øëåçèíãåðîâñêàÿäåôîðìàöèÿîòëè÷àåòñÿîòäðóãèõåùå èòåì,÷òîïðèíåéñîõðàíÿþòñÿñâÿçè(îòíîøåíèÿ Y i =Y j )ìåæäóàññîöèèðîâàííûìè 17 áàçèñàìèâðàçíûõòî÷êàõ.Àíàëîãè÷íîäåôîðìàöèÿìñèñòåììîæíîîïðåäåëèòüäå- ôîðìàöèþðàññëîåíèéñîñâÿçíîñòüþ. Âýòîìïàðàãðàôåìûáóäåìàêòèâíîïðèìåíÿòüòåõíèêóðàáîòû[4]. Òåîðåìà5. Ñòàáèëüíàÿïàðà ( F ( a ) ; r ( a )) ñòèïîìðàñùåïëåíèÿ K =( k 1 ;:::;k p ) , ãäå k l +1 � k l � 1 ,äëÿíåêîòîðîãî l ,ïðèíåïðåðûâíîéäåôîðìàöèèïîïàðàìåòðó a íå ìîæåòñîõðàíèòüòèïðàñùåïëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Âðàáîòå[4]ïîêàçàíî,÷òîïîïàðå ( F ( a ) ; r ( a )) ìîæíîïîñòðî- èòüôóêñîâóñèñòåìóñòîéæåìîíîäðîìèåé,÷òîóñâÿçíîñòè r ,èñîñîáûìèòî÷êàìè a 1 ;:::;a n ; 1 : dy dz = n X i =1  B i ( a ) z � a i ! y; n X i =1  B i = � K; (30) ãäå K òèïðàñùåïëåíèÿðàññëîåíèÿ F .Òîãäà,ñîãëàñíîòåîðåìåËåâåëÿ,ôóíäà- ìåíòàëüíàÿìàòðèöà,ñîîòâåòñòâóþùàÿàññîöèèðîâàííîìóáàçèñóâáåñêîíå÷íîñòè, ïðèìåòâèä: Y ( z )= U ( z;a ) z K ;U ( z )= I + U 1 ( a ) 1 z + :::: Òî,÷òî K íåòîëüêîíàáîðíîðìèðîâàíèéâáåñêîíå÷íîñòè,íîèòèïðàñùåïëåíèÿ îçíà÷àåò,÷òî Y ( z )= U ( z;a ) z K = z K V ( z;a ) ;V ( z )= I + V 1 ( a ) 1 z + :::: Òîåñòü U ( z;a )= I + U 1 ( a ) 1 z + O ( 1 z 2 )= z K V ( z;a ) z � K .Îòñþäà,àòàêæåèçòîãî,÷òî k i +1 � k i � 1 ñëåäóåò,÷òî u ij ( a )  0 ;i  lj: (31) Ñäðóãîéñòîðîíûèçôîðìóëû @U 1 ( a ) @a i =  B i ( a ) ; (32) ïîëó÷åííîéâ[4]èçóðàâíåíèÿØëåçèíãåðàèïôàôôîâîéôîðìû,çàäàþùåéøëåçèí- ãåðîâñêóþèçîìîíîäðîìíóþäåôîðìàöèþ. Òàêèìîáðàçîìèçôîðìóë(31)è(32)ñëåäóåò,÷òîñèñòåìà(30)èìååòáëî÷íîíèæ- íåòðåóãîëüíóþôîðìó.Íîýòî,âñâîþî÷åðåäü,îçíà÷àåò,÷òîïîäñèñòåìà,ïîëó÷åííàÿ âïåðåñå÷åíèèïîñëåäíèõ l ñòîëáöîâèñòðîêçàäàåòëîãàðèôìè÷åñêóþñâÿçíîñòüâ ïîäðàññëîåíèè F 1 ñòèïîìðàñùåïëåíèÿ ( k p � l +1 ;:::;k p ) ,÷òîïðîòèâîðå÷èòñòàáèëü- íîñòèïàðû ( F; r )  ( F 1 )= k p � l +1 + ::: + k p l � k 1 + ::: + k p p =  ( F ) : 2 Ìíîæåñòâîíàáîðîâ a =( a 1 ;:::;a n ) îïðåäåëÿåòñÿðàâåíñòâîìíóëþíåêîòîðûõ ýëåìåíòîâìàòðèöûêîýôôèöèåíòîââñïîìîãàòåëüíîéñèñòåìû,ñîîòâåòñòâåííî,îíî ÿâëÿåòñÿàíàëèòè÷åñêèìïîäìíîæåñòâîì C n ïîëîæèòåëüíîéêîðàçìåðíîñòè. Íàçîâåìóðàâíåíèåðåçîíàíñíûì,åñëèêàêèå-òîåãîïîêàçàòåëè(âîäíîéòî÷êå) îòëè÷àþòñÿíàöåëîå÷èñëî. 18 Ñëåäñòâèå3. Íåðåçîíàíñíûåóðàâíåíèÿñíàáîðîìîñîáûõòî÷åê a =( a 1 ;:::;a n ) , n � 4 èìîíîäðîìèåé  íåìîæåòáûòüâêëþ÷åíîâèçîìîíîäðîìèíîåñåìåéñòâîñ ïàðàìåòðàìè a 2 W ,ãäå W íåêîòîðàÿîáëàñòüâ C n . Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíîòðåòüåéôîðìóëèðîâêåñóùåñòâîâàíèåóðàâíåíèÿýê- âèâàëåíòíîñóùåñòâîâàíèþñòàáèëüíîéïàðû ( F; r ) ñòèïîìðàñùåïëåíèÿ K =(0 ;n � 2 ;:::; ( p � 1)( n � 2)) .Ïîóñëîâèþ n � 2 � 1 ,ñîîòâåòñòâåííî,ýòîðàññëîåíèåïîäïàäàåò ïîäóñëîâèåòåîðåìû5,êîòîðàÿóòâåðæäàåò,÷òîíåñóùåñòâóåòèçîìîíîäðîìíîéäå- ôîðìàöèèøëåçèíãåðîâñêîãîòèïà,ñîõðàíÿþùåéòèïðàñùåïëåíèÿ.Âñåäåôîðìàöèè âíåðåçîíàíñíîìñëó÷àåñâîäÿòñÿêøëåçèíãåðîâñêèì,ñîîòâåòñòâåííîèõíåñóùå- ñòâóåò. 2 Çäåñüòàêæåìîæíîñêàçàòü,÷òîìíîæåñòâîíàáîðîâ a =( a 1 ;:::;a n ) ,ïðèêîòî- ðûõñóùåñòâóåòôóêñîâîóðàâíåíèåñçàäàííîéìîíîäðîìèåéÿâëÿåòñÿàíàëèòè÷åñêèì ìíîæåñòâîìïîëîæèòåëüíîéêîðàçìåðíîñòè.Âðåçîíàíñíîìñëó÷àåýòèóòâåðæäåíèÿ áóäóòâåðíûìè,íîòîëüêîäëÿäåôîðìàöèé,ñîõðàíÿþùèõñâÿçèìåæäóëîêàëüíûìè ñèñòåìàìè. Ñïèñîêëèòåðàòóðû [1]ÁîëèáðóõÀ.À.21-ÿïðîáëåìàÃèëüáåðòàäëÿëèíåéíûõôóêñîâûõñèñòåì// Òð. Ìàòåì.èí-òàèì.Â.À.ÑòåêëîâàÐÀÍ.1994.Ò.206. [2]ÁîëèáðóõÀ.À.Ôóêñîâûäèôôåðåíöèàëüíûåóðàâíåíèÿèãîëîìîðôíûåðàññëî- åíèÿ. Ì.:ÌÖÍÌÎ,2000. [3]ÁîëèáðóõÀ.À.ÏðîáëåìàÐèìàíàÃèëüáåðòàíàêîìïàêòíîéðèìàíîâîéïîâåðõ- íîñòè// Òð.ÌÈÐÀÍ.2002.Ò.238.Ñ.55-69. [4]ÁîëèáðóõÀ.À.Îtau-ôóíêöèèóðàâíåíèÿèçîìîíîäðîìíûõäåôîðìàöèéØëå- çèíãåðà// Ìàòåì.çàìåòêè.2003.Ò.74.Â.2.Ñ.184-191. [5]SingerM.,VanDerPutM.GaloisTheoryofLinearDierentialEquations// Springer. [6]ÃîíöîâÐ.Ð.,ÏîáåðåæíûéÂ.À.Ðàçëè÷íûåâàðèàíòûïðîáëåìûÐèìàíà Ãèëüáåðòàäëÿëèíåéíûõäèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé// ÓÌÍ.2008.Ò.63. Â.4.Ñ.147-184. [7]ÂüþãèíÈ.Â.Îáýêâèâàëåíòíûõôîðìóëèðîâêàõ21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòà// Òåçèñûäîêëàäîâìåæäóíàðîäíîéêîíôåðåíöèèïîäèôôåðåíöèàëüíûìóðàâíåíè- ÿìèäèíàìè÷åñêèìñèñòåìàì.Ñóçäàëü.,2008,Ñ.62-63. 19

Приложенные файлы

  • pdf 43039960
    Размер файла: 333 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий