В §4 получены две серии контрпримеров к 21-ой проблеме Гильберта. Из вида преобразования (15) следует, что функции ?ki l(z) имеют полюса порядков, не выше, чем k ? l в точке ai.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Îçàäà÷àõ,ýêâèâàëåíòíûõ21-îéïðîáëåìåÃèëüáåðòà
È.Â.Âüþãèí
Àííîòàöèÿ
Âðàáîòåäàíûòðèôîðìóëèðîâêè21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòàäëÿñêàëÿðíûõôóêñîâûõóðàâ-
íåíèéèäîêàçàíàèõýêâèâàëåíòíîñòü.ÈñõîäíîÃèëüáåðòîìáûëïîñòàâëåíâîïðîñîïîñòðîåíèè
ôóêñîâàóðàâíåíèÿñïðåäïèñàííûìèîñîáûìèòî÷êàìèèìîíîäðîìèåé.Äðóãàÿôîðìóëèðîâêà
çàêëþ÷àåòñÿââîïðîñåïîñòðîåíèÿôóêñîâîéñèñòåìûñïåöèàëüíîãî,ïî÷òèòðåóãîëüíîãîâèäà.
Òðåòüÿäàíàíàÿçûêåãîëîìîðôíûõðàññëîåíèéñëîãàðèôìè÷åñêèìèñâÿçíîñòÿìè,îíàïîç-
âîëÿåòïðèìåíèòüêèññëåäîâàíèþýòîéçàäà÷èàïïàðàòâåêòîðíûõðàññëîåíèéñîñâÿçíîñòüþ,
ïîêàçàâøèéñâîþýôôåêòèâíîñòüïðèðåøåíèèÀ.À.Áîëèáðóõîì21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòàäëÿ
ôóêñîâûõñèñòåì.Âêîíöåðàáîòûïðèâåäåíûíåêîòîðûåñëåäñòâèÿèçýòèõðåçóëüòàòîâ.
1Ââåäåíèå
Âäàííîéðàáîòåóñòàíîâëåíûñâÿçèìåæäóòðåìÿîáðàòíûìèçàäà÷àìèìîíîäðîìèè
àíàëèòè÷åñêîéòåîðèèëèíåéíûõäèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé.Ïåðâàÿçàäà÷à
âîññòàíîâëåíèÿôóêñîâà(ðåãóëÿðíîãî)óðàâíåíèÿïîåãîïðåäñòàâëåíèþìîíîäðîìèè
èíàáîðóîñîáûõòî÷åê.Ýòàçàäà÷àÿâëÿåòñÿèñõîäíîé(äàííîéÃèëüáåðòîì)ôîðìóëè-
ðîâêîé21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòà.Áîëååèçâåñòíûìâàðèàíòîìïðîáëåìûÿâëÿåòñÿ
âòîðàÿçàäà÷àçàäà÷àâîññòàíîâëåíèÿôóêñîâîéñèñòåìûïîïðåäñòàâëåíèþìîíî-
äðîìèè,íàçûâàåìàÿïðîáëåìîéÐèìàíàÃèëüáåðòà,èëè21-îéïðîáëåìîéÃèëüáåðòà
äëÿëèíåéíûõôóêñîâûõñèñòåì.Òðåòüÿçàäà÷àïîñòðîåíèÿïîìîíîäðîìèèëîãà-
ðèôìè÷åñêîéñâÿçíîñòèâãîëîìîðôíîìâåêòîðíîìðàññëîåíèè,èìåþùåìçàäàííûé
òèïðàñùåïëåíèÿ.Íàéäåíûçàäà÷èâòîðîãîèòðåòüåãîòèïîâ,âòî÷íîñòèýêâèâàëåíò-
íûåïåðâîéçàäà÷å.Â÷àñòè3ðàáîòûäîêàçàíàýêâèâàëåíòíîñòüýòèõòðåõçàäà÷.Â
ñëåäóþùèõ÷àñòÿõïðåäñòàâëåíûíåêîòîðûåñëåäñòâèÿèçýòèõðåçóëüòàòîâ.
ÈíòåðïðåòàöèÿïðîáëåìûÐèìàíàÃèëüáåðòàäëÿôóêñîâûõñèñòåìêàêçàäà÷è
ïîñòðîåíèÿëîãàðèôìè÷åñêîéñâÿçíîñòèâãîëîìîðôíîìðàññëîåíèè,àçàòåìíàõîæ-
äåíèÿñîîòâåòñòâóþùåãîòðèâèàëüíîãîðàññëîåíèÿ,äîêàçàëàñâîþýôôåêòèâíîñòüâ
ðàáîòàõÕ.ÐåðëÿèÀ.À.Áîëèáðóõà.Çäåñüìûïðåäñòàâëÿåìàíàëîãè÷íóþèíòåð-
ïðåòàöèþäëÿçàäà÷èïîñòðîåíèÿñêàëÿðíîãîôóêñîâàóðàâíåíèÿïîìîíîäðîìèè.Â
îòëè÷èåîòïðåäûäóùåéçàäà÷è,çäåñüýòàèíòåðïðåòàöèÿÿâëÿåòñÿäîñòàòî÷íîñëîæ-
íûìóòâåðæäåíèåì.Îòâåòïîëó÷àåòñÿñëåäóþùèì.
1)
(
F;
r
)
òðèâèàëüíî,ò.å.
K
=(0
;:::;
0)
(îïðåäåëåíèåòèïàðàñùåïëåíèÿ
K
ñì.
íèæå)
()
ïîìîíîäðîìèèñâÿçíîñòè
r
ìîæíîïîñòðîèòüôóêñîâóñèñòåìó(çàìåòèì,
÷òîòðèâèàëüíîåðàññëîåíèåâñåãäàÿâëÿåòñÿïîëóñòàáèëüíûì);
2)
(
F;
r
)
ñòàáèëüíàèëèïîëóñòàáèëüíà(îïðåäåëåíèåñì.íèæå)ñòèïîìðàñ-
ùåïëåíèÿ
K
=(0
;n

2
;:::;
(
n

2)(
p

1))
()
ïîìîíîäðîìèèñâÿçíîñòè
r
ìîæíî
ïîñòðîèòüñêàëÿðíîåôóêñîâîóðàâíåíèå.
Çàìåòèì,÷òîðàññëîåíèåâîçíèêàþùååâîâòîðîìïóíêòåèìååòñàìûéðàçðåæåí-
íûéòèïðàñùåïëåíèÿñðåäèïîëóñòàáèëüíûõïàð.Â[2],â÷àñòíîñòè,ïîêàçàíî,÷òî
1
äëÿòèïàðàñùåïëåíèÿïîëóñòàáèëüíîéïàðûâûïîëíåíîíåðàâåíñòâî
8
ik
i
+1

k
i
6
n

2
.Âïåðâîìïóíêòå,íàîáîðîò,âîçíèêàåòòðèâèàëüíîåðàññëîåíèå.À.À.Áîëèáðó-
õîìâðàáîòå[1]èññëåäîâàëàñüçàäà÷àâîññòàíîâëåíèÿóðàâíåíèÿñäîïîëíèòåëüíûìè
ëîæíûìèîñîáåííîñòÿìèïîìîíîäðîìèè.Óíåãîïîëó÷åíîâûðàæåíèåäëÿ÷èñëà
òàêèõîñîáûõòî÷åêïðèóñëîâèè,÷òîìîíîäðîìèÿíåïðèâîäèìà(òîãäàóñëîâèåñòà-
áèëüíîñòèïàðûâûïîëíÿåòñÿàâòîìàòè÷åñêè).Åãîðåçóëüòàòûáûëèïåðåèçëîæåíû
Ì.ÇèíãåðîìèÌ.ÂàíäåðÏóò(ñì.â[5])âòåðìèíàõäèôôåðåíöèàëüíîéòåîðèè
Ãàëóà.
Ÿ4ïîëó÷åíûäâåñåðèèêîíòðïðèìåðîâê21-îéïðîáëåìåÃèëüáåðòà.Òî,÷òî21-ÿ
ïðîáëåìàÃèëüáåðòàäëÿñêàëÿðíûõôóêñîâûõóðàâíåíèéèìååòâîáùåìñëó÷àåîòðè-
öàòåëüíîåðåøåíèå,ñëåäóåòèçïîäñ÷åòà÷èñëàïàðàìåòðîâ,îòêîòîðûõçàâèñÿòìíî-
æåñòâàâñåâîçìîæíûõïðåäñòàâëåíèéèóðàâíåíèé(ñì.â[2]).Ïðèýòîìÿâíîïîñòðî-
åíûñåðèèêîíòðïðèìåðîâáûëèòîëüêî,êîãäàÀ.À.Áîëèáðóõäîêàçàë,÷òîêîíòðïðè-
ìåðûêïðîáëåìåÐèìàíàÃèëüáåðòàÿâëÿþòñÿêîíòðïðèìåðàìèèê21-îéïðîáëåìå
Ãèëüáåðòàäëÿñêàëÿðíûõóðàâíåíèé,îòâåòèâíàâîïðîñ,ïîñòàâëåííûéÍ.Ï.Åðóãè-
íûì.Ýòàòåîðåìàíåìíîãîóëó÷øåíàâ[5],òàìïîêàçàíî,÷òîñèñòåìàìîæåòáûòü
âûáðàíàïî÷òèâåðõíåòðåóãîëüíîé.Òàêèìîáðàçîì,óæåèçâåñòíûåêîíòðïðèìåðûê
ïðîáëåìåÐèìàíàÃèëüáåðòàÿâëÿþòñÿêîíòðïðèìåðàìèèêýòîéçàäà÷å,íîïîñòðî-
åííûåíàìèñåðèèíåÿâëÿþòñÿêîíòðïðèìåðàìèêïðîáëåìåÐèìàíàÃèëüáåðòà.Òàì
æåïåðåäîêàçàíàèóñèëåíàòåîðåìàÀ.À.Áîëèáðóõà,óòâåðæäàþùàÿ,÷òîïîìîíî-
äðîìèèôóêñîâàóðàâíåíèÿâñåãäàìîæíîïîñòðîèòüôóêñîâóñèñòåìó.Ïîêàçàíî,÷òî
ìîæíîïîñòðîèòüöåëîåñåìåéñòâîòàêèõñèñòåì.
Â5ðàçäåëåäîêàçàíî,÷òîôóêñîâîóðàâíåíèåñ
n

3
îñîáûìèòî÷êàìèíåìîæåò
áûòüèçîìîíîäðîìíîíåïðåðûâíîïðîäåôîðìèðîâàíîâíåêîòîðóþîêðåñòíîñòü,åñëè
ïàðàìåòðàìèäåôîðìàöèèÿâëÿþòñÿîñîáûåòî÷êè.
1.1Ôóêñîâûóðàâíåíèÿèñèñòåìû
Ðàññìîòðèìëèíåéíîåäèôôåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå
d
p
y
dz
p
+
b
1
(
z
)
d
p

1
y
dz
p

1
+
:::
+
b
p
(
z
)
y
=0
;
(1)
ïîðÿäêà
p
ñìåðîìîðôíûìèíàñôåðåÐèìàíà
C
=
C
[1
êîýôôèöèåíòàìè
b
1
(
z
)
;:::;b
p
(
z
)
,
ãîëîìîðôíûìèâíåìíîæåñòâàîñîáûõòî÷åê
a
1
;:::;a
n
.
Ïðåäñòàâëåíèåììîíîäðîìèè
èëè
ìîíîäðîìèåé
äàííîãîóðàâíåíèÿíàçûâàåòñÿ
ïðåäñòàâëåíèå

:

1
(
C
nf
a
1
;:::;a
n
g
;z
0
)
�!
GL
(
p;
C
)
(2)
ôóíäàìåíòàëüíîéãðóïïûïðîñòðàíñòâà
C
nf
a
1
;:::;a
n
g
âïðîñòðàíñòâîíåâûðîæ-
äåííûõêîìïëåêñíûõìàòðèöïîðÿäêà
p
,êîòîðîåîïðåäåëÿåòñÿñëåäóþùèìîáðàçîì.
Âîêðåñòíîñòèíåîñîáîéòî÷êè
z
0
ðàññìîòðèìáàçèñ
(
y
1
(
z
)
;:::;y
p
(
z
))
ïðîñòðàíñòâà
ðåøåíèéóðàâíåíèÿ(1).Ïðèàíàëèòè÷åñêîìïðîäîëæåíèèôóíêöèé
y
1
(
z
)
;:::;y
p
(
z
)
âäîëüïðîèçâîëüíîéïåòëè

,ñêîíöàìèâòî÷êå
z
0
èëåæàùåéâ
C
nf
a
1
;:::;a
n
g
,áàçèñ
(
y
1
;:::;y
p
)
ïåðåõîäèòâ(âîîáùåãîâîðÿ,äðóãîé)áàçèñ
(~
y
1
;:::;
~
y
p
)
.Äâàáàçèñàñâÿçàíû
ñïîìîùüþíåâûðîæäåííîéìàòðèöûïåðåõîäà
G

,ñîîòâåòñòâóþùåéïåòëå

:
(
y
1
;:::;y
p
)=(~
y
1
;:::;
~
y
p
)
G

:
2
Îòîáðàæåíèå
[

]
7!
G

(êîòîðîåçàâèñèòòîëüêîîòãîìîòîïè÷åñêîãîêëàññà
[

]
ïåòëè

)èçàäàåòïðåäñòàâëåíèå

.
Ìàòðèöåéìîíîäðîìèè
óðàâíåíèÿ(1)âîñîáîéòî÷êå
a
i
(îòíîñèòåëüíîáàçèñà
(
y
1
;:::;y
p
)
)íàçûâàåòñÿìàòðèöà
G
i
,ñîîòâåòñòâóþùàÿïðîñòîé
ïåòëå

i
,îáõîäÿùåéòî÷êó
a
i
,ò.å.
G
i
=

([

i
])
.
Îñîáàÿòî÷êà
a
i
óðàâíåíèÿ(1)íàçûâàåòñÿ
ôóêñîâîé
,åñëèêîýôôèöèåíò
b
j
(
z
)
èìååò
âýòîéòî÷êåïîëþñïîðÿäêàíåáîëåå
j
(
j
=1
;:::;p
).ÑîãëàñíîòåîðåìåÔóêñà(ñì.
[2])îñîáàÿòî÷êà
a
i
ÿâëÿåòñÿôóêñîâîéòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàîíà
ðåãóëÿðíà
(ò.
å.êîãäàëþáîåðåøåíèåèìååòíåáîëåå,÷åìñòåïåííîéðîñòâîêðåñòíîñòèòî÷êè
a
i
).
Óðàâíåíèå(1)íàçûâàåòñÿ
ôóêñîâûì
,åñëèâñååãîîñîáûåòî÷êèôóêñîâû.
Çàäà÷àîïîñòðîåíèèôóêñîâàóðàâíåíèÿ(1)ñçàäàííûìèîñîáûìèòî÷êàìè
a
1
;:::;a
n
èçàäàííûìïðåäñòàâëåíèåììîíîäðîìèè(2)âîáùåìñëó÷àåèìååòîòðèöàòåëüíîåðå-
øåíèå,ïîñêîëüêó÷èñëîïàðàìåòðîâ,îòêîòîðûõçàâèñèòòàêîåóðàâíåíèå,ìåíüøå
÷èñëàïàðàìåòðîâ,îòêîòîðûõçàâèñèòìíîæåñòâîïðåäñòàâëåíèé

(ñì.[2]).
Íàðÿäóñóðàâíåíèåì(1)ìîæíîðàññìîòðåòüëèíåéíóþñèñòåìó
dy
dz
=
B
(
z
)
y;y
(
z
)
2
C
p
;B
(
z
)
2
Mat
p

p
(
C
)
(3)
èç
p
óðàâíåíèé,ñìåðîìîðôíîéíàñôåðåÐèìàíàìàòðèöåé
B
(
z
)
,ãîëîìîðôíîéâíå
òî÷åê
a
1
;:::;a
n
.Ïðåäñòàâëåíèåìîíîäðîìèèäàííîéñèñòåìûîïðåäåëÿåòñÿòàêæå,
êàêèäëÿóðàâíåíèÿ(1),íóæíîòîëüêîâìåñòîñòðîêè
(
y
1
;:::;y
p
)
ðàññìîòðåòü
ôóí-
äàìåíòàëüíóþìàòðèöó
Y
(
z
)
ìàòðèöó,ñòîëáöûêîòîðîéîáðàçóþòáàçèñâïðî-
ñòðàíñòâåðåøåíèéñèñòåìû.
Îñîáàÿòî÷êà
a
i
ñèñòåìû(3)íàçûâàåòñÿ
ôóêñîâîé
,åñëèìàòðèöà
B
(
z
)
èìååòïðî-
ñòîéïîëþñ(ïîëþñïåðâîãîïîðÿäêà)âýòîéòî÷êå.Ôóêñîâàîñîáàÿòî÷êàëèíåéíîé
ñèñòåìûâñåãäàÿâëÿåòñÿðåãóëÿðíîé,õîòÿðåãóëÿðíàÿîñîáåííîñòüíåîáÿçàíàáûòü
ôóêñîâîé(ñì.[2]).Ñèñòåìà(3)íàçûâàåòñÿ
ôóêñîâîé
,åñëèâñåååîñîáûåòî÷êèôóê-
ñîâû.
1.2Ëîêàëüíàÿñòðóêòóðàôóíäàìåíòàëüíîéñèñòåìûðåøåíèé
Äëÿôóíäàìåíòàëüíîéìàòðèöûôóêñîâîéñèñòåìûèìååòìåñòîóäîáíîåëîêàëüíîå
ïðåäñòàâëåíèå.Çäåñüìûáóäåìñ÷èòàòü,÷òî
z
=0
ôóêñîâàîñîáàÿòî÷êàóðàâíåíèÿ
èëèñèñòåìû.
Âîêðåñòíîñòèðåãóëÿðíîéîñîáîéòî÷êè
z
=0
ñóùåñòâóåòòàêàÿôóíäàìåíòàëüíàÿ
ñèñòåìàðåøåíèé,êîòîðàÿìîæåòáûòüïðåäñòàâëåíàâñëåäóþùåéôîðìå
Y
(
z
)=
U
(
z
)
z
A
z
E
;A
=
0
@
'
1
0
.
.
.
0
'
p
1
A
;E
=
0
@

1

.
.
.

0

p
1
A
;
(4)
ãäå
U
(
z
)
ãîëîìîðôíàÿâíóëåìàòðèöà,ñòîëáöûêîòîðîéèìåþòíåíóëåâûåýëåìåí-
òû(âñëó÷àåñèñòåìû),èëèãîëîìîðôíûéâåêòîð,ýëåìåíòûêîòîðîãîíåîáðàùàþòñÿ
âíîëüâíóëå(âñëó÷àåóðàâíåíèÿ).Äèàãîíàëüíûåýëåìåíòû
'
j
öåëûå÷èñëà(öåëûå
÷àñòèàñèìïòîòèêðåøåíèé),äëÿêîòîðûõâûïîëíåíîóñëîâèå
'
1

:::

'
p
;
(5)
3
à

j
íîðìàëèçîâàííûåëîãàðèôìûñîáñòâåííûõçíà÷åíèéìàòðèöû
G
ìîíîäðîìèè
âíóëå.Áîëååòî÷íî
E
=
1
2
i
ln
G;
spec(
E
)=(

1
;:::;
p
)
;
ïðè÷åìâåòâüëîãàðèôìàâûáèðàåòñÿòàê,÷òî

j
=
1
2
i
ln

j
;
0
6
Re

j

1
;
ãäå

j
ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿìàòðèöûìîíîäðîìèè.
Îïèñàííûéâûøåáàçèñïðîñòðàíñòâàðåøåíèéâñåãäàñóùåñòâóåòèíàçûâàåòñÿ
ëåâåëåâñêèì
.Áàçèñ,êîòîðûéïîëó÷àåòñÿêàêîáúåäèíåíèåëåâåëåâñêèõáàçèñîâñîá-
ñòâåííûõ(äëÿîïåðàòîðàìîíîäðîìèè)ïîäïðîñòðàíñòâ,íàçûâàåòñÿ
ñëàáîëåâåëåâ-
ñêèì
.Åñëèñíÿòüóñëîâèå(5)èóñëîâèåâåðõåéòðåóãîëüíîñòèìàòðèöû
E
,íîíàëî-
æèòüóñëîâèå,÷òîìàòðèöà
z
A
Ez

A
ãîëîìîðôíàâíóëå,òîáàçèñíàçûâàþò
àññîöè-
èðîâàííûì
.Ìîæíîïîêàçàòü,÷òîëåâåëåâñêèéèñëàáîëåâåëåâñêèéáàçèñûâñåãäà
ñóùåñòâóþòèÿâëÿþòñÿàññîöèèðîâàííûìè(ñì.â[2]).
Äëÿàññîöèèðîâàííîãîáàçèñàñó÷åòîì(4)ìàòðèöóêîýôôèöèåíòîâñèñòåìûìîæ-
íîçàïèñàòüââèäå
B
(
z
)=
dU
dz
U

1
+
U
(
z
)
A
+
z
A
Ez

A
z
U

1
(
z
)
:
(6)
Âåëè÷èíó

j
=
'
j
+

j
íàçûâàþòïîêàçàòåëåì.Èç(6)âèäíî,÷òîïîêàçàòåëèñóòü
ñîáñòâåííûå÷èñëàâû÷åòîâìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâñèñòåìû.
Òåîðåìà1.
(À.Ëåâåëü[2])Ñèñòåìà(3)ôóêñîâàâòî÷êå
z
=0
òîãäàèòîëüêî
òîãäà,êîãäàìàòðèöà
U
(
z
)
èçðàçëîæåíèÿ(4)ãîëîìîðôíîîáðàòèìàâ
z
=0
,ò.å.
îïðåäåëåííûõâïåðåñå÷åíèÿõîêðåñòíîñòåé,óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèÿìëåììû1
(ñì.íèæå).Íàáîðòàêèõôóíêöèéíàçûâàþò
êîöèêëîì
;
â)ôèêñèðîâàíûëîêàëüíûåòðèâèàëèçàöèè
s
i
ðàññëîåíèÿ
F
íàäîêðåñòíîñòÿìè
U
i
,
òîåñòüíàäêàæäîéîêðåñòíîñòüþ
U
i
ôèêñèðîâàííàáîðèç
p
ëîêàëüíûõãîëîìîðôíûõ
ñå÷åíèé(âåêòîð-ôóíêöèé
s
j
i
(
z
):
U
i
!
C
p
)
(
s
i
)=(
s
1
i
(
z
)
;:::;s
p
i
(
z
))
,îáðàçóþùèõâ
êàæäîéòî÷êå
z
îêðåñòíîñòè
U
i
áàçèñ
(
s
1
i
(
z
)
;:::;s
p
i
(
z
))
âñëîå
L
=
C
p
.
Ïóñòüîêðåñòíîñòè
U
i
,
U
j
èìåþòíåïóñòîåïåðåñå÷åíèå.Òîãäàîïðåäåëèìôóíêöèþ
g
ij
(
z
)
êàêôóíêöèþïåðåõîäàìåæäóòðèâèàëèçàöèÿìè
s
i
=
g
ij
s
j
.
Ëåììà1.
Ïîâåêòîðíîìóðàññëîåíèþ
F
,ïîêðûòèþ
f
U
i
g
èôèêñèðîâàííûì
òðèâèàëèçàöèÿì
f
(
s
i
)
g
ðàññëîåíèÿ
F
íàä
f
U
i
g
ìîæíîïîñòðîèòüíàáîðîòîáðàæå-
íèé
(7)
,îáëàäàþùèõñëåäóþùèìèñâîéñòâàìè:
g
ij
(
z
)

(
g
ji
(
z
))

1
;z
2
U
i
\
U
j
;
g
ji
(
z
)

g
ik
(
z
)

g
kj
(
z
)

I;z
2
U
i
\
U
j
\
U
k
:
(8)
Èîáðàòíî,ïîëþáîìóïîêðûòèþ
f
U
i
g
ìíîãîîáðàçèÿ
B
èïîëþáîìóíàáîðóîòîá-
ðàæåíèé
(7)
,îáëàäàþùèõñâîéñòâàìè
(8)
,ìîæíîïîñòðîèòüâåêòîðíîåðàññëîåíèå
F
0
=(
L
;
B
;
~

0
)
.Åñëèíàáîðîòîáðàæåíèé
f
g
ij
g
áûëïîñòðîåíïîâåêòîðíîìóðàññëî-
åíèþ
F
,òîðàññëîåíèå
F
0
áóäåòýêâèâàëåíòíîðàññëîåíèþ
F
.
Ïðèòàêîìîïèñàíèèòîòàëüíîåïðîñòðàíñòâî
F
íåôèãóðèðóåòÿâíî.×òîáûîïðå-
äåëèòüïðîñòðàíñòâî
F
,ðàññìîòðèìíåñâÿçíîåîáúåäèíåíèå
~
F
=
F
U
i

C
p
èââåäåì
íàìíîæåñòâå
~
F
ñëåäóþùååîòíîøåíèåýêâèâàëåíòíîñòè

:åñëè
x
2
U
i
\
U
j
,òî
(
x;v
)

(
x;g
ji
(
x
)
v
)
;
(
x;v
)
2
U
i

C
p
;
(
x;g
ji
(
x
)
v
)
2
U
j

C
p
;
(
x;v
)

(
x;v
)
;x
2
U
i
;v
2
C
p
:
Èçñâîéñòâ(8)ñëåäóåò,÷òîêîððåêòíîîïðåäåëåíîîòíîøåíèåýêâèâàëåíòíîñòè,è
F
=
~
F=

.Ïîäðîáíååîáýòîììîæíîïðî÷èòàòüâëåêöèè2èç[1].
Îïðåäåëåíèå1.
Ãîâîðÿò,÷òîââåêòîðíîìðàññëîåíèè
F
çàäàíàñâÿçíîñòü
r
,åñëèäëÿëþáîéòðèâèàëèçàöèèðàññëîåíèÿ,ò.å.ïîêðûòèÿ
f
U
i
g
,íàáîðàêîöèêëîâ
f
g
ij
(
z
)
g
è
f
(
s
i
)
g
,çàäàííàáîðìàòðè÷íûõäèôôåðåíöèàëüíûõ1-ôîðì
f
!
i
g
,óäîâëå-
òâîðÿþùèõñîîòíîøåíèÿì:
!
i
=(
dg
ij
)
g

1
ij
+
g
ij
!
j
g

1
ij
:
(9)
Îïðåäåëåíèå2.
Ñâÿçíîñòüíàçûâàþòëîãàðèôìè÷åñêîé(ôóêñîâîé),åñëèäèô-
ôåðåíöèàëüíûåôîðìû
f
!
i
g
èìåþòëèøüïîëþñûïåðâîãîïîðÿäêàâîêðåñòíîñòÿõ
f
U
i
g
,ãäåîíèîïðåäåëåíû,ñîîòâåòñòâåííî.
1.4Êîíñòðóêöèÿñåìåéñòâàðàññëîåíèéñîñâÿçíîñòüþ
Âñåïàðû
(
F;
r
)
(ðàññëîåíèåñîñâÿçíîñòüþ)ìîæíîîïèñàòüñïîìîùüþêîîðäèíàòíî-
ãîîïèñàíèÿ:ïîêðûòèÿñôåðûÐèìàíàîêðåñòíîñòÿìè
f
U
i
g
,íàäêàæäîéèçêîòîðûõ
ðàññëîåíèåòðèâèàëüíî.Ñâÿçíîñòüâýòîéîêðåñòíîñòèîïðåäåëÿåòñÿêàêñèñòåìàëè-
íåéíûõäèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé
dy
=
!
i
y;z
2
U
i
:
(10)
Áàçèñãîðèçîíòàëüíûõñå÷åíèé
(
s
i
)
ñâÿçíîñòèýòîôóíäàìåíòàëüíàÿñèñòåìàðåøå-
íèéýòîéñèñòåìû.Ñâÿçíîñòüíàçûâàþò
ëîãàðèôìè÷åñêîé
èëè
ôóêñîâîé
,åñëè,îïðå-
äåëÿþùèåååñèñòåìû(10)ôóêñîâûâñâîèõîêðåñòíîñòÿõ.Áàçèñûñèñòåì,çàäàííûõ
5
âñîñåäíèõîêðåñòíîñòÿõîòîæäåñòâëÿþòñÿïîôîðìóëå
(
s
i
)=
g
ij
(
z
)(
s
j
)
ñïîìîùüþ
ñêëåþâàþùèõôóíêöèé
g
ij
(
z
)
,îïðåäåëåííûõâïåðåñå÷åíèÿõ
U
i
\
U
j
,èîáðàçóþùèõ
ãîëîìîðôíûéêîöèêë.Áëàãîäàðÿôîðìóëå(4)èòåîðåìå1ìûèìååìëîêàëüíóþàíà-
ëèòè÷åñêóþêëàññèôèêàöèþëèíåéíûõñèñòåìâîêðåñòíîñòèôóêñîâîéîñîáîéòî÷êè.
Áëàãîäàðÿýòîìóìîæíîäàòüêëàññèôèêàöèþâñåõãîëîìîðôíûõðàññëîåíèéñëîãà-
ðèôìè÷åñêèìèñâÿçíîñòÿìèíàñôåðåÐèìàíà,ñòî÷íîñòüþäîãîëîìîðôíîéýêâèâà-
ëåíòíîñòèðàññëîåíèéèñâÿçíîñòåé.Ïîäðîáíîîáýòîìñì.â[2].
1.5Ãëîáàëüíàÿêëàññèôèêàöèÿãîëîìîðôíûõðàññëîåíèéíàä
C
ÊàæäîåãîëîìîðôíîåðàññëîåíèåíàñôåðåÐèìàíà,ñîãëàñíîòåîðåìåÁèðêãîôà
Ãðîòåíäèêà,ýêâèâàëåíòíîíåêîòîðîìóðàññëîåíèþâèäà

U
1
=
C
;U
1
=
C
nf
a
1
g
;g
1
1
=(
z

a
1
)
K

;K
=diag(
k
1
;:::;k
p
)
;
ãäå
k
1

k
2

:::

k
p
,(çàìåòèì,÷òîâöèòèðîâàííîéëèòåðàòóðåîáû÷íîðàññìàò-
ðèâàåòñÿîáðàòíûéïîðÿäîêñëåäîâàíèÿýëåìåíòîâ).Íàáîðöåëûõ÷èñåë
(
k
1
;:::;k
p
)
íàçûâàþò
òèïîìðàñùåïëåíèÿ
.
Ñòåïåíüþðàññëîåíèÿ
íàçûâàþò÷èñëî
deg
F
=
p
X
i
=1
k
i
;
à
íàêëîíîì
âåëè÷èíó

(
F
)=
deg
F
rk
F
.
Êðîìåòîãî,èçâåñòíî,÷òîñòåïåíüðàññëîåíèÿðàâíàñóììåïîêàçàòåëåé
deg
F
=
P
n
i
=1
P
p
j
=1

j
i
,ãäå

j
i
ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿâû÷åòîâñâÿçíîñòèâîñîáîéòî÷êå
a
i
,
îíèæåàñèìïòîòèêèðåøåíèéàññîöèèðîâàííîãîáàçñà.
Ðàññëîåíèå
F
íàçûâàåòñÿñòàáèëüíûì(ïîëóñòàáèëüíûì)åñëèäëÿëþáîãîåãîïîä-
ðàññëîåíèÿ
F
sub
âûïîëíåíîíåðàâåíñòâî

(
F
)
�
(
F
sub
)
(

(
F
)


(
F
sub
)
).Ñòàáèëüíûõ
ðàññëîåíèéíàäñôåðîéíåáûâàåò,íîäëÿíàñáóäåòâàæíîïîíÿòèåñòàáèëüíîãîðàñ-
ñëîåíèÿñîñâÿçíîñòüþ.
Ïîäðàññëîåíèåíàçûâàþò
ñòàáèëèçèðóþùèìñÿñâÿçíîñòüþ
,åñëèïîäïðîñòðàí-
ñòâîåãîãîðèçîíòàëüüíûõñå÷åíèéÿâëÿåòñÿèíâàðèàíòíûìîòíîñèòåëüíîäåéñòâèÿ
ìîíîäðîìèè.Ðàññëîåíèå
F
ñîñâÿçíîñòüþ
r
íàçûâàþò
ñòàáèëüíîéïàðîé
,åñëèäëÿ
äëÿëþáîãîåãîïîäðàññëîåíèÿ
F
sub
,êîòîðîåñòàáèëèçèðóåòñÿñâÿçíîñòüþ,âûïîëíåíî
ñîîòíîøåíèå

(
F
)
�
(
F
sub
)
.
2Ôîðìóëèðîâêè
Ìûïðèâîäèìòðèýêâèâàëåíòíûõôîðìóëèðîâêè21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòà,ïåðâàÿ
èçêîòîðûõÿâëÿåòñÿèñõîäíîé,äàííîéÃèëüáåðòîì.Âðàáîòåìûïîêàæåìýêâèâà-
ëåíòíîñòüýòèõòðåõçàäà÷.
I.Ïîñòðîèòüïîïðåäñòàâëåíèþ

èíàáîðóòî÷åê
a
1
;:::;a
n
ôóêñîâîóðàâíåíèå:
d
p
y
dz
p
+
b
1
(
z
)
d
p

1
y
dz
p

1
+
:::
+
b
p
(
z
)
y
=0
;
(11)
èìåþùååïðåäñòàâëåíèåìîíîäðîìèè

èçàäàííûéíàáîðîñîáûõòî÷åê.
6
II.Ïîñòðîèòüïîïðåäñòàâëåíèþ

èíàáîðóòî÷åê
a
1
=0
;a
2
;:::;a
n

1
;a
n
=
1
ôóêñîâóñèñòåìó(3)ñìàòðèöåéêîýôôèöèåíòîââèäà
B
(
z
)=
0
B
B
B
@

100

.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
1

:::

1
C
C
C
A
z
+
n
X
i
=2
0
B
B
@

000

00
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0

:::

1
C
C
A
z

a
i
(12)
ñäàííîéìîíîäðîìèåé

.
III.Ïîñòðîèòüãîëîìîðôíîåâåêòîðíîåðàññëîåíèå
F
ñëîãàðèôìè÷åñêîéñâÿçíî-
ñòüþ
r
,èìåþùåéçàäàííóþìîíîäðîìèþ

èíàáîðîñîáûõòî÷åê
a
1
;:::;a
n
,îáðàçó-
þùååñòàáèëüíóþïàðóñòèïîìðàñùåïëåíèÿ
K
=(0
;n

2
;:::;
(
n

2)(
p

1))
.
Äàëååìû,êàêïðàâèëî,áóäåìñ÷èòàòü,÷òî
a
0
=0
,
a
n
=
1
.Ýòîïðåäïîëîæåíèå
íåîãðàíè÷èâàåòîáùíîñòè,òàêêàêýòîãîâñåãäàìîæíîäîáèòüñÿäðîáíî-ëèíåéíîé
çàìåíîéíåçàâèñèìîéïåðåìåííîé.Êàêèçâåñòíî,òàêèåçàìåíûïåðåâîäÿòôóêñîâû
òî÷êèâôóêñîâû.Âåçäåïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òî÷èñëîîñîáûõòî÷åê
n

3
.Ñëó÷àé
n
=2
òðèâèàëüíîðàçáèðàåòñÿ,íîôîðìàëüíîíåâñåôîðìóëèðîâêèáóäóòâåðíû,òàêêàê
âýòîìñëó÷àåíåáûâàåòñòàáèëüíûõïàð.Ââåäåìïîëåçíîåîáîçíà÷åíèå:
D
=diag(0
;
1
;:::;
p

1)
:
Ñðàçóîãîâîðèìñÿ,÷òîâðàçíûõïàðàãðàôàõèâäîêàçàòåëüñòâàõòåîðåìîäíèèòå
æåîáîçíà÷åíèÿìîãóòîáîçíà÷àòüðàçíûåîáúåêòû.
3Îñíîâíûåòåîðåìû
Âýòîìïàðàãðàôåñîäåðæàòñÿòðèòåîðåìû,äîêàçûâàþùèåâñîâîêóïíîñòèýêâèâà-
ëåíòíîñòüòðåõïðèâåäåííûõâûøåôîðìóëèðîâîê21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòàäëÿ
ñêàëÿðíûõôóêñîâûõóðàâíåíèé.
T2:III
=
)
II
T3:II
=
)
I
T4:I
=
)
III
Òåîðåìà2.
Ïîïðåäñòàâëåíèþìîíîäðîìèè

(2)èíàáîðóîñîáûõòî÷åê
a
1
=0
;a
2
;:::;a
n

1
;a
n
=
1
;n

3
ñòàáèëüíîéïàðûñòèïîìðàñùåïëåíèÿ
K
=diag(0
;
(
n

2)
;:::;
(
n

2)(
p

1))=(
n

2)
D;
ìîæíîïîñòðîèòüôóêñîâóñèñòåìóâèäà(3),(12).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèìïàðó
(
F;
r
)
(ðàññëîåíèåñîñâÿçíîñòüþ),çàäàííóþ
ïîóñëîâèþòåîðåìû.Ååìîæíîïðåäñòàâèòüâêîîðäèíàòíîéôîðìå.Ðàññìîòðèìäâå
7
êîîðäèíàòíûõîêðåñòíîñòè:
U
0
ìàëàÿîêðåñòíîñòüíóëÿ,íåñîäåðæàùàÿäðóãèõ
îñîáûõòî÷åê,è
U
1
=
C
n
0
,èêîöèêë,çàäàâàåìûéñêëåèâàþùåéôóíêöèåé
g
0
1
(
z
)=
z
K
=
z
(
n

2)
D
.Ñâÿçíîñòüçàäàþòäâåôîðìû
!
0
è
!
1
,êîòîðûåôóêñîâûâ
U
0
èâ
U
1
,
ñîîòâåòñòâåííî.Ýòèôîðìûñâÿçàíûñîîòíîøåíèåì:
!
0
=
g
0
1
!
1
g

1
0
1
+
dg
0
1

g

1
0
1
:
(13)
Èç(13)ñëåäóåò,÷òîäëÿýëåìåíòîâ
!
0
kl
(
z
)
è
!
1
kl
(
z
)
ìàòðè÷íûõôîðì
!
0
è
!
1
âûïîë-
íåíûñëåäóþùèåñîîòíîøåíèÿ
!
1
kl
(
z
)=
z
(
n

2)(
l

k
)
!
0
kl
(
z
)
:
(14)
Îòñþäà,àòàêæåèçòîãî,÷òîôîðìû
!
0
è
!
1
èìåþòëèøüïðîñòûåïîëþñûâòî÷êàõ
a
1
2
U
0
è
a
2
;:::;a
n
2
U
1
,ñîîòâåòñòâåííî,ñëåäóåò,÷òîýëåìåíòûôîðì
!
0
kl
(
z
)
è
!
1
kl
(
z
)
ñíîìåðàìè
(
k;l
)
äëÿ
l

k�
1
,òîæäåñòâåííîðàâíûíóëþ.Äåéñòâèòåëüíî,
ñîîòíîøåíèå(14)èóñëîâèå
l

k�
1
äàþòòî,÷òîýëåìåíò
!
1
kl
(
z
)
èìååòíîëüïîðÿäêà
ord
0
!
1
kl
(
z
)=(
n

2)(
l

k
)

1

n

2
âíóëå,àïîëþñàó
!
1
kl
(
z
)
åñòüëèøüâòî÷êàõ
a
2
;:::;a
n
,èìåþùèåïåðâûéïîðÿäîê,ò.å.
ord
a
i
!
1
kl
(
z
)


1
,
i
=2
;:::;n
.Ïðèýòîì,
ñóììàïîðÿäêîâíóëåéìèíóññóììàïîðÿäêîâïîëþñîâäèôôåðåíöèàëüíîéôîðìûíà
ñôåðåÐèìàíàðàâíà

2
(åñëèîíàíåÿâëÿåòñÿòîæäåñòâåííîíóëåâîé),àóýëåìåíòà
!
1
kl
(
z
)
ýòàñóììàäîëæíàáûòüíåìåíüøå,÷åì
ord
0
!
1
kl
(
z
)+
n
X
i
=2
ord
a
i
!
1
kl
(
z
)


1


2
:
Ñëåäîâàòåëüíî
!
1
kl
(
z
)

0
ïðè
l

k�
1
.
Òàê,íàøåðàññëîåíèåñîñâÿçíîñòüþçàäàíûäâóìÿïî÷òèòðåóãîëüíûìèôîðìàìè
!
0
è
!
1
èêîöèêëîì
g
0
1
(
z
)
.Âìåñòîôîðì
!
0
è
!
1
íàìóäîáíîáóäåòðàññìîòðåòü
ôîðìó
!
=�(
z
)
!
1


1
(
z
)+
d

dz


1
;
�(
z
)=
n

1
Y
i
=2

z
z

a
i

D
:
(15)
Äàëååáóäåìðàññìàòðèâàòüðåãóëÿðíóþñèñòåìó
dy
=
!y
.Ýòàñèñòåìàèìååòôóêñî-
âûîñîáåííîñòèâíóëåèáåñêîíå÷íîñòèèðåãóëÿðíûåâòî÷êàõ
a
2
;:::;a
n

1
.
!
=
n

1
X
i
=2
0
B
B
@

000

00


i
kl

0

1
C
C
A
z

a
i
dz
+
0
B
B
@

100

10

1

1
C
C
A
z
dz
(16)
Èçâèäàïðåîáðàçîâàíèÿ(15)ñëåäóåò,÷òîôóíêöèè

i
kl
(
z
)
èìåþòïîëþñàïîðÿäêîâ,
íåâûøå,÷åì
k

l
âòî÷êå
a
i
ord
a
i

i
kl
(
z
)

l

k;
èãîëîìîðôíûâåçäåâíå
z
=
a
i
,
i
=2
;:::;n

1
,â÷àñòíîñòè,íàääèàãîíàëüíûåýëå-
ìåíòûïîëó÷àþòñÿíóëåâûìèâåçäå,êðîìåïîñëåäíåãî÷ëåíà.Òî,÷òîíàääèàãîíàëü
8
ïîñëåäíåãîêîýôôèöèåíòàåäèíè÷íàÿ,íåñëåäóåòèçñêàçàííîãîâûøå,íî,âñëó÷àå,
êîãäàíèîäèíååýëåìåíòíåðàâåííóëþ,ýòîãîìîæíîäîñòè÷üïîäõîäÿùèìïîñòî-
ÿííûìäèàãîíàëüíûìêàëèáðîâî÷íûìïðåîáðàçîâàíèåì.Ñëó÷àé,êîãäàêàêîé-òîèç
íàääèàãîíàëüíûõýëåìåíòîâíóëåâîé
!
l;l
+1
(
z
)

0
,ïðîòèâîðå÷èòóñëîâèþñòàáèëüíî-
ñòèèñõîäíîéïàðû
(
F;
r
)
.Ýòîáóäåòñåé÷àñïîêàçàíî.
Äåéñòâèòåëüíî,âýòîìñëó÷àåðàññëîåíèåèñâÿçíîñòüïðèâîäÿòñÿ.Ïîäðàññëîåíèå
êîòîðîåñòàáèëèçèðóåòñÿñâÿçíîñòüþ,ñîîòâåòñòâóåòíèæíåìóïðàâîìóáëîêóôîðì
ñâÿçíîñòèèêîöèêëà,íî,ëåãêîâèäåòü,÷òîòèïðàñùåïëåíèÿ
K
1
ýòîãîïîäðàññëîåíèÿ
F
1
ñîâïàäàåòñêîíöîìòèïàðàñùåïëåíèÿðàññëîåíèÿ
F
,òîåñòüñîñòîèòèçíàèáîëü-
øèõåãîýëåìåíòîâ
K
1
=(
k
l
+1
;:::;k
p
)
.Òîãäàåãîíàêëîíáîëüøåíàêëîíà
F

(
F
1
)=
k
l
+1
+
:::
+
k
n
n

l
=
(
n

2)(
p
+
l

1)
2
�
(
F
)=
(
n

2)(
p

1)
2
:
Òàê,ìûïîëó÷èëèïðîòèâîðå÷èåñóñëîâèåìñòàáèëüíîñòèïàðû
(
F;
r
)
.Òåïåðüäîêà-
çàíî,÷òîôîðìà
!
èìååòâèä(16).
Âèäíî,÷òîêàëèáðîâî÷íîåïðåîáðàçîâàíèå
~
y
=(
z

a
i
)
D
y
ïåðåâîäèòñèñòåìó(16)
âôóêñîâóâòî÷êå
a
i
(
d
~
y
=
!
i
~
y
),ïðè÷åìâû÷åòìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâïðåîáðàçî-
âàííîéñèñòåìûâòî÷êå
z
=
a
i
èìååòâèä:
0
B
B
@

1
a
i
00

1
a
i
0

1
a
i

1
C
C
A
;
(17)
ãäå

îáîçíà÷àþòíåêîòîðûå÷èñëà.Ñëåäîâàòåëüíî,ôóíäàìåòàëüíàÿìàòðèöàñè-
ñòåìû(16)âòî÷êå
a
i
èìååòâèä:
Y
(
z
)=(
z

a
i
)

D
Y
0
i
(
z
)
;
(18)
ãäåìàòðèöà
Y
0
i
(
z
)
ýòîôóíäàìåíòàëüíàÿìàòðèöàôóêñîâîéâ
z
=
a
i
ñèñòåìû.
Ïðîäîëæèâýòî,ïîëó÷èìïðåäñòàâëåíèå
Y
(
z
)=
T
i
(
z
)(
z

a
i
)

D
Y
0
0
(
z
)
;T
i
(
z
)=

n

1
Y
j
=2
(
z

a
j
)

D
!

(
z

a
i
)
D
;
(19)
ãäå
Y
0
(
z
)
ôóíäàìåíòàëüíàÿìàòðèöàôóêñîâîéâòî÷êàõ
a
2
;:::;a
n

1
ñèñòåìû.
Äàëååíàìïîòðåáóåòñÿëåììà2,êîòîðàÿïðèâåäåíàíèæå.Òàê,ñîãëàñíîëåììå2,
ïðèìåíèâêàëèáðîâî÷íîåïðåîáðàçîâàíèå
~
y
=�
i
(
z
)
y;
êôóíäàìåíòàëüíîéìàòðèöå
(
z

a
i
)

D
Y
0
0
(
z
)
,ïîëó÷èìôóíäàìåíòàëüíóþìàòðèöó
ôóêñîâîéâòî÷êå
z
=
a
i
ñèñòåìû.Íî,ïîñêîëüêó,ìàòðèöà(19)èìååòåùåîäèíìíî-
æèòåëü,íóæíîâèäîèçìåíèòüïðåîáðàçîâàíèåèçëåììû2èðàññìîòðåòüñîïðÿæåííîå
êíåìó
~
y
=
T
i

i
T

1
i
y:
9
Ñîïðÿæåííîåïðåîáðàçîâàíèå
~

i
=
T
i

i
T

1
i
òàêæåêàêèñõîäíîåãîëîìîðôíîîáðà-
òèìîâíåòî÷êè
z
=
a
i
,ýòîâèäíîèçíèæíåéòðåóãîëüíîñòèìàòðèöû

i
(
z
)
èâèäà
ìàòðèöû
T
i
(
z
)
.
Òîãäàìûìîæåìïðèìåíÿòüïðåîáðàçîâàíèÿ
y
0
=
~

i
y
ïîñëåäîâàòåëüíîäëÿâñåõ
òî÷åê
a
2
;:::;a
n

1
èïîëó÷èìôóíäàìåíòàëüíóþìàòðèöóñèñòåìû
Y
0
(
z
)=
~

2
(
z
)

:::

~

n

1
(
z
)
Y
(
z
)
.Ïîëó÷åííàÿñèñòåìàèáóäåòèñêîìîéñèñòåìîéâèäà(3),(12).
Ëåììà2.
Ìîæíîïîìíîæèòüôóíäàìåíòàëüíóþìàòðèöó(18)íàíèæíå-
òðåóãîëüíóþìàòðèöó

i
(
z
)
,ãîëîìîðôíîîáðàòèìóþâ
C
nf
a
i
g
èìåðîìîðôíóþâ
a
i
,
ò.å.

i
(
z
)
ìàòðè÷íûéìíîãî÷ëåíîò
1
=z
ñïîñòîÿííûìèíåíóëåâûìèýëåìåíòàìè
íàäèàãîíàëè.Òàê,÷òîïîëó÷èììàòðèöóâèäà
Y
0
i
(
z
)=�
i
(
z
)
Y
i
(
z
)=�
i
(
z
)(
z

a
i
)

D
Y
0
i
(
z
)=
U
i
0
(
z
)(
z

a
i
)

i

D
(
z

a
i
)
E
i
;
ãäå
Y
0
i
(
z
)
ôóíäàìåíòàëüíàÿìàòðèöàôóêñîâîéâ
z
=
a
i
ñèñòåìû,ò.å.
dz
+
t
j
B
(
z
)
;j
=0
;:::;p

1
:
(20)
10
Ðàññìîòðèììàòðèöó
�(
z
)
,ñòðîêàìèêîòîðîéÿâëÿþòñÿ
t
0
;t
1
(
z
)
;:::;t
p

1
(
z
)
.Âèäíî,
÷òîåñëèóñòðîêè
t
0
îòëè÷åíîòíóëÿòîëüêîïåðâûéýëåìåíò,òî,ó÷èòûâàÿïî÷òè
òðåóãîëüíûéâèä(12)ìàòðèöû
B
(
z
)
êîýôôèöèåíòîâñèñòåìû,ìàòðèöà
�(
z
)
îêàçû-
âàåòñÿíèæíåòðåóãîëüíîé.Èçíåðàâåíñòâàíóëþíàääèàãîíàëèâû÷åòà(17)èôîð-
ìóëû(20)ïîëó÷èì,÷òîíàäèàãîíàëèóíååñòîÿòýëåìåíòû

ii
(
z
)
,èìåþùèåïîëþñà
ïîðÿäêà
(
i

1)
âòî÷êàõ
a
2
;:::;a
n

1
.
Òåïåðüïîêàæåì,÷òîïðåîáðàçîâàíèå
~
y
=�(
z
)
y
ïðèâîäèòñèñòåìóâñèñòåìó,ýêâè-
âàëåíòíóþñêàëÿðíîìóóðàâíåíèþ.Ðàññìîòðèìâåêòîð-ôóíêöèþ
b
(
z
)=(
b
p
(
z
)
;:::;b
1
(
z
))
,
óäîâëåòâîðÿþùèéñîîòíîøåíèþ
t
p
(
z
)=

b
(
z
)�(
z
)
;
èñîîòâåòñòâóþùóþåìóìàòðèöó
e
B
(
z
)=
0
B
B
@
010
.
.
.
.
.
.
001

b
p
::::::

b
1
1
C
C
A
:
(21)
Èçôîðìóë(20)ñëåäóåò,÷òî
d

dz
=
e
B



B;
ïîýòîìóïðåîáðàçîâàíèå
~
y
=�(
z
)
y
ïåðåâîäèòñèñòåìó(3)âñèñòåìóñìàòðèöåéêî-
ýôôèöèåíòîâ

B


1
+
d

dz


1
=�
B


1
+
e
B


B


1
=
e
B
èñêîìîãîâèäà.
3.2Äîêàçàòåëüñòâîëåììû3
Äîêàçàòåëüñòâîëåììû3.
Ðàññìîòðèìêàëèáðîâî÷íîåïðåîáðàçîâàíèå
~
y
=�(
z
)
y
,
ïîñòðîåííîåâïðåäûäóùåìïàðàãðàôå,êîòîðîåïðèâîäèòñèñòåìóêâèäó,ýêâèâà-
ëåíòíîìóóðàâíåíèþ.
Òåïåðüðàññìîòðèìïðåîáðàçîâàíèå
~

i
(
z
)=(
z

a
i
)
D

,êîòîðîåïðèâîäèòñèñòåìó
êñèñòåìåñìàòðèöåéêîýôôèöèåíòîââèäà
e
B
(
z
)=
0
B
B
B
@
010
1
.
.
.
0
.
.
.
1
0
:::
0
p

1
1
C
C
C
A
1
z

a
i
+
0
B
B
B
@
000
.
.
.
.
.
.
000

~
b
p
::::::

~
b
1
1
C
C
C
A
;
(22)
ãäå
~
b
k
=(
z

a
i
)
k

1
b
k
,
k
=2
;:::;n

1
;
êîòîðàÿñâîäèòñÿêóðàâíåíèþ(1)ñïîìîùüþ
çàìåíû
y
1
=
y;y
2
=(
z

a
i
)
y
0
;:::;y
p
=(
z

a
i
)
p

1
y
(
p

1)
:
(23)
11
Çàìåòèì,÷òîèçâèäàôîðìû(16)êîýôôèöèåíòîâèñõîäíîéñèñòåìûèñïîñîáàïî-
ñòðîåíèÿìàòðèö
�(
z
)
è

i
(
z
)
(èçŸ3.1èŸ3.2,ñîîòâåòñòâåííî)êàëèáðîâî÷íûõïðåîá-
ðàçîâàíèéñëåäóåò,÷òîïðåîáðàçîâàíèå
~

i
(
z
)
íèæíåòðåóãîëüíîå,ñåäèíè÷íîéäèàãî-
íàëüþèãîëîìîðôíîîáðàòèìîåâ
z
=
a
i
.Òàêîåïðåîáðàçîâàíèåíåìîæåòèçìåíèòü
ãëàâíûõóãëîâûõìèíîðîâìàòðèöû
U
i
(
a
i
)
,òîåñòüîíèðàâíûãëàâíûìóãëîâûììè-
íîðàììàòðèöû
~

i
(
a
i
)
U
i
(
a
i
)
.
Äëÿñèñòåìû,ïîëó÷åííîéèçóðàâíåíèÿñïîìîùüþçàìåíûâèäà(23),èçâåñòíî,
÷òîååãëàâíûåóãëîâûåìèíîðûîòëè÷íûîòíóëÿ,íàïðèìåð,èç[1].
Äåéñòâèòåëüíî,ðàññìîòðèìàññîöèèðîâàííûéáàçèñðåøåíèéôóêñîâàâ
z
=
a
i
óðàâíåíèÿ,ñîñòîÿùèéèçðåøåíèé
u
1
(
z
)
;:::;u
p
(
z
)
.Òàêîé,÷òîìàòðèöàìîíîäðîìèè
G
i
âòî÷êå
z
=
a
i
èìååòâåðõíåòðåóãîëüíûéâèä,íàïðèìåðëåâåëåâñêèé.Òîãäàîïðå-
äåëèòåëüìàòðèöû
U
i
(
a
i
)
,ïîëó÷åííîéèçóðàâíåíèÿñïîìîùüþçàìåíû(23),îòëè÷åí
îòíóëÿïîòåîðåìåËåâåëÿ,òàêêàêýòàñèñòåìà(3),(22)ôóêñîâàâòî÷êå
z
=
a
i
.
Òåïåðüðàññìîòðèìíàáîðôóíêöèé
u
1
(
z
)
;:::;u
k
(
z
)
,
kp
.Ýòîòíàáîðòîæåÿâëÿåòñÿ
àññîöèèðîâàííûìáàçèñîìðåøåíèéóðàâíåíèÿ
1
W
(
u
1
;:::;u
k
)
dz
:::
du
k
dz
dy
dz
.
.
.
.
.
.
.
.
.
d
k
u
1
dz
k
:::
d
k
u
k
dz
k
d
k
y
dz
k
1
C
C
C
A
=0
:
(24)
Ýòîóðàâíåíèåôóêñîâî(ïîò.Ôóêñà),òàêêàêîíîðåãóëÿðíî.Ýòîîçíà÷àåò,÷òîñïî-
ìîùüþàíàëîãè÷íîé(23)çàìåíåèçíåãîìîæíîïîëó÷èòüôóêñîâóâ
z
=
a
i
ñèñòåìó.
Óýòîéñèñòåìûáóäåòñîîòâåòñòâóþùàÿìàòðèöà
U
k
i
(
a
i
)
,îïðåäåëèòåëüêîòîðîéîòëè-
÷åíîòíóëÿïîòåîðåìåËåâåëÿ.Çàìåòèì,÷òîèçâèäàçàìåíû(23)èèçëåâåëåâñêîãî
ðàçëîæåíèÿ(4)âèäíî,÷òîýòàìàòðèöà
U
k
i
(
a
i
)
ïîäìàòðèöàìàòðèöû
U
i
(
a
i
)
,ñòîÿ-
ùàÿíàïåðåñå÷åíèèïåðâûõ
k
ñòðîêèïåðâûõ
k
ñòîëáöîâ.Òàêèìîáðàçîì,ãëàâíûå
óãëîâûåìèíîðû
U
i
(
a
i
)
îïðåäåëèòåëèñîîòâåòñòâóþùèõìàòðèöñèñòåììåíüøèõ
ðàçìåðíîñòåéè,ñîîòâåòñòâåííî,âñåîíèîòëè÷íûîòíóëÿ.
2
Òåîðåìà3.
Åñëèïîìîíîäðîìèè

èíàáîðóîñîáûõòî÷åê
a
1
;:::;a
n
ìîæíî
ïîñòðîèòüñèñòåìóâèäà(3),(12),òîìîæíîïîñòðîèòüèôóêñîâîóðàâíåíèå(11).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâîñîñòîèòâïîñëåäîâàòåëüíîìïðèìåíåíèèìåðî-
ìîðôíûõêàëèáðîâî÷íûõïðåîáðàçîâàíèé,ïðèâîäÿùèõâèòîãåñèñòåìóâèäà(3),(12)
âñèñòåìóñìàòðèöåéêîýôôèöèåíòîââèäà(21),ýêâèâàëåíòíóþóðàâíåíèþ.Ìûóáå-
äèìñÿ,÷òîýòèêàëèáðîâî÷íûåïðåîáðàçîâàíèÿíåäîáàâÿòíîâûõîñîáûõòî÷åê,à
òî,÷òîïîëó÷åííîåâèòîãåóðàâíåíèåáóäåòôóêñîâûì,ñëåäóåòèçåãîðåãóëÿðíîñòè,
êîòîðàÿî÷åâèäíûìîáðàçîìâûòåêàåòèçðåãóëÿðíîñòèèñõîäíîéôóêñîâîéñèñòåìû.
Ðàññìîòðèìïðåîáðàçîâàíèåâèäà
~
y
=�
i

y;

i

(
z
)=
I
+
E
i

(
z
)
; � ;
ñìàòðèöåé
E
i

(
z
)
,ñîäåðæàùåéòîëüêîîäèííåíóëåâîéýëåìåíò
e
i

(
z
)=



X
k
=1
h
ik

z
(
z

a
i
)
k
;i
=2
;:::;n

1;
e
1

(
z
)=
const
12
íàìåñòå
(
;
)
ñïîäõîäÿùèìèïîñòîÿííûìè
h
ik

.Ìàòðèöûïðåîáðàçîâàíèé

i

(
z
)
ãîëîìîðôíîîáðàòèìûâíå
a
i
,ïðè
i
=2
;:::;n

1
,èïîñòîÿííûïðè
i
=1
.Ñèñòåìà
ïîääåéñòâèåìýòèõïðåîáðàçîâàíèéïåðåñòàíåòáûòüôóêñîâîé,íîñîõðàíèòôîðìó
(12),òîëüêîâìåñòîïîñòîÿííûõìàòðèöâû÷åòîâ
B
i
áóäóòñòîÿòüìàòðèöûñïîëèíî-
ìàìèîò
1
=
(
z

a
i
)
.Íàçîâåìýòèìàòðè÷íûåôóíêöèè
~
B
i
.Ïðåîáðàçîâàíèå

i

(
z
)
ïðè
ïîäõîäÿùåìâûáîðåïîñòîÿííûõ
h
ik

îáíóëÿåòýëåìåíòìàòðèöû
~
B
i
ñèñòåìû(3),(12),
ñòîÿùèéíàìåñòå
(


1
;
)
,ïðè÷åìâñåîñòàëüíûåìàòðèöû
~
B
j
ñîõðàíÿþòíèæíþþ
òðåóãîëüíîñòü,àïåðâûå


1
ñòðîêñèñòåìûâîîáùåíåèçìåíÿòñÿ.Ýëåìåíò
e
i

ñëå-
äóåòâûáðàòüòàê:
e
i

=
a
i

b
i


1
;
,ãäå
b
i


1
;
ýëåìåíòíà
(


1
;
)
ìåñòåìàòðèöû
~
B
i
.
Òàê,äåéñòâóÿâíóæíîìïîðÿäêå:

1
21
;:::;

n

1
21
;

1
31
;:::;

n

1
31
;

1
32
;:::;

;:::;

n

1
p;p

1
;
îáíóëèìâñåñòðîêèìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâ(12),êðîìåïîñëåäíåéèêðîìååäèíè÷-
íîéíàääèàãîíàëèâû÷åòàâíóëå.Ïåðåéäåìâñëåäóþùåéôîðìåìàòðèöûêîýôôè-
öèåíòîâ
~
B
(
z
)=
1
z
0
B
B
@
0100
00
.
.
.
0
0001

1
C
C
A
+
0
B
B
@
0000
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0000

1
C
C
A
:
Êïîëó÷åííîéñèñòåìåïðèìåíèìêàëèáðîâî÷íîåïðåîáðàçîâàíèåâèäà:
~
y
=�
f
(
z
)
y;

f
(
z
)=
0
B
B
B
B
@
10000
01
=z
000
0

1
=z
2
1
=z
2
00
02
=z
3

2
=z
3
1
=z
3
0
0

1
C
C
C
C
A
:
ÎíîïîñòðîåíîñïîìîùüþïðîöåäóðûïàðàãðàôàŸ3.1.Ýòàñèñòåìàïðåîáðàçóåòñÿâ
óðàâíåíèåñòàíäàðòíîéçàìåíîé.
Ýòîïðåîáðàçîâàíèåïðåîáðàçóåòñèñòåìóâñèñòåìóâèäà(22).
2
Òåîðåìà4.
Ïîôóêñîâóóðàâíåíèþ(1)ìîæíîïîñòðîèòüñòàáèëüíîåðàññëî-
åíèåñëîãàðèôìè÷åñêîéñâÿçíîñòüþèòèïîìðàñùåïëåíèÿ
K
=(
n

2)
D
ñòåìè
æåîñîáûìèòî÷êàìèèìîíîäðîìèåé.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòüòî÷êè
a
1
=0
,
a
2
;:::;a
n
îñîáûåòî÷êèôóêñîâàóðàâ-
íåíèÿ(1),àòî÷êà
z
=
1
íåîñîáàÿ.Ïîóðàâíåíèþ(1)ñïîìîùüþçàìåíû
y
1
=
u;y
2
=
u
0
;:::;y
p
=
u
(
p

1)
ïîñòðîèìðåãóëÿðíóþñèñòåìóñëåäóþùåãîâèäà
dy
dz
=
0
B
B
@
010
.
.
.
.
.
.
001

b
p
::::::

b
1
1
C
C
A
y
(25)
13
ñòåìèæåîñîáûìèòî÷êàìèèìîíîäðîìèåé,÷òîóóðàâíåíèÿ(1).Ëåãêîâèäåòü,÷òî
ëîêàëüíî,âîêðåñòíîñòèòî÷êè
z
=
a
i
,ñèñòåìà(25)ïðåîáðàçîâàíèåìâèäà
~
y
=(
z

a
i
)
D
y
ïðèâîäèòñÿêôóêñîâîéâòî÷êå
z
=
a
i
ñèñòåìå.Ïðåîáðàçîâàííàÿñèñòåìàáóäåòèìåòü
îñîáåííîñòüâáåñêîíå÷íîñòè.×òîáûïðåîáðàçîâàòüñèñòåìó(25)êôóêñîâîéâòî÷êàõ
a
2
;:::;a
n
,èíåèìåþùåéîñîáåííîñòèâáåñêîíå÷íîñòè,âîñïîëüçóåìñÿêàëèáðîâî÷íûì
ïðåîáðàçîâàíèåìâèäà
~
y
=�(
z
)
y;
�(
z
)=
n
Y
i
=2

z

a
i
z

D
;
ãîëîìîðôíîîáðàòèìûìâáåñêîíå÷íîñòè.
Ïðåîáðàçîâàííàÿñèñòåìà
d
~
y
dz
=
~
B
(
z
)~
y;
~
B
(
z
)=�
B
(
z
)�

1
+
d

dz


1
:
(26)
ôóêñîâàâîáëàñòè
C
n
0
.Ñèñòåìàâèäà
d
~
y
dz
=
~
B
0
(
z
)~
y;
~
B
0
(
z
)=�
0
B
(
z
)�

1
0
+
d

0
dz


1
0
;
(27)
ñ

0
(
z
)=
Q
n
i
=1
(
z

a
i
)
D
,ôóêñîâàâíóëåèñâÿçàíàññèñòåìîé(26)ñëåäóþùèìîáðàçîì:
~
B
(
z
)=
z

(
n

2)
D
~
B
0
z
(
n

2)
D

(
n

2)
D
z
:
Ñïîìîùüþïîëó÷åííûõñèñòåìíàñôåðåÐèìàíàìîæåòáûòüïîñòðîåíîãîëî-
ìîðôíîåðàññëîåíèåñëîãàðèôìè÷åñêîéñâÿçíîñòüþ.Îïðåäåëèìåãîñïîìîùüþñëå-
äóþùåãîêîîðäèíàòíîãîîïèñàíèÿ
(
F;
r
)=

U
0
3
0
;U
1
=
C
nf
0
g
;!
0
=
~
B
0
(
z
)
;!
1
=
~
B
(
z
)
;g
0
1
=
z
(
n

2)
D

:
Ïîñòðîåííîåðàññëîåíèåèìååòòèïðàñùåïëåíèÿ
K
=(0
;
(
n

2)
;:::;
(
n

2)(
p

1))
,
êàêèòðåáóåòñÿâóñëîâèèòåîðåìû.Îñòàåòñÿïîêàçàòü,÷òîïîñòðîåííîåðàññëîåíèå
ñîñâÿçíîñòüþîáðàçóþòñòàáèëüíóþïàðó.Äîêàæåìýòî.
Ïðåäïîëîæèì,÷òîóïðåäñòàâëåíèÿìîíîäðîìèè(2)ñâÿçíîñòè
r
èìååòñÿïîäïðåä-
ñòàâëåíèå.Äðóãèìèñëîâàìè,ïðîñòðàíñòâîãîðèçîíòàëüíûõñå÷åíèé(ïðîñòðàíñòâî
ðåøåíèéñîîòâåòñòâóþùåéñèñòåìû)èìååòèíâàðèàíòíîåïîäïðîñòðàíñòâî.Çäåñüíàì
ñíîâàóäîáíååðàáîòàòüññèñòåìîéâèäà(25).Ðàññìîòðèìáàçèñ
u
1
(
z
)
;:::;u
p
(
z
)
ïðî-
ñòðàíñòâàðåøåíèéóðàâíåíèÿ,ïðè÷åìòàêîé,÷òîïåðâûå
l
åãîýëåìåíòîâîáðàçó-
þòáàçèñèíâàðèàíòíîãîïîäïðîñòðàíñòâà.Çàìåòèì,÷òîôóíäàìåíòàëüíóþìàòðèöà
Y
(
z
)
ñèñòåìû(25)èìååòâèä:
Y
(
z
)=
0
B
B
B
@
u
1
(
z
)
u
2
(
z
)
:::u
p
(
z
)
u
0
1
(
z
)
u
0
2
(
z
)
:::u
0
p
(
z
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
u
(
p

1)
1
(
z
)
u
(
p

1)
2
(
z
)
:::u
(
p

1)
p
(
z
)
1
C
C
C
A
:
14
Ìàòðèöà
Y
i
(
z
)=(
z

a
i
)
D
Y
(
z
)
ôóíäàìåíòàëüíàÿìàòðèöàôóêñîâîéâ
z
=
a
i
ñèñòåìû.
Òåïåðüïîñòðîèìïîôîðìóëå(24)óðàâíåíèå,ôóíäàìåíòàëüíûìèðåøåíèÿìèêî-
òîðîãîáóäóòôóíêöèè
u
1
(
z
)
;:::;u
l
(
z
)
,îáðàçóþùèåèíâàðèàíòíîåïîäïðîñòðàíñòâî.
Ïðèìåíåíèåýòîéôîðìóëûêîððåêòíî,òàêêàêôóíêöèè
u
1
(
z
)
;:::;u
l
(
z
)
ëèíåéíîíåçà-
âèñèìûèïîðîæäàþòèíâàðèàíòíîåîòíîñèòåëüíîîïåðàòîðàìîíîäðîìèèïðîñòðàí-
ñòâî.Ïîëó÷åííîåóðàâíåíèåíåáóäåòèìåòüîñîáûõòî÷åê,êðîìå
a
1
;:::;a
n
,òàêêàê
èõíåáûëîóèñõîäíîãîóðàâíåíèÿ.Ïîñòðîåííîåóðàâíåíèå
u
(
l
)
+
q
1
(
z
)
u
(
l

1)
+
:::
+
q
l
(
z
)
u
=0
(28)
ðåãóëÿðíîå,àçíà÷èòôóêñîâî.Ñëåäîâàòåëüíî,ôóíêöèè
r
j
(
z
)=
q
j
(
z
)

n
Y
i
=1
(
z

a
i
)
j
ãîëîìîðôíûâ
C
.Óðàâíåíèå(28)ìîæíîèñïîëüçîâàòüêàêñîîòíîøåíèå,âûðàæàþùåå
ñòàðøóþïðîèçâîäíóþëþáîéèçôóíêöèé
u
1
(
z
)
;:::;u
l
(
z
)
÷åðåçìëàäøèåïðîèçâîä-
íûå.Ñïîìîùüþýòîãîñîîòíîøåíèÿíàìóäàñòñÿïîñòðîèòüöåïî÷êóêàëèáðîâî÷íûõ
ïðåîáðàçîâàíèé,êîòîðûåîáíóëÿòâñåýëåìåíòûôóíäàìåíòàëüíîéìàòðèöû
Y
0
(
z
)
,
ñòîÿùèåíàïåðåñå÷åíèèïåðâûõ
l
ñòîëáöîâèïîñëåäíèõ
p

l
ñòðîê.
Óðàâíåíèåèåãîïðîèçâîäíûåäàäóòñîîòíîøåíèÿäëÿôóíêöèé
u
(
l
)
k
(
z
)
;:::;u
(
p

1)
k
(
z
)
,
ïðè
k
=1
;:::;l
.Ëåãêîïðîâåðèòü,÷òîñîîòíîøåíèÿáóäóòèìåòüâèä:
u
(
m
)
=
m
~
q
1
(
z
)
u
(
m

1)
+
:::
+
m
~
q
m
(
z
)
u;m

l;
ãäåôóíêöèè
~
r
j
(
z
)=~
q
j
(
z
)

Q
n
i
=1
(
z

a
i
)
j
òîæåãîëîìîðôíûâ
C
,òàêêàêýòîóðàâíåíèå
òîæåôóêñîâî.
Ïðèìåíèìêôóíäàìåíòàëüíîéìàòðèöåñèñòåìû(25)ñëåäóþùóþïîñëåäîâàòåëü-
íîñòüêàëèáðîâî÷íûõïðåîáðàçîâàíèé
~
y
=�
l
+1
(
z
)

:::


p
(
z
)
y;
ãäå

m
(
z
)=
0
B
B
B
B
@
10
:::
00
01
:::
00
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

m
~
q
m
(
z
)
:::

m
~
q
1
(
z
)10
00
:::
01
1
C
C
C
C
A
;
ò.å.ïðåîáðàçîâàíèå
~
y
=�
m
(
z
)
y
âû÷èòàåòèçñòðîêèñíîìåðîì
m
+1
ïðåäûäóùèå
m
ñòðîê,îáíóëÿÿïðèýòîìïåðâûå
l
ýëåìåíòîâ
(
m
+1)
-îéñòðîêèìàòðèöû
Y
(
z
)
.
Îñòàëîñüóáåäèòüñÿ,÷òîäàííîåïðåîáðàçîâàíèåíåèçìåíèòïîðÿäêîâïîëþñîâ
ëîêàëüíûõôîðìñâÿçíîñòè
r
.Äåéñòâèòåëüíî,ïðåîáðàçîâàíèå
(
z

a
i
)
D

m
(
z

a
i
)

D
;
äåéñòâóþùååíàôóêñîâóñèñòåìóñôóíäàìåíòàëüíîéìàòðèöåé
Y
i
(
z
)
,ãîëîìîðôíî
îáðàòèìîâòî÷êå
a
i
.Ñëåäîâàòåëüíîîíàíåìîæåòèçìåíèòüãîëîìîðôíîãîòèïàðàñ-
ñëîåíèÿ.
15
Òåïåðüâèäíî,÷òîëþáîåïîäðàññëîåíèå
F
1
ðàññëîåíèÿ
F
,èíâàðèàíòíîåîòíîñè-
òåëüíîäåéñòâèÿìîíîäðîìèè,èìååòòèïðàñùåïëåíèÿñîâïàäàþùèéñíà÷àëîìòèïà
ðàñùåïëåíèÿ
F
.Ýòîäîêàçûâàåòñòàáèëüíîñòüïàðû
(
F;
r
)
,òàêêàêýëåìåíòûòèïà
ðàñùåïëåíèÿâîçðàñòàþò.
2
4Íåêîòîðûåñëåäñòâèÿ
Ââåäåìäâàêëàññàïðåäñòàâëåíèé.
Á-ïðåäñòàâëåíèÿìè
íàçûâàþòïðèâîäèìûåïðåä-
ñòàâëåíèÿ,êàæäàÿîáðàçóþùàÿêîòîðûõïðèâîäèòñÿêæîðäàíîâîéêëåòêå.Âýòîì
êëàññåÀ.À.ÁîëèáðóõîìáûëèíàéäåíûïåðâûåêîíòðïðèìåðûêïðîáëåìåÐèìàíà
Ãèëüáåðòàäëÿôóêñîâûõñèñòåì.Åùåîäèíêëàññïðåäñòàâëåíèéýòîïðåäñòàâëåíèÿ
âèäà

=

1


2
ñîáðàçóþùèìè
G
i
=
G
1
i

G
2
i
,
i
=1
;:::;n
,òàêèìè,÷òîñïåêòðû
ìàòðèö
G
1
i
è
G
2
i
íåïåðåñåêàþòñÿíèïðèîäíîì
i
.Íàçîâåìèõ
ðàñùåïèìûìè
.
Ñëåäñòâèå1.
Á-ïðåäñòàâëåíèÿèðàñùåïèìûåïðåäñòàâëåíèÿñíåìåíåå,÷åì
òðåìÿîáðàçóþùèìèíåìîãóòáûòüðåàëèçîâàíûêàêïðåäñòàâëåíèÿìîíîäðîìèè
ñêàëÿðíûõôóêñîâûõóðàâíåíèé.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðîîáàêëàññàïðåäñòàâëåíèéìîæíîïîêàçàòü,÷òîïîíèì
íåëüçÿïîñòðîèòüñòàáèëüíîóþïàðó.ÏðîÁ-ïðåäñòàâëåíèÿýòîëåãêîñëåäóåòèçäî-
êàçàòåëüñòâàòåîðåìû11.2èç[2].
Åñëèïðåäñòàâëåíèåðàñùåïèìî

=

1


2
,òî,ïîñòðîåííîåïîíåìóðàññëîåíèå
F
ñîñâÿçíîñòüþáóäåòèìåòüäâàïîäðàññëîåíèÿ
F
1
è
F
2
,êîòîðûåáóäóòñòàáèëèçè-
ðîâàòüñÿñâÿçíîñòüþ(èíâàðèàíòíûîòíîñèòåëüíîäåéñòâèÿìîíîäðîìèè).Ïîäïðåä-
ñòàâëåíèÿì

1
è

2
îòâå÷àþòïîäðàññëîåíèÿ
F
1
è
F
2
,ñîîòâåòñòâåííî.Ïîêàæåì,÷òî
deg
F
=deg
F
1
+deg
F
2
:
(29)
Âêà÷åñòâåàññîöèèðîâàííîãîáàçèñàðàññìîòðèìñëàáîëåâåëåâñêèé.Èíâàðèàíòíûå
ïîäïðîñòðàíñòâà,îòâå÷àþùèåïðÿìûìñëàãàåìûììîíîäðîìèè,ïîðîæäàþòñÿ÷àñòÿ-
ìèñëàáîëåâåëåâñêîãîáàçèñà,ò.å.ïåðâûå
l
âåêòîðîâïîðîæäàþòïåðâîåèíâàðèàíòíîå
ïîäïðîñòðàíñòâî,àïîñëåäíèå
p

l
âåêòîðîââòîðîå.Äåéñòâèòåëüíî,ðàññìîòðèì
îïåðàòîð
G
i
=
G
0
i

G
00
i
,ãäå
G
0
1
è
G
00
i
îáðàçóþùèåïîäïðåäñòàâëåíèé.Ïîóñëîâèþ,
îïåðàòîðû
G
0
i
è
G
00
i
íåèìåþòîäèíàêîâûõñîáñòâåííûõçíà÷åíèé,à,çíà÷èò,êàæ-
äûéâåêòîðèçñëàáîëåâåëåâñêîãîáàçèñàëåæèòðîâíîâîäíîìèçïîäïðîñòðàíñòâ,â
òîì,âêîòîðîìëåæèòñîîòâåòñòâóþùååñîáñòâåííîåïîäïðîñòðàíñòâî.Òîãäàñòåïåíü
ïîäðàññëîåíèÿ
F
1
ðàâíàñóììåïîêàçàòåëåé,ñîîòâåòñòâóþùèõïîäïðåäñòàâëåíèþ

1
:
deg
F
1
=
P
n
i
=1
P
l
j
=1

j
i
,òîæåâåðíîèäëÿ
F
2
,òîåñòü
deg
F
2
=
P
n
i
=1
P
p
j
=
l
+1

j
i
.Ñëåäî-
âàòåëüíî,âûïîëíåíî(29).Èç(29)ñëåäóåò,÷òîïàðà
(
F;
r
)
íåìîæåòáûòüñòàáèëüíîé.
Òàêèìîáðàçîì,èçòðåòüåéôîðìóëèðîâêè21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòàñëåäóåò,÷òî
äëÿýòèõäâóõêëàññîâïðåäñòàâëåíèéîíàèìååòîòðèöàòåëüíîåðåøåíèå.
2
Çàìå÷àíèå.
Âõîðîøîèçó÷åííîìêëàññåôóêñîâûõóðàâíåíèéâòîðîãîïîðÿäêà
ñòðåìÿîñîáûìèòî÷êàìè
0
,
1
è
1
óêàçàííûåñåìåéñòâàïðåäñòàâëåíèéäàþòâñå
êëàññûíåðåàëèçóåìûåòàêèìèóðàâíåíèÿìè.Â÷àñòíîñòè,êýòîìóêëàññóîòíîñèòñÿ
ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîåóðàâíåíèå.
Ýòîíåòðóäíîïîêàçàòü,âîñïîëüçîâàâøèñüïîëó÷åííûìèôîðìóëèðîâêàìè.Íà-
ïðèìåð,ïîíåïðèâîäèìîìóïðåäñòàâëåíèþìîæíîïîñòðîèòüôóêñîâóñèñòåìó,àîíà
16
ïîñòîÿííîéêàëèáðîâêîéîáÿçàíàïðèâîäèòüñÿêâèäó(3),(12).Äåéñòâèòåëüíî,âû÷åò
âòî÷êå
z
=1
ìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâìîæíîïðèâåñòèêíèæíåòðåóãîëüíîìóâèäó,
àâû÷åòâíóëåíåñìîæåòèìåòüòàêîéâèä,ò.ê.ñèñòåìàíåïðèâîäèìà.Äàëåå,ïîä-
õîäÿùèìäèàãîíàëüíûìêàëèáðîâî÷íûìïðåîáðàçîâàíèåìñäåëàåìïðàâûéâåðõíèé
ýëåìåíòâû÷åòàâíóëååäèíèöåé.Åùåáîëååóäîáíîéÿâëÿåòñÿòðåòüÿôîðìóëèðîâêà,
íîîíàòðåáóåòïðèìåíåíèÿòåõíèêèðàáîòûñðàññëîåíèÿìèñîñâÿçíîñòüþ.
Ñëåäñòâèå2.
Ïîìîíîäðîìèèôóêñîâàóðàâíåíèÿìîæíîïîñòðîèòüáåñêîíå÷-
íîåñåìåéñòâîôóêñîâûõñèñòåì.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñîãëàñíîòåîðåìå4ïîôóêñîâóóðàâíåíèþìîæíîïîñòðîèòü
ñòàáèëüíóþïàðó
(
F;
r
)
.Ñäðóãîéñòîðîíû,èçòåîðåìû3ðàáîòû[3]âûòåêàåò,÷òîèç
ñóùåñòâîâàíèÿñòàáèëüíîéïàðûñëåäóåò,÷òîñóùåñòâóåòèñêîìîåñåìåéñòâîñèñòåì.
2
Îñíîâíàÿòðóäíîñòüÿâíîãîïðåäúÿâëåíèÿêîíòðïðèìåðîâê21-îéïðîáëåìåÃèëü-
áåðòàäëÿñêàëÿðíûõôóêñîâûõóðàâíåíèéñîñòîèòâñëîæíîéçàâèñèìîñòèîòïîëîæå-
íèÿîñîáûõòî÷åê.Êàêáóäåòïîêàçàíîíèæå,âñëó÷àå
n

4
îñîáûõòî÷åêîòâåòêïðî-
áëåìåíåóñòîé÷èâîòíîñèòåëüíîäâèæåíèÿîñîáûõòî÷åê.Èçâåñòíûìïðèìåðîìòàêîé
çàâèñèìîñòèÿâëÿåòñÿñëó÷àé÷åòûðåõîñîáûõòî÷åê
0
,
1
,
t
è
1
èíåïðèâîäèìîéìî-
íîäðîìèè,ïðèíàäëåæàùåé
SL(2
;
C
)
.Òàêèåäàííûå,êàêïðàâèëî,íåëüçÿðåàëèçîâàòü
ñêàëÿðíûìôóêñîâûìóðàâíåíèåìñ÷åòûðüìÿîñîáûìèòî÷êàìè,íîìîæíîðåàëèçî-
âàòüóðàâíåíèåìñîäíîéäîïîëíèòåëüíîé,òàêíàçûâàåìîé,ëîæíîé(áåçâåòâëåíèÿ)
îñîáîéòî÷êîé
w
(
t
)
,ïîëîæåíèåêîòîðîéçàâèñèòîò
t
.Ìûïðåäïîëàãàåì,÷òîìîíîäðî-
ìèÿïîñòîÿííà.Ôóíêöèÿ
w
(
t
)
ÿâëÿåòñÿðåøåíèåìóðàâíåíèÿÏåíëåâå6(ñì.[6]).Êàê
ïðàâèëî,ðåøåíèÿóðàâíåíèéÏåíëåâåýòîíîâûåíåèçâåñòíûåôóíêöèè,èìåþùèå
êðîìåòî÷åê
0
,
1
,
1
åùåèäðóãèå,òàêíàçûâàåìûåïîäâèæíûå,îñîáåííîñòè.Ýòè
îñîáåííîñòèòåïîëîæåíèÿòî÷êè
t
,ïðèêîòîðûõñóùåñòâóåòñêàëÿðíîåôóêñîâî
óðàâíåíèå,ðåàëèçóþùååçàäàííóþìîíîäðîìèþ.Òàêèìîáðàçîì,âîïðîñîâîçìîæ-
íîñòèïîñòðîåíèÿñêàëÿðíîãîôóêñîâàóðàâíåíèÿýòîâîïðîñîïèñàíèÿñòðóêòóðû
äèâèçîðà.
5Íåäåôîðìèðóåìîñòüôóêñîâûõóðàâíåíèé
Èçâåñòíî,÷òîôóêñîâóñèñòåìóñíàáîðîìîñîáûõòî÷åê
a
=(
a
1
;:::;a
n
)
ìîæíîâêëþ-
÷èòüâñåìåéñòâîôóêñîâûõñèñòåì
dy
dz
=

n
X
i
=1
B
i
(
a
)
z

a
i
!
y;
n
X
i
=1
B
i
(
a
)=0
;
çàâèñÿùååîòïàðàìåòðà
a
òàê,÷òîýòèñèñòåìûáóäóòèìåòüîäíîèòîæåïðåäñòàâëå-
íèåìîíîäðîìèè(2).Òàêîåñåìåéñòâîñèñòåìíàçûâàåòñÿ
èçîìîíîäðîìíûì
.Íàèáîëåå
èçâåñòíîåèçòàêèõñåìåéñòâ,çàäàâàåìîåóðàâíåíèåìØëåçèíãåðà,íàçûâàåòñÿøëå-
çèíãåðîâñêèì.Âíåðåçîíàíñíîìñëó÷àåâñåèçîìîíîäðîìíûåäåôîðìàöèèøëåçèíãå-
ðîâñêèåèëèñâîäÿòñÿêíèìñîïðÿæåíèåì.Íåïðåðûâíûåèçîìîíîäðîìíûåäåôîðìà-
öèèñîõðàíÿþòïîêàçàòåëè.Øëåçèíãåðîâñêàÿäåôîðìàöèÿîòëè÷àåòñÿîòäðóãèõåùå
èòåì,÷òîïðèíåéñîõðàíÿþòñÿñâÿçè(îòíîøåíèÿ
Y
i
=Y
j
)ìåæäóàññîöèèðîâàííûìè
17
áàçèñàìèâðàçíûõòî÷êàõ.Àíàëîãè÷íîäåôîðìàöèÿìñèñòåììîæíîîïðåäåëèòüäå-
ôîðìàöèþðàññëîåíèéñîñâÿçíîñòüþ.
Âýòîìïàðàãðàôåìûáóäåìàêòèâíîïðèìåíÿòüòåõíèêóðàáîòû[4].
Òåîðåìà5.
Ñòàáèëüíàÿïàðà
(
F
(
a
)
;
r
(
a
))
ñòèïîìðàñùåïëåíèÿ
K
=(
k
1
;:::;k
p
)
,
ãäå
k
l
+1

k
l

1
,äëÿíåêîòîðîãî
l
,ïðèíåïðåðûâíîéäåôîðìàöèèïîïàðàìåòðó
a
íå
ìîæåòñîõðàíèòüòèïðàñùåïëåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âðàáîòå[4]ïîêàçàíî,÷òîïîïàðå
(
F
(
a
)
;
r
(
a
))
ìîæíîïîñòðî-
èòüôóêñîâóñèñòåìóñòîéæåìîíîäðîìèåé,÷òîóñâÿçíîñòè
r
,èñîñîáûìèòî÷êàìè
a
1
;:::;a
n
;
1
:
dy
dz
=

n
X
i
=1

B
i
(
a
)
z

a
i
!
y;
n
X
i
=1

B
i
=

K;
(30)
ãäå
K
òèïðàñùåïëåíèÿðàññëîåíèÿ
F
.Òîãäà,ñîãëàñíîòåîðåìåËåâåëÿ,ôóíäà-
ìåíòàëüíàÿìàòðèöà,ñîîòâåòñòâóþùàÿàññîöèèðîâàííîìóáàçèñóâáåñêîíå÷íîñòè,
ïðèìåòâèä:
Y
(
z
)=
U
(
z;a
)
z
K
;U
(
z
)=
I
+
U
1
(
a
)
1
z
+
::::
Òî,÷òî
K
íåòîëüêîíàáîðíîðìèðîâàíèéâáåñêîíå÷íîñòè,íîèòèïðàñùåïëåíèÿ
îçíà÷àåò,÷òî
Y
(
z
)=
U
(
z;a
)
z
K
=
z
K
V
(
z;a
)
;V
(
z
)=
I
+
V
1
(
a
)
1
z
+
::::
Òîåñòü
U
(
z;a
)=
I
+
U
1
(
a
)
1
z
+
O
(
1
z
2
)=
z
K
V
(
z;a
)
z

K
.Îòñþäà,àòàêæåèçòîãî,÷òî
k
i
+1

k
i

1
ñëåäóåò,÷òî
u
ij
(
a
)

0
;i

lj:
(31)
Ñäðóãîéñòîðîíûèçôîðìóëû
@U
1
(
a
)
@a
i
=

B
i
(
a
)
;
(32)
ïîëó÷åííîéâ[4]èçóðàâíåíèÿØëåçèíãåðàèïôàôôîâîéôîðìû,çàäàþùåéøëåçèí-
ãåðîâñêóþèçîìîíîäðîìíóþäåôîðìàöèþ.
Òàêèìîáðàçîìèçôîðìóë(31)è(32)ñëåäóåò,÷òîñèñòåìà(30)èìååòáëî÷íîíèæ-
íåòðåóãîëüíóþôîðìó.Íîýòî,âñâîþî÷åðåäü,îçíà÷àåò,÷òîïîäñèñòåìà,ïîëó÷åííàÿ
âïåðåñå÷åíèèïîñëåäíèõ
l
ñòîëáöîâèñòðîêçàäàåòëîãàðèôìè÷åñêóþñâÿçíîñòüâ
ïîäðàññëîåíèè
F
1
ñòèïîìðàñùåïëåíèÿ
(
k
p

l
+1
;:::;k
p
)
,÷òîïðîòèâîðå÷èòñòàáèëü-
íîñòèïàðû
(
F;
r
)

(
F
1
)=
k
p

l
+1
+
:::
+
k
p
l

k
1
+
:::
+
k
p
p
=

(
F
)
:
2
Ìíîæåñòâîíàáîðîâ
a
=(
a
1
;:::;a
n
)
îïðåäåëÿåòñÿðàâåíñòâîìíóëþíåêîòîðûõ
ýëåìåíòîâìàòðèöûêîýôôèöèåíòîââñïîìîãàòåëüíîéñèñòåìû,ñîîòâåòñòâåííî,îíî
ÿâëÿåòñÿàíàëèòè÷åñêèìïîäìíîæåñòâîì
C
n
ïîëîæèòåëüíîéêîðàçìåðíîñòè.
Íàçîâåìóðàâíåíèåðåçîíàíñíûì,åñëèêàêèå-òîåãîïîêàçàòåëè(âîäíîéòî÷êå)
îòëè÷àþòñÿíàöåëîå÷èñëî.
18
Ñëåäñòâèå3.
Íåðåçîíàíñíûåóðàâíåíèÿñíàáîðîìîñîáûõòî÷åê
a
=(
a
1
;:::;a
n
)
,
n

4
èìîíîäðîìèåé

íåìîæåòáûòüâêëþ÷åíîâèçîìîíîäðîìèíîåñåìåéñòâîñ
ïàðàìåòðàìè
a
2
W
,ãäå
W
íåêîòîðàÿîáëàñòüâ
C
n
.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñîãëàñíîòðåòüåéôîðìóëèðîâêåñóùåñòâîâàíèåóðàâíåíèÿýê-
âèâàëåíòíîñóùåñòâîâàíèþñòàáèëüíîéïàðû
(
F;
r
)
ñòèïîìðàñùåïëåíèÿ
K
=(0
;n

2
;:::;
(
p

1)(
n

2))
.Ïîóñëîâèþ
n

2

1
,ñîîòâåòñòâåííî,ýòîðàññëîåíèåïîäïàäàåò
ïîäóñëîâèåòåîðåìû5,êîòîðàÿóòâåðæäàåò,÷òîíåñóùåñòâóåòèçîìîíîäðîìíîéäå-
ôîðìàöèèøëåçèíãåðîâñêîãîòèïà,ñîõðàíÿþùåéòèïðàñùåïëåíèÿ.Âñåäåôîðìàöèè
âíåðåçîíàíñíîìñëó÷àåñâîäÿòñÿêøëåçèíãåðîâñêèì,ñîîòâåòñòâåííîèõíåñóùå-
ñòâóåò.
2
Çäåñüòàêæåìîæíîñêàçàòü,÷òîìíîæåñòâîíàáîðîâ
a
=(
a
1
;:::;a
n
)
,ïðèêîòî-
ðûõñóùåñòâóåòôóêñîâîóðàâíåíèåñçàäàííîéìîíîäðîìèåéÿâëÿåòñÿàíàëèòè÷åñêèì
ìíîæåñòâîìïîëîæèòåëüíîéêîðàçìåðíîñòè.Âðåçîíàíñíîìñëó÷àåýòèóòâåðæäåíèÿ
áóäóòâåðíûìè,íîòîëüêîäëÿäåôîðìàöèé,ñîõðàíÿþùèõñâÿçèìåæäóëîêàëüíûìè
ñèñòåìàìè.
Ñïèñîêëèòåðàòóðû
[1]ÁîëèáðóõÀ.À.21-ÿïðîáëåìàÃèëüáåðòàäëÿëèíåéíûõôóêñîâûõñèñòåì//
Òð.
Ìàòåì.èí-òàèì.Â.À.ÑòåêëîâàÐÀÍ.1994.Ò.206.
[2]ÁîëèáðóõÀ.À.Ôóêñîâûäèôôåðåíöèàëüíûåóðàâíåíèÿèãîëîìîðôíûåðàññëî-
åíèÿ.
Ì.:ÌÖÍÌÎ,2000.
[3]ÁîëèáðóõÀ.À.ÏðîáëåìàÐèìàíàÃèëüáåðòàíàêîìïàêòíîéðèìàíîâîéïîâåðõ-
íîñòè//
Òð.ÌÈÐÀÍ.2002.Ò.238.Ñ.55-69.
[4]ÁîëèáðóõÀ.À.Îtau-ôóíêöèèóðàâíåíèÿèçîìîíîäðîìíûõäåôîðìàöèéØëå-
çèíãåðà//
Ìàòåì.çàìåòêè.2003.Ò.74.Â.2.Ñ.184-191.
[5]SingerM.,VanDerPutM.GaloisTheoryofLinearDierentialEquations//
Springer.
[6]ÃîíöîâÐ.Ð.,ÏîáåðåæíûéÂ.À.Ðàçëè÷íûåâàðèàíòûïðîáëåìûÐèìàíà
Ãèëüáåðòàäëÿëèíåéíûõäèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé//
ÓÌÍ.2008.Ò.63.
Â.4.Ñ.147-184.
[7]ÂüþãèíÈ.Â.Îáýêâèâàëåíòíûõôîðìóëèðîâêàõ21-îéïðîáëåìûÃèëüáåðòà//
Òåçèñûäîêëàäîâìåæäóíàðîäíîéêîíôåðåíöèèïîäèôôåðåíöèàëüíûìóðàâíåíè-
ÿìèäèíàìè÷åñêèìñèñòåìàì.Ñóçäàëü.,2008,Ñ.62-63.
19

Приложенные файлы

  • pdf 43039960
    Размер файла: 333 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий