Преобразование Гильберта. Мы работали с функциями из L2(R). Аналогичная теория существует и для функций, суммируемых с квадратом на окружности.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Çàäà÷èèóïðàæíåíèÿïîòåìå¾Ìàêñèìàëüíàÿôóíêöèÿè ïðåîáðàçîâàíèåÃèëüáåðòà¿ Óïðàæíåíèÿ Ìàêñèìàëüíàÿôóíêöèÿ Îáîçíà÷åíèÿ: B r ( x ) øàððàäèóñà r ñöåíòðîìâ x , j A j ëåáåãîâàìåðàìíîæåñòâà A . M1. à)Ïóñòü  êîíå÷íàÿìåðàíà R n .Äëÿ x 2 R n ïîëîæèì ( M )( x )=sup B 3 x 1 j B j Z B d =sup B 3 x  ( B ) j B j ; ãäåñóïðåìóìáåðåòñÿïîâñåìøàðàì B ,ñîäåðæàùèìòî÷êó x .Äîêàæèòå,÷òî f x :( M )( x ) �t g 6 C t  ( R n ) : á)Ïóñòü  êîíå÷íàÿçíàêîïåðåìåííàÿìåðà(çàðÿä)íà R n , j  j ååïîëíàÿâàðèàöèÿ. Äëÿ x 2 R n ïîëîæèì ( M )( x )=sup B 3 x 1 j B j Z B d j  j =sup B 3 x j  j ( B ) j B j ; ãäåñóïðåìóìáåðåòñÿïîâñåìøàðàì B ,ñîäåðæàùèìòî÷êó x .Äîêàæèòå,÷òî f x :( M )( x ) �t g 6 C t j  j ( R n ) : M2. Íåîòðèöàòåëüíàÿêîíå÷íàÿáîðåëåâñêàÿìåðà  íàòîïîëîãè÷åñêîìïðîñòðàíñòâå X íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé ,åñëèäëÿëþáîãîáîðåëåâñêîãîìíîæåñòâà e âåðíîðàâåíñòâî e =sup f a : a  e;a êîìïàêòíî g : Äîêàæèòå,÷òîâñÿêàÿêîíå÷íàÿáîðåëåâñêàÿìåðàíàëîêàëüíîêîìïàêòíîììåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå,ñ÷åòíîìâáåñêîíå÷íîñòè,ðåãóëÿðíà. Óêàçàíèå. ÏðèìåíèòåòåîðåìóËåáåãàÊàðàòåîäîðèêñóæåíèþìåðû  íàïîäõîäÿùóþ ñèñòåìóìíîæåñòâ. M3. Ïóñòü  êîíå÷íàÿáîðåëåâñêàÿìåðàíà R n .Äîêàæèòå,÷òîåñëèìåðàñèíãóëÿðíà, òî lim r ! 0 B r ( x )=0 äëÿï.â. x 2 R n : Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòåñíà÷àëàñëó÷àé,êîãäàìåðà  ñîñðåäîòî÷åíàíàêîìïàêòíîììíî- æåñòâåíóëåâîéëåáåãîâîéìåðû.Îáùèéñëó÷àéñâîäèòñÿêýòîìóïðèìåíåíèåìóïðàæíåíèÿ2 è,àçàòåìíåðàâåíñòâàèçóïðàæíåíèÿ1(âòîìæåäóõåêàêäîêàçûâàëàñüíàëåêöèèòåîðåìà îäèôôåðåíöèðîâàíèè). ÏðåîáðàçîâàíèåÃèëüáåðòà Ìûðàáîòàëèñôóíêöèÿìèèç L 2 ( R ) .Àíàëîãè÷íàÿòåîðèÿñóùåñòâóåòèäëÿôóíêöèé, ñóììèðóåìûõñêâàäðàòîìíàîêðóæíîñòè. H1. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèìïîëèíîìîì íàçûâàåòñÿôóíêöèÿíàîêðóæíîñòè T âèäà P j k j 6 N a k  k , j  j =1 .Îííàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì ,åñëèîíåñòüñóæåíèåíàîêðóæíîñòüíåêî- òîðîãîàëãåáðàè÷åñêîãîïîëèíîìàîòîäíîéêîìïëåêñíîéïåðåìåííîé. Äîêàæèòå,÷òîòðèãîíîìåòðè÷åñêèéïîëèíîìîìÿâëÿåòñÿàíàëèòè÷åñêèìòîãäàèòîëüêî òîãäà,êîãäà a k =0 ïðè k 0 . H2. Ïóñòü H 2 = H 2 ( T ) çàìûêàíèåìíîæåñòâààíàëèòè÷åñêèõïîëèíîìîââïðîñòðàíñòâå L 2 ( T ) .Äîêàæèòå,÷òî H 2 = f f 2 L 2 ( T ): p f ( k )=0 ïðè k 0 g : Òåìñàìûìîðòîãîíàëüíûéïðîåêòîðíà H 2 âûãëÿäèòòàê: P + f (  )= X n � 0 p f ( n )  n ;f 2 L 2 ( T ) : H3. Äîêàæèòåôîðìóëóäëÿ P + âòåðìèíàõèíòåãðàëàòèïàÊîøè(ïðåäåëáåðåòñÿâ L 2 ( T ) ): P + f (  )=lim r ! 1 � 1 2 i Z T f (  )  � r d =lim r ! 1 � 1 2  2  Z 0 f ( e i ) e i e i � r d =lim r ! 1 � 1 2  2  Z 0 f ( e i ) 1 � re � i d: H4. Ïóñòü u âåùåñòâåííàÿôóíêöèÿèç L 2 íàîêðóæíîñòè.Èùåìòàêóþâåùåñòâåííóþ ôóíêöèþ v 2 L 2 ( T ) ,÷òî u + iv 2 H 2 è p v (0)=0 (ïîñëåäíååóñëîâèåíîðìèðîâî÷íîå:ïðèáàâ- ëåíèåê v âåùåñòâåííîéêîíñòàíòûíåíàðóùàåòóñëîâèÿ u + iv 2 H 2 ). Ïðîâåðüòå,÷òîôóíêöèÿ v îäíîçíà÷íîîïðåäåëÿåòñÿóñëîâèåì p v ( n )= � i sign n p u ( n ) , n 2 Z . Òåìñàìûìîïåðàòîð u 7! v íåïðåðûâåíâ H 2 (èåãîíîðìàíåïðåâîñõîäèòåäèíèöû).Ýòîò îïåðàòîðíàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîìãàðìîíè÷åñêîãîñîïðÿæåíèÿ (àíàëîãïðåîáðàçîâàíèÿÃèëü- áåðòà)èîáîçíà÷àåòñÿ H .Åãîìîæíîïðèìåíÿòüêïðîèçâîëüíûì(íåîáÿçàòåëüíîâåùåñòâåí- íûì)ôóíêöèÿìèç L 2 : u 7! v , p v ( n )= � i sign n p u ( n ) . H5. Âûâåäèòåôîðìóëó(  = e it ) H f (  )=lim r ! 1 � 1 2  2  Z 0 2 r sin( t �  ) 1+ r 2 � 2 r cos( t �  ) f ( e i ) d (ïðåäåëâ L 2 ( T ) ) : Çàìåòèì,÷òîïðè r ! 1 ÿäðîñòðåìèòñÿêôóíêöèè ctg t �  2 ,èìåþùåéíåñóììèðóåìóþ îñîáåííîñòüïðè  = t . H6. Ïðîâåðüòå(õîòÿáûäëÿòðèãîíîìåòðè÷åñêèõïîëèíîìîâ u ),÷òî H u ( e it )= 1 2  v : p : 2  Z 0 ctg t �  2 u ( e i ) d: H7. Äîêàæèòåîöåíêó 1 2  2  Z 0 2 r sin( t �  ) 1+ r 2 � 2 r cos( t �  ) f ( e i ) d � 1 2  Z  2 [0 ; 2  ] j t �  j � 1 � r ctg t �  2 f ( e i ) d 6 CMf ( e it ) ; ãäå M ìàêñèìàëüíàÿôóíêöèÿ,à C íåçàâèñèòîò t . Âûâåäèòåîòñþäà,÷òî H f ( e it )=lim " ! 0 1 2  Z  2 [0 ; 2  ] j t �  j � " ctg t �  2 f ( e i ) d (ïðåäåëâ L 2 ( T ) ) :

Приложенные файлы

  • pdf 43039949
    Размер файла: 127 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий