Преобразование Гильберта. Мы работали с функциями из L2(R). Аналогичная теория существует и для функций, суммируемых с квадратом на окружности.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Çàäà÷èèóïðàæíåíèÿïîòåìå¾Ìàêñèìàëüíàÿôóíêöèÿè
ïðåîáðàçîâàíèåÃèëüáåðòà¿
Óïðàæíåíèÿ
Ìàêñèìàëüíàÿôóíêöèÿ
Îáîçíà÷åíèÿ:
B
r
(
x
)
øàððàäèóñà
r
ñöåíòðîìâ
x
,
j
A
j
ëåáåãîâàìåðàìíîæåñòâà
A
.
M1.
à)Ïóñòü

êîíå÷íàÿìåðàíà
R
n
.Äëÿ
x
2
R
n
ïîëîæèì
(
M
)(
x
)=sup
B
3
x
1
j
B
j
Z
B
d
=sup
B
3
x

(
B
)
j
B
j
;
ãäåñóïðåìóìáåðåòñÿïîâñåìøàðàì
B
,ñîäåðæàùèìòî÷êó
x
.Äîêàæèòå,÷òî


f
x
:(
M
)(
x
)
�t
g


6
C
t

(
R
n
)
:
á)Ïóñòü

êîíå÷íàÿçíàêîïåðåìåííàÿìåðà(çàðÿä)íà
R
n
,
j

j
ååïîëíàÿâàðèàöèÿ.
Äëÿ
x
2
R
n
ïîëîæèì
(
M
)(
x
)=sup
B
3
x
1
j
B
j
Z
B
d
j

j
=sup
B
3
x
j

j
(
B
)
j
B
j
;
ãäåñóïðåìóìáåðåòñÿïîâñåìøàðàì
B
,ñîäåðæàùèìòî÷êó
x
.Äîêàæèòå,÷òî


f
x
:(
M
)(
x
)
�t
g


6
C
t
j

j
(
R
n
)
:
M2.
Íåîòðèöàòåëüíàÿêîíå÷íàÿáîðåëåâñêàÿìåðà

íàòîïîëîãè÷åñêîìïðîñòðàíñòâå
X
íàçûâàåòñÿ
ðåãóëÿðíîé
,åñëèäëÿëþáîãîáîðåëåâñêîãîìíîæåñòâà
e
âåðíîðàâåíñòâî
e
=sup
f
a
:
a

e;a
êîìïàêòíî
g
:
Äîêàæèòå,÷òîâñÿêàÿêîíå÷íàÿáîðåëåâñêàÿìåðàíàëîêàëüíîêîìïàêòíîììåòðè÷åñêîì
ïðîñòðàíñòâå,ñ÷åòíîìâáåñêîíå÷íîñòè,ðåãóëÿðíà.
Óêàçàíèå.
ÏðèìåíèòåòåîðåìóËåáåãàÊàðàòåîäîðèêñóæåíèþìåðû

íàïîäõîäÿùóþ
ñèñòåìóìíîæåñòâ.
M3.
Ïóñòü

êîíå÷íàÿáîðåëåâñêàÿìåðàíà
R
n
.Äîêàæèòå,÷òîåñëèìåðàñèíãóëÿðíà,
òî
lim
r
!
0
B
r
(
x
)=0
äëÿï.â.
x
2
R
n
:
Óêàçàíèå.
Ðàññìîòðèòåñíà÷àëàñëó÷àé,êîãäàìåðà

ñîñðåäîòî÷åíàíàêîìïàêòíîììíî-
æåñòâåíóëåâîéëåáåãîâîéìåðû.Îáùèéñëó÷àéñâîäèòñÿêýòîìóïðèìåíåíèåìóïðàæíåíèÿ2
è,àçàòåìíåðàâåíñòâàèçóïðàæíåíèÿ1(âòîìæåäóõåêàêäîêàçûâàëàñüíàëåêöèèòåîðåìà
îäèôôåðåíöèðîâàíèè).
ÏðåîáðàçîâàíèåÃèëüáåðòà
Ìûðàáîòàëèñôóíêöèÿìèèç
L
2
(
R
)
.Àíàëîãè÷íàÿòåîðèÿñóùåñòâóåòèäëÿôóíêöèé,
ñóììèðóåìûõñêâàäðàòîìíàîêðóæíîñòè.
H1.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèìïîëèíîìîì
íàçûâàåòñÿôóíêöèÿíàîêðóæíîñòè
T
âèäà
P
j
k
j
6
N
a
k

k
,
j

j
=1
.Îííàçûâàåòñÿ
àíàëèòè÷åñêèì
,åñëèîíåñòüñóæåíèåíàîêðóæíîñòüíåêî-
òîðîãîàëãåáðàè÷åñêîãîïîëèíîìàîòîäíîéêîìïëåêñíîéïåðåìåííîé.
Äîêàæèòå,÷òîòðèãîíîìåòðè÷åñêèéïîëèíîìîìÿâëÿåòñÿàíàëèòè÷åñêèìòîãäàèòîëüêî
òîãäà,êîãäà
a
k
=0
ïðè
k
0
.
H2.
Ïóñòü
H
2
=
H
2
(
T
)
çàìûêàíèåìíîæåñòâààíàëèòè÷åñêèõïîëèíîìîââïðîñòðàíñòâå
L
2
(
T
)
.Äîêàæèòå,÷òî
H
2
=
f
f
2
L
2
(
T
):
p
f
(
k
)=0
ïðè
k
0
g
:
Òåìñàìûìîðòîãîíàëüíûéïðîåêòîðíà
H
2
âûãëÿäèòòàê:
P
+
f
(

)=
X
n

0
p
f
(
n
)

n
;f
2
L
2
(
T
)
:
H3.
Äîêàæèòåôîðìóëóäëÿ
P
+
âòåðìèíàõèíòåãðàëàòèïàÊîøè(ïðåäåëáåðåòñÿâ
L
2
(
T
)
):
P
+
f
(

)=lim
r
!
1

1
2
i
Z
T
f
(

)


r
d
=lim
r
!
1

1
2

2

Z
0
f
(
e
i
)
e
i
e
i

r
d
=lim
r
!
1

1
2

2

Z
0
f
(
e
i
)
1

re

i
d:
H4.
Ïóñòü
u
âåùåñòâåííàÿôóíêöèÿèç
L
2
íàîêðóæíîñòè.Èùåìòàêóþâåùåñòâåííóþ
ôóíêöèþ
v
2
L
2
(
T
)
,÷òî
u
+
iv
2
H
2
è
p
v
(0)=0
(ïîñëåäíååóñëîâèåíîðìèðîâî÷íîå:ïðèáàâ-
ëåíèåê
v
âåùåñòâåííîéêîíñòàíòûíåíàðóùàåòóñëîâèÿ
u
+
iv
2
H
2
).
Ïðîâåðüòå,÷òîôóíêöèÿ
v
îäíîçíà÷íîîïðåäåëÿåòñÿóñëîâèåì
p
v
(
n
)=

i
sign
n
p
u
(
n
)
,
n
2
Z
.
Òåìñàìûìîïåðàòîð
u
7!
v
íåïðåðûâåíâ
H
2
(èåãîíîðìàíåïðåâîñõîäèòåäèíèöû).Ýòîò
îïåðàòîðíàçûâàåòñÿ
îïåðàòîðîìãàðìîíè÷åñêîãîñîïðÿæåíèÿ
(àíàëîãïðåîáðàçîâàíèÿÃèëü-
áåðòà)èîáîçíà÷àåòñÿ
H
.Åãîìîæíîïðèìåíÿòüêïðîèçâîëüíûì(íåîáÿçàòåëüíîâåùåñòâåí-
íûì)ôóíêöèÿìèç
L
2
:
u
7!
v
,
p
v
(
n
)=

i
sign
n
p
u
(
n
)
.
H5.
Âûâåäèòåôîðìóëó(

=
e
it
)
H
f
(

)=lim
r
!
1

1
2

2

Z
0
2
r
sin(
t


)
1+
r
2

2
r
cos(
t


)
f
(
e
i
)
d
(ïðåäåëâ
L
2
(
T
)
)
:
Çàìåòèì,÷òîïðè
r
!
1
ÿäðîñòðåìèòñÿêôóíêöèè
ctg
t


2
,èìåþùåéíåñóììèðóåìóþ
îñîáåííîñòüïðè

=
t
.
H6.
Ïðîâåðüòå(õîòÿáûäëÿòðèãîíîìåòðè÷åñêèõïîëèíîìîâ
u
),÷òî
H
u
(
e
it
)=
1
2

v
:
p
:
2

Z
0
ctg
t


2
u
(
e
i
)
d:
H7.
Äîêàæèòåîöåíêó





1
2

2

Z
0
2
r
sin(
t


)
1+
r
2

2
r
cos(
t


)
f
(
e
i
)
d

1
2

Z

2
[0
;
2

]
j
t


j

1

r
ctg
t


2
f
(
e
i
)
d





6
CMf
(
e
it
)
;
ãäå
M
ìàêñèìàëüíàÿôóíêöèÿ,à
C
íåçàâèñèòîò
t
.
Âûâåäèòåîòñþäà,÷òî
H
f
(
e
it
)=lim
"
!
0
1
2

Z

2
[0
;
2

]
j
t


j

"
ctg
t


2
f
(
e
i
)
d
(ïðåäåëâ
L
2
(
T
)
)
:

Приложенные файлы

  • pdf 43039949
    Размер файла: 127 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий