центр M обоих параллелограммов совпадает с точкой O пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, и применить задачу 8. Допу-стим, что M O (см. рис. 10). При нечетном n оценка имеет вид. (n.


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⥪ ⥬᪮H&#x-36;&#x-36;-;-3;&#x-39;.01;-1;&#x-3;&#x-30;&#x.998;Ե�饭 40 ..誮 ⥫⢮᪮᪮業 뢭⥬᪮ࠧ ᪢  2015 ÓÄÊ511.2 ÁÁÊ22.131 Ã24 Ã24 ÃàøêîâÑ.Á. Öåíòðûòÿæåñòèèãåîìåòðèÿ.Ì.:ÌÖÍÌÎ,2015. 64ñ. ISBN978-5-4439-0145-9 ÁÁÊ22.131 ISBN978-5-4439-0145-9 ÃàøêîâÑ.Á.,2015 ÌÖÍÌÎ,2015 1.Öåíòðûòÿæåñòèïëîñêèõôèãóð èïëàíèìåòðèÿ Ìåòîäûâû÷èñëåíèÿöåíòðîâòÿæåñòè,èëè,÷òîòîæåñàìîå,öåí- òðîâìàññ(äàëååäëÿðàçíîîáðàçèÿèñïîëüçóþòñÿîáàòåðìèíà),ñî- ñòàâëÿþòîäèíèçâàæíåéøèõðàçäåëîâñòàòèêèèÿâëÿþòñÿñàìûì äðåâíèìðàçäåëîììåõàíèêè(äàèôèçèêèâîîáùå).Èõîñíîâûáûëè çàëîæåíûçíàìåíèòûìÀðõèìåäîì.Åãîïîäõîäêýòèìçàäà÷àìáûë âçíà÷èòåëüíîéìåðåãåîìåòðè÷åñêèì 1 ,èñòåõïîðìåòîäûíàõîæäå- íèÿöåíòðîâìàññïðîñòûõïëîñêèõôèãóðñîñòàâëÿþòñâîåîáðàçíûé ðàçäåëãåîìåòðèè 2 .Êàêèñàìóãåîìåòðèþ,èõìîæíîèçëàãàòüàêñè- îìàòè÷åñêè. Öåíòðìàññêîíå÷íîéñèñòåìûìàòåðèàëüíûõòî÷åê Íàïðèìåð,âêà÷åñòâåàêñèîììîæíîâçÿòüñëåäóþùèåêàæóùèåñÿ äîñòàòî÷íîî÷åâèäíûìèóòâåðæäåíèÿ. Àêñèîìà0. Óëþáîéêîíå÷íîéñèñòåìûòî÷åêöåíòðìàñññóùå- ñòâóåòèîïðåäåëåíîäíîçíà÷íî. Àêñèîìà1. Öåíòðìàññòî÷êèñîâïàäàåòñíåé. Àêñèîìà2. Öåíòðìàñññèñòåìûäâóõòî÷åêñìàññàìè m i äåëèò îòðåçîê,èõñîåäèíÿþùèé,âîòíîøåíèè m 1 : m 2 èðàñïîëîæåíáëèæå êáîëüøåéìàññå(åñëèîíèðàâíû,òîîííàõîäèòñÿïîñåðåäèíå). 1 Íîîíèñïîëüçîâàëèíåêîòîðûåôèçè÷åñêèåñîîáðàæåíèÿ,íàïðèìåðîòêðûòûé èìçàêîíðû÷àãà.ÕîäìûñëèÀðõèìåäàïîêàçàíâêíèãåèçâåñòíîãîàâñòðèéñêîãî ôèçèêàèôèëîñîôàÝðíñòàÌàõà[1],âêîòîðîéíåêîòîðûåðàññóæäåíèÿÀðõèìåäà Ìàõêðèòèêîâàë.Êñòàòè,ôèëîñîôñêóþñèñòåìó,ðàçâèòóþÌàõîì(òàêíàçûâàåìûé ìàõèçì),ïîäâåðãðåçêîé(èâîìíîãîìíåñïðàâåäëèâîé)êðèòèêåÂ.È.Ëåíèíâêíèãå ¾Ìàòåðèàëèçìèýìïèðèîêðèòèöèçì¿. 2 Äàëååìûâçíà÷èòåëüíîéñòåïåíèñëåäóåìïðåêðàñíîìóó÷åáíèêóòåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêèïðîôåññîðàÌîñêîâñêîãîóíèâåðñèòåòàÍ.Å.Æóêîâñêîãî[2],íàïèñàííîìó âèñòèííîãåîìåòðè÷åñêîìñòèëå.Ìíîãèå(íîíåâñå)èçëàãàåìûåäàëååôàêòûâçÿòû èçýòîéêíèãè(íîäîêàçàòåëüñòâà÷àñòîäàþòñÿäðóãèå).Êñîæàëåíèþ,â[2],êàê ïðèíÿòîâó÷åáíèêàõ,îáû÷íîíåóêàçûâàþòñÿèñòî÷íèêèìíîãèõíåñëîæíûõðåçóëü- òàòîâ,âåðîÿòíî,èçâåñòíûõñäàâíèõïîð(ìîæåòáûòü,äàæåèÀðõèìåäó),àñåé÷àñèõ óñòàíîâèòüçàòðóäíèòåëüíî.Êñòàòè,Í.Å.Æóêîâñêîãîçàåãîôóíäàìåíòàëüíûéâêëàä âàýðîìåõàíèêóÂ.È.Ëåíèííàçâàë¾îòöîìðóññêîéàâèàöèè¿. 4 1. Öåíòðûòÿæåñòèïëîñêèõôèãóðèïëàíèìåòðèÿ Àêñèîìà3. Åñëèìíîæåñòâîòî÷åê M ðàçáèòîíàäâàíåïåðåñå- êàþùèõñÿïîäìíîæåñòâà M i ññóììàðíûìèìàññàìè m i èöåíòðàìè ìàññ A i , i = 1,2 ,òîöåíòðìàññìíîæåñòâà M ñîâïàäàåòñöåíòðîì ìàñññèñòåìûèçäâóõòî÷åê A i ñìàññàìè m i . Ýòèõàêñèîìäîñòàòî÷íî,÷òîáûâû÷èñëèòüöåíòðìàññëþáîãî êîíå÷íîãîìíîæåñòâàòî÷åê A i ñìàññàìè m i , i = 1, ... , n .Äëÿýòîãî ìîæíîçàìåíèòüñïîìîùüþàêñèîìû3òî÷êè A 1 , A 2 íàîäíóòî÷êó A 1,2 ñìàññîé m 1 + m 2 ,îïðåäåëèâïîëîæåíèåòî÷êè A 1,2 ñïîìîùüþàê- ñèîìû2.Åñëè n � 2 ,òîêïîëó÷åííîìó ( n � 1) - òî÷å÷íîìóìíîæåñòâó f A 1,2 , A 3 , ... , A n g ïðèìåíÿåìòîòæåïðèåìèò.ä.,ïîêàíåïîëó÷èì îäíóòî÷êó A 1,2, ... , n ñìàññîé m 1 + ... + m n ,êîòîðàÿñîãëàñíîàêñèîìå1 ÿâëÿåòñÿöåíòðîììàñññèñòåìûòî÷åê A i , i = 1, ... , n . Óêàçàííûéïðèåììîæíî,êîíå÷íî,ïðèìåíÿòüêäàííîìóìíî- æåñòâóòî÷åêðàçëè÷íûìèñïîñîáàìè,íàïðèìåð,íàïåðâîìøàãå ìîæíîâìåñòîòî÷åê A 1 , A 2 âçÿòüëþáóþïàðóðàçëè÷íûõòî÷åê A i , A j , íîñîãëàñíîàêñèîìå1ðåçóëüòàòîòïîðÿäêàâûáîðàòî÷åêíåçàâèñèò. Çàäà÷à1. Ñêîëüêîñóùåñòâóåòðàçëè÷íûõñïîñîáîâíàõîæäåíèÿ öåíòðàìàñññèñòåìûèç n òî÷åê? Íåçàâèñèìîñòüðåçóëüòàòàîòâûáðàííîãîïîðÿäêàâûïîëíåíèÿ óêàçàííûõîïåðàöèéâûãëÿäèòíåñòîëüóæèî÷åâèäíîé.Íàïðèìåð, ïðèíàõîæäåíèèòðåìÿâîçìîæíûìèñïîñîáàìèöåíòðàòÿæåñòèñè- ñòåìûèçòðåõòî÷åêðàâíîéìàññûïîëó÷àåòñÿ¾áåñïëàòíî¿èçâåñòíàÿ âñåìøêîëüíèêàìòåîðåìàîïåðåñå÷åíèèìåäèàíâòðåóãîëüíèêå (ñì.ðèñ.1,2).Äåéñòâèòåëüíî,öåíòðìàññëåæèòíàêàæäîéèçìåäè- àí,çíà÷èò,èíàèõïåðåñå÷åíèè,ïîýòîìóîíèïåðåñåêàþòñÿ,àïåðå- ñåêàòüñÿîíèìîãóòòîëüêîâîäíîéòî÷êå.Ýòàòî÷êàîäíàèçñàìûõ âàæíûõçàìå÷àòåëüíûõòî÷åêòðåóãîëüíèêà. Èñïîëüçóÿïîíÿòèåöåíòðàìàññ,ìîæíîëåãêîäîêàçàòüìíîãèå ãåîìåòðè÷åñêèåòåîðåìû.Íàïðèìåð,ïîìåñòèâââåðøèíûòðåóãîëü- íèêàìàññû,ðàâíûå2,èçàìåíÿÿêàæäóþèçíèõíàäâååäèíè÷íûå ìàññû,ñîñðåäîòî÷åííûåâòîéæåâåðøèíå,çàìåòèì,÷òîöåíòðìàññ ïîëó÷åííîéñèñòåìûèçøåñòèòî÷åêïî - ïðåæíåìóíàõîäèòñÿâòî÷êå ïåðåñå÷åíèÿìåäèàí.Çàìåíÿÿêàæäóþïàðóòî÷åê,ëåæàùèõâðàçíûõ âåðøèíàõ,íàòî÷êóñìàññîé2,ëåæàùóþâñåðåäèíåñòîðîíû,ñîåäè- íÿþùåéýòèâåðøèíû,ïîëó÷èìòðèòî÷êè,ëåæàùèåââåðøèíàõñðå- äèííîãîòðåóãîëüíèêà,îáðàçîâàííîãîñðåäíèìèëèíèÿìèèñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà(ñì.ðèñ.3).Ñîãëàñíîàêñèîìå2òî÷êàïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàíñðåäèííîãîòðåóãîëüíèêàñîâïàäàåòñòî÷êîéïåðåñå÷åíèÿ 2. Öåíòðûòÿæåñòèèâåêòîðíàÿàëãåáðà 5 Ðèñ.1. Öåíòðòðåõ òî÷å÷íûõìàññ Ðèñ.2. Ìåäèàíûòðåóãîëüíèêàèåãî öåíòðìàññ Ðèñ.3. Ñðåäèííûéòðåóãîëüíèê ìåäèàíèñõîäíîãîòðåóãîëüíèêà(ìîæíî,êîíå÷íî,åùåäîêàçàòü,÷òî ýòèäâàòðåóãîëüíèêàãîìîòåòè÷íûñêîýôôèöèåíòîìäâàîòíîñè- òåëüíîèõîáùåéòî÷êèïåðåñå÷åíèÿìåäèàí). 2.Öåíòðûòÿæåñòèèâåêòîðíàÿàëãåáðà Åñëèâûáðàòüíàïëîñêîñòèïðîèçâîëüíóþòî÷êó O èïðîâåñòè èçíååðàäèóñ - âåêòîðû v i âòî÷êè A i ,òîðàäèóñ - âåêòîð v = OA ,ãäå A  íàéäåííûéâûøåöåíòðìàñññèñòåìûòî÷åê A i ñìàññàìè m i ,âû÷èñ- ëÿåòñÿñëåäóþùèìîáðàçîì: v = 1 v 1 + ... + n v n , i = m i m , m = m 1 + ... + m n . 6 2. Öåíòðûòÿæåñòèèâåêòîðíàÿàëãåáðà Ðèñ.4. Âû÷èñëåíèåöåíòðàòÿæåñòè äâóõòî÷å÷íûõìàññèñëîæåíèåâåêòîðîâ Èçýòîéôîðìóëûâèäíî,÷òîâñëó÷àåðàâíûõìàññèõöåíòðòÿæåñòè íåçàâèñèòîòâåëè÷èíûìàññû.Äàëååäëÿêðàòêîñòèáóäåìíàçûâàòü åãî öåíòðîèäîì 3 . Ïðèâåäåííóþâûøåôîðìóëóëåãêîäîêàçàòü,åñëèâîñïîëüçîâàòü- ñÿñâîéñòâàìèâåêòîðîâ.Ñíà÷àëàäîêàæåìååäëÿ n = 2 (ò.å.âûâåäåì àêñèîìó2èçèçâåñòíûõñâîéñòââåêòîðîâ). Íàðèñ.4èçîáðàæåíûâåêòîðû v 1 = AB , v 2 = AC , m 1 v 1 = AB 1 , m 2 v 2 = AC 1 , ãäå m 1 = j AB 1 j j AB j , m 2 = j AC 1 j j AC j ñîãëàñíîîïðåäåëåíèþóìíîæåíèÿâåêòîðàíà÷èñëî,è m 1 v 1 + m 2 v 2 = AD 1 , ãäå AB 1 D 1 C 1 ïàðàëëåëîãðàììñîãëàñíîïðàâèëóñëîæåíèÿâåêòî- ðîâ.Ñîãëàñíîàêñèîìå2öåíòðòÿæåñòèäâóõìàññ m 1 è m 2 ,ðàñïî- ëîæåííûõâòî÷êàõ B , C ,íàõîäèòñÿâòàêîéòî÷êå D îòðåçêà BC ,÷òî CD : DB = m 1 : m 2 ,îòêóäàèìååì CD : CB = m 1 :( m 1 + m 2 ) ,çíà÷èò, âåêòîð CD ðàâåí m 1 m 1 + m 2 CB = m 1 m 1 + m 2 ( AB � AC ), 3 Íàïðèìåð,öåíòðîèäîìòðåóãîëüíèêàÿâëÿåòñÿòî÷êàïåðåñå÷åíèÿåãîìåäèàí. 2. Öåíòðûòÿæåñòèèâåêòîðíàÿàëãåáðà 7 ïîýòîìó AD = AC + CD = AC + m 1 m 1 + m 2 ( AB � AC ) = = m 1 m 1 + m 2 AB + m 2 m 1 + m 2 AC = m 1 m 1 + m 2 v 1 + m 2 m 1 + m 2 v 2 , ÷òîèäîêàçûâàåòôîðìóëóïðè n = 2 . Äëÿäîêàçàòåëüñòâàôîðìóëû v = 1 v 1 + ... + n v n , i = m i m , m = m 1 + ... + m n , âîáùåìñëó÷àåïðèìåíèìèíäóêöèþ.Áàçèñ( n = 2 )óæåäîêàçàí. Åãîìîæíîïðèìåíèòüèäëÿâûïîëíåíèÿøàãàèíäóêöèè.Ïîêàæåì, ÷òîíåçàâèñèìîîòïîðÿäêàâûïîëíåíèÿóêàçàííûõâûøåîïåðàöèé ïîëó÷èòñÿäàííàÿâûøåôîðìóëàäëÿöåíòðàìàññ.Áåçîãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòèìîæíîñ÷èòàòü,÷òîòî÷êè A 1 è A 2 çàìåíÿþòñÿâíà÷àëå òî÷êîé A 1,2 ìàññû M 1 = m 1 + m 2 ,ðàñïîëîæåííîéâèõöåíòðåòÿæåñòè. Ñîãëàñíîáàçèñóèíäóêöèèýòîòöåíòðòÿæåñòèíàõîäèòñÿâêîíöå ðàäèóñ-âåêòîðà V 1 = m 1 M 1 v 1 + m 2 M 1 v 2 . Äëÿíàõîæäåíèÿöåíòðàìàñññèñòåìûòî÷åê f A 1 , ... , A n g ñîãëàñíî àêñèîìå2íóæíîíàéòèöåíòðìàñññèñòåìûòî÷åê f A 1,2 , A 3 , ... , A n g . Ñîãëàñíîïðåäïîëîæåíèþèíäóêöèèîííàõîäèòñÿâêîíöåðàäèóñ- âåêòîðà 1 m ( V 1 M 1 + v 3 m 3 + ... + v n m n ). Íî 1 m V 1 M 1 = 1 m ( m 1 v 1 + m 2 v 2 ), çíà÷èò, 1 m ( V 1 M 1 + v 3 m 3 + ... + v n m n ) = 1 m ( m 1 v 1 + ... + m n v n ). Ñïîìîùüþäîêàçàííîéôîðìóëûöåíòðìàññëþáîéêîíå÷íîé ñèñòåìûòî÷åêìîæíîâû÷èñëèòü÷èñòîàëãåáðàè÷åñêè.Áîëååòîãî, óêàçàííóþôîðìóëóìîæíîâçÿòüâêà÷åñòâåîïðåäåëåíèÿöåíòðà ìàññèòîãäàóêàçàííûåâûøåàêñèîìûïðåâðàòÿòñÿâòåîðåìûýëå- ìåíòàðíîéãåîìåòðèè.Òî÷íåå,åñëèâûáðàòüíàïëîñêîñòèïðîèç- âîëüíóþòî÷êó O èïðîâåñòèèçíååðàäèóñ - âåêòîðû v i âòî÷êè A i , òîöåíòðìàññäàííîéñèñòåìûòî÷åêñìàññàìè m i îïðåäåëÿåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì v = OA ,ãäå v = 1 v 1 + ... + n v n , i = m i m , m = m 1 + ... + m n , 8 2. Öåíòðûòÿæåñòèèâåêòîðíàÿàëãåáðà èòî÷êà A ïðèýòîìíåçàâèñèòîòâûáîðàòî÷êè O (íà÷àëàêîîðäè- íàò).Äðóãîåîïðåäåëåíèåöåíòðàìàññäàííîéñèñòåìûòî÷åêòàêîâî: ýòîòàêàÿòî÷êà A ,äëÿêîòîðîéðàäèóñ - âåêòîðû V i ,íàïðàâëåííûå èçòî÷êè A âòî÷êó A i ,óäîâëåòâîðÿþòðàâåíñòâó m 1 v 1 + ... + m n v n = 0. Íîèçäåñüíàäîäîêàçûâàòüñóùåñòâîâàíèåèåäèíñòâåííîñòüòàêîé òî÷êè. Äîêàçàòåëüñòâààêñèîì03óäîáíîïðîâîäèòü,ïîëüçóÿñüíåîáû÷- íîéåâêëèäîâîéàêñèîìàòèêîéãåîìåòðèè 4 ,àâåêòîðíîéàêñèîìà- òèêîé,âêîòîðîéâñåïîíÿòèÿãåîìåòðèèôîðìóëèðóþòñÿíàÿçûêå âåêòîðîâèîïåðàöèéíàäíèìè 5 . Çàäà÷à2. Äîêàæèòåðàâíîñèëüíîñòüîáîèõîïðåäåëåíèé Óêàçàíèå. Èñïîëüçóéòåâåêòîðíóþàëãåáðó. Ïðèìåíÿÿâòîðîåèçïðèâåäåííûõâûøåîïðåäåëåíèéöåíòðàìàññ, ìîæíîäîêàçàòüàêñèîìó2ïðîùå,÷åìñäåëàíîâûøå. Íîâåðíîèîáðàòíîå,ò.å.èçóêàçàííûõàêñèîìäëÿïîíÿòèÿ öåíòðàìàññìîæíîâûâåñòèâñåòåîðåìûãåîìåòðèè,âêîòîðûõíåèñ- ïîëüçóþòñÿìåòðè÷åñêèåïîíÿòèÿ:ðàññòîÿíèåìåæäóòî÷êàìèèâå- ëè÷èíàóãëàìåæäóïðÿìûìè 6 . Íàïðèìåð,ñî÷åòàòåëüíûéçàêîíñëîæåíèÿòðåõâåêòîðîâìîæíî âûâåñòèèçòåîðåìûîòî÷êåïåðåñå÷åíèÿìåäèàíâòðåóãîëüíèêå,êîòî- ðàÿâûòåêàåòèçòåîðåìûîöåíòðåòÿæåñòèòðåõòî÷åêñðàâíûìèìàñ- ñàìè.Íàÿçûêåöåíòðîâòÿæåñòèìîæíîîïðåäåëèòüïîíÿòèåîòðåçêà ìåæäóäâóìÿòî÷êàìè:ýòîïðîñòîìíîæåñòâîâñåõïîçèöèé,êîòîðûå ìîæåòçàíèìàòüöåíòðòÿæåñòèñèñòåìûèçýòèõäâóõòî÷åêïðèâñåõ âîçìîæíûõçíà÷åíèÿõìàññýòèõòî÷åê.Åñëè n òî÷åêëåæàòíàîäíîé ïðÿìîé,òîìíîæåñòâîâñåõïîçèöèé,êîòîðûåìîæåòçàíèìàòüöåíòð òÿæåñòèñèñòåìûèçýòèõòî÷åêïðèâñåõâîçìîæíûõçíà÷åíèÿõìàññ, òàêæåîáðàçóåòîòðåçîê(âåðíî,êîíå÷íî,èîáðàòíîåóòâåðæäåíèå). Åñëèìàññûýòèõòî÷åêðàâíû,àñàìèòî÷êèðàñïðåäåëåíûíàýòîìîò- 4 Ñòðîãîãîâîðÿ,ñàìÅâêëèäíåîñòàâèëáåçóïðå÷íîéàêñèîìàòèêè,èçàíåãîðàáîòó ïîäîâåäåíèþàêñèîìàòèêèãåîìåòðèèäîñîâðåìåííûõñòàíäàðòîâñòðîãîñòèïðîäå- ëàëçíàìåíèòûéíåìåöêèéìàòåìàòèêÄàâèäÃèëüáåðòâñâîåéêíèãå¾Îñíîâàíèÿ ãåîìåòðèè¿. 5 Ýòóàêñèîìàòèêóïðåäëîæèëó÷åíèêÃèëüáåðòà,íåìåöêèéìàòåìàòèêÃåðìàí Âåéëü. 6 Ýòîòôðàãìåíòãåîìåòðèè,âêîòîðîìíåèñïîëüçóþòñÿìåòðè÷åñêèåïîíÿòèÿ, íàçûâàåòñÿàôôèííîéãåîìåòðèåé. 2. Öåíòðûòÿæåñòèèâåêòîðíàÿàëãåáðà 9 ðåçêåðàâíîìåðíî,ò.å.ðàññòîÿíèÿìåæäóñîñåäíèìèòî÷êàìèðàâíû, òîöåíòðòÿæåñòèëåæèòòî÷íîâñåðåäèíåýòîãîîòðåçêà.Åñëèíåâñå èç n òî÷åêëåæàòíàîäíîéïðÿìîé,òîìíîæåñòâîâñåâîçìîæíûõïîëî- æåíèéöåíòðàìàññýòîéñèñòåìûòî÷åêîáðàçóåòâûïóêëûé m - óãîëü- íèê,êîòîðûéñîâïàäàåòñâûïóêëîéîáîëî÷êîéäàííîéñèñòåìûòî- ÷åê 7 .Â÷àñòíîñòè,åñëèäàííûå n òî÷åêëåæàòââåðøèíàõâûïóê- ëîãî n - óãîëüíèêà,òîåãîâûïóêëàÿîáîëî÷êàñíèìñîâïàäàåò 8 .Ïðè n = 3 ïîëó÷àåòñÿîïðåäåëåíèåòðåóãîëüíèêàíàÿçûêåöåíòðîâìàññ. Áàðèöåíòðè÷åñêèåêîîðäèíàòû Ïðîèçâîëüíóþòî÷êóâíóòðèòðåóãîëüíèêàìîæíîðàññìàòðèâàòü êàêöåíòðïîäõîäÿùèìîáðàçîìïîäîáðàííûõìàññ m i , i = 1,2,3 ,ïî- ìåùåííûõâåãîâåðøèíû.Íàáîð÷èñåë ( m 1 : m 2 : m 3 ) ,î÷åâèäíî,îäíî- çíà÷íîîïðåäåëÿåòñîîòâåòñòâóþùèéöåíòðìàññ(ñîãëàñíîäîêàçàí- íîéâûøåôîðìóëåíàâåêòîðíîìÿçûêåîíçàäàåòñÿðàäèóñ-âåêòîðîì 1 v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 , ãäå i = m i = m , m = m 1 + m 2 + m 3 , v i ðàäèóñ - âåê- òîðûâåðøèíòðåóãîëüíèêà).Ýòîòíàáîðíàçûâàåòñÿ áàðèöåíòðè÷å- ñêèìèêîîðäèíàòàìè òî÷êè.Îíè,î÷åâèäíî,îïðåäåëåíûíåîäíî- çíà÷íî,àñòî÷íîñòüþäîóìíîæåíèÿíàïðîèçâîëüíóþêîíñòàíòó 9 . Ýòîñâîéñòâîáàðèöåíòðè÷åñêèõêîîðäèíàòíàçûâàåòñÿ îäíîðîäíî- ñòüþ 10 ,èâîìíîãèõñëó÷àÿõîíîîêàçûâàåòñÿî÷åíüóäîáíûì.Äëÿ òîãî÷òîáûîïðåäåëèòüêîîðäèíàòûòî÷åêíàãðàíèöåòðåóãîëüíèêà, óäîáíîââåñòèïîíÿòèåíóëåâîéìàññû.Òîãäà,íàïðèìåð,êîîðäèíàòà- ìèâåðøèíòðåóãîëüíèêàáóäóò (1:0:0),(0:1:0),(0:0:1) ,àêîîðäè- íàòûòî÷êè,äåëÿùåéñòîðîíó,ñîåäèíÿþùóþïåðâóþâåðøèíóñîâòî- ðîé,âîòíîøåíèè a : b (ñ÷èòàÿîòïåðâîéâåðøèíû),áóäóò ( b : a :0) . Çàäà÷à3. Äîêàæèòå,÷òîáàðèöåíòðè÷åñêèåêîîðäèíàòûòî÷êè ïåðåñå÷åíèÿìåäèàíðàâíû (1:1:1) . Áàðèöåíòðè÷åñêèåêîîðäèíàòûìîæíîñäåëàòüîäíîçíà÷íîîïðå- äåëåííûìè,åñëèíàëîæèòüíàíèõäîïîëíèòåëüíîåóñëîâèå m 1 + m 2 + + m 3 = 1 .Òàêèåêîîðäèíàòûèíîãäàíàçûâàþò àðåàëüíûìè 11 .Ïðè- 7 Òå,êòîåùåíåñëûøàë,÷òîòàêîåâûïóêëàÿîáîëî÷êà,ìîãóòñ÷èòàòüïðèâåäåííîå ïðåäëîæåíèåîïðåäåëåíèåìýòîãîïîíÿòèÿ. 8 Òåìñàìûìïîÿâëÿåòñÿîïðåäåëåíèåâûïóêëîãî n - óãîëüíèêàíàÿçûêåöåíòðîâìàññ . 9 Ïðèóìíîæåíèèìàññíàîäíîèòîæå÷èñëîïîëîæåíèåöåíòðàìàññíåìåíÿåòñÿ. 10 Èìåííîèç - çàíåãîâîïðåäåëåíèèáàðèöåíòðè÷åñêèõêîîðäèíàòâìåñòîçàïÿòûõ ñòîÿòäâîåòî÷èÿ. 11 Îòñëîâàareaïëîùàäü. 10 2. Öåíòðûòÿæåñòèèâåêòîðíàÿàëãåáðà ÷èíàíàçâàíèÿïðîñòà:åñëèòðåóãîëüíèêèìååòïëîùàäüåäèíèöà èòî÷êàâíóòðèíåãîèìååòàðåàëüíûåêîîðäèíàòû ( 1 , 2 , 3 ) ,òî ïëîùàäèòðåõòðåóãîëüíèêîâ,íàêîòîðûåîíðàçáèâàåòñÿîòðåçêàìè, ñîåäèíÿþùèìèýòóòî÷êóñâåðøèíàìè,âòî÷íîñòèðàâíû 1 , 2 , 3 ( i ïëîùàäüòðåóãîëüíèêà,ïðîòèâîïîëîæíîãîâåðøèíåñìàññîé m i ,àñóììàâñåõ i ðàâíàåäèíèöå). Çàäà÷à4. Äîêàæèòåýòîñâîéñòâîàðåàëüíûõêîîðäèíàò. Óêàçàíèå. Äëÿäîêàçàòåëüñòâàäîñòàòî÷íîïîñìîòðåòüíàðèñ.1, íàêîòîðîìáàðèöåíòðè÷åñêèåêîîðäèíàòûòî÷êèâíóòðèòðåóãîëüíè- êàåñòü (1:2:3) ,ààðåàëüíûå (1 = 6,1 = 3,1 = 2) .Ïðÿìûå,ïðîõîäÿùèå ÷åðåçýòóòî÷êó,äåëÿòñÿåéèòðåóãîëüíèêîìâîòíîøåíèÿõ 6:1 , 3:1 , 2:1 (ñîãëàñíîïðàâèëóâû÷èñëåíèÿöåíòðàìàññ),âûñîòûáîëüøîãî òðåóãîëüíèêàèâûñîòûìàëûõòðåóãîëüíèêîâ,îïóùåííûåíàòóæå ñàìóþñòîðîíó,òàêæåîòíîñÿòñÿäðóãêäðóãóêàê 6:1 , 3:1 , 2:1 ñîîò- âåòñòâåííî,èèçýòîãîâûòåêàåòíóæíîåíàìîòíîøåíèåïëîùàäåé. Çàäà÷à5. Äîêàæèòå,÷òîáàðèöåíòðè÷åñêèåêîîðäèíàòûòî÷êè ïåðåñå÷åíèÿáèññåêòðèñòðåóãîëüíèêàñîñòîðîíàìè a , b , c ðàâíû ( a : b : c ) . Óêàçàíèå. Òî÷êàïåðåñå÷åíèÿáèññåêòðèñÿâëÿåòñÿöåíòðîìâïè- ñàííîéîêðóæíîñòè.Îíàðàçáèâàåòäàííûéòðåóãîëüíèêíàòðèòðå- óãîëüíèêà.Èõâûñîòû,îïóùåííûåèçöåíòðàîêðóæíîñòèíàñòîðîíû äàííîãîòðåóãîëüíèêà,ðàâíû.Ïîýòîìóîòíîøåíèåïëîùàäåéýòèõ òðåõòðåóãîëüíèêîâðàâíî a : b : c . Áàðèöåíòðè÷åñêèå(èàðåàëüíûå)êîîðäèíàòûìîæíîïðèïèñàòü (åñëèõî÷åòñÿ)èëþáîéòî÷êåïëîñêîñòèâíåòðåóãîëüíèêà,åñëèäëÿ èõîïðåäåëåíèÿèñïîëüçîâàòüîòðèöàòåëüíûåìàññû 12 . Áàðèöåíòðè÷åñêèåêîîðäèíàòûìîæíîââåñòèàíàëîãè÷íûìîá- ðàçîìâòðåõìåðíîì(èäàæåïðîèçâîëüíîì n -ìåðíîì)ïðîñòðàíñòâå, íîýòîäàëååíåïîíàäîáèòñÿ. Îáàðèöåíòðè÷åñêèõêîîðäèíàòàõ(îòêðûòûõíåìåöêèììàòåìà- òèêîìÀ.Ô.̼áèóñîì)ìîæíîíàïèñàòüöåëóþêíèãó(ñàì̼áèóñ èíàïèñàë).Èìïîñâÿùåíàçíà÷èòåëüíàÿ÷àñòüêíèãè[3].Âíåéîïè- ñàíû,â÷àñòíîñòè,ïðèìåíåíèÿýòèõêîîðäèíàòâõèìèèèìåòàë- ëóðãèè(äëÿîïèñàíèÿñìåñåé,ñïëàâîâèðàñòâîðîâ),êîëîðèìåòðèè 12 Ñôèçè÷åñêîéòî÷êèçðåíèÿîòðèöàòåëüíûåìàññûáåññìûñëåííû,íîçäåñüîíè èñïîëüçóåòñÿ÷èñòîôîðìàëüíî. 3. Öåíòðîèä÷åòûðåõóãîëüíèêàèïàðàëëåëîãðàììÂàðèíüîíà 11 (äëÿçàäàíèÿïðîèçâîëüíîãîöâåòàèñïîëüçóþòòàêíàçûâàåìûåRGB- êîîðäèíàòû) 13 ,ïîïóëÿöèîííîéãåíåòèêå(èíòåðïðåòàöèÿçàêîíàÕàð- äèÂåéíáåðãà)è,åñòåñòâåííî,âìàòåìàòèêå(ïîäðàçäåëåíèÿïîëè- ýäðîââòîïîëîãèè,èíòåðïîëÿöèÿôóíêöèéìíîãèõïåðåìåííûõ). 3.Öåíòðîèä÷åòûðåõóãîëüíèêà èïàðàëëåëîãðàììÂàðèíüîíà Äëÿòîãî÷òîáûíàéòèöåíòðòÿæåñòè÷åòûðåõðàâíûõìàññ,ìîæ- íîïðèìåíèòüñëåäóþùèéïðèåì.Ðàçáèâàåìýòèìàññûïðîèçâîëü- íûìîáðàçîìíàäâåïàðû,çàìåíÿåìêàæäóþïàðóòî÷êîéóäâîåííîé ìàññû,ðàñïîëîæåííîéòî÷íîïîñåðåäèíåìåæäóòî÷êàìèýòîéïàðû, òîãäàçàäà÷àñâåäåòñÿêíàõîæäåíèþöåíòðàìàñññèñòåìûèçäâóõ ïîñòðîåííûõòî÷åê.Òàêêàêèõìàññûðàâíû,èñêîìûéöåíòðíàõîäèò- ñÿðîâíîïîñåðåäèíåìåæäóïîñòðîåííûìèñåðåäèíàìè.Óêàçàííîå ïîñòðîåíèåðàáîòàåòâñåãäà,âòîì÷èñëåèêîãäàîäíàèëèíåñêîëüêî òî÷åêñîâïàäàþò.Âýòîìñëó÷àåçàäà÷óìîæíîðàññìàòðèâàòüêàêíà- õîæäåíèåöåíòðàòÿæåñòèòðåõèëèäâóõòî÷åêóæåñíåîáÿçàòåëüíî ðàâíûìèìàññàìè,íîýòóçàäà÷óòàêæåìîæíîðåøèòüóêàçàííûì âûøåñïîñîáîì. Åñëèâñå÷åòûðåòî÷êèðàçëè÷íû,òîîíèîáðàçóþò÷åòûðåõóãîëü- íèê:÷åòûðåèçøåñòèïàðòî÷åêîáðàçóþòåãîñòîðîíû,àäâåäèà- ãîíàëè 14 .Îòðåçêè,ñîåäèíÿþùèåñåðåäèíûåãîïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí,èíîãäàíàçûâàþò áèìåäèàíàìè .Êäâóìáèìåäèàíàììîæíî äîáàâèòüîòðåçîê,ñîåäèíÿþùèéöåíòðûäèàãîíàëåé.Òîãäàèçïðèâå- äåííîãîâûøåðàññóæäåíèÿâûòåêàåò,÷òîâñåòðèóêàçàííûõîòðåç- êà(äâåáèìåäèàíûèîòðåçîê,ñîåäèíÿþùèéñåðåäèíûäèàãîíàëåé) ïåðåñåêàþòñÿâîäíîéòî÷êåöåíòðåòÿæåñòèðàâíûõìàññ,ðàñïî- ëîæåííûõââåðøèíàõ÷åòûðåõóãîëüíèêà,èýòàòî÷êàñëóæèòèõîá- ùèìöåíòðîì.×åòûðåõóãîëüíèê,îáðàçîâàííûéñåðåäèíàìèñòîðîí äàííîãî÷åòûðåõóãîëüíèêà,èìååòóêàçàííûåáèìåäèàíûâêà÷åñòâå äèàãîíàëåé.Îòñþäàñëåäóåò,÷òîýòîòñðåäèííûé÷åòûðåõóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿïàðàëëåëîãðàììîì(ñì.ðèñ.5).Îííàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëî- 13 Ëþáîéöâåòåñòüðåçóëüòàòñìåøåíèÿâîïðåäåëåííîéïðîïîðöèèòðåõöâåòîâ, íà÷òîóêàçûâàëåùåÌ.Â.Ëîìîíîñîâ. 14 Ôîðìàëüíîãîâîðÿ,òàêèõ÷åòûðåõóãîëüíèêîâáóäåòíåñêîëüêî,íîìûâûáåðåì èçíèõíåñàìîïåðåñåêàþùèéñÿ,îíîïðåäåëåíîäíîçíà÷íî,íîíåîáÿçàíáûòüâûïóê- ëûìèìîæåòâûðîæäàòüñÿâòðåóãîëüíèêâòîìñìûñëå,÷òîäâåñîñåäíèåñòîðîíû ìîãóòëåæàòüíàîäíîéïðÿìîé. 12 3. Öåíòðîèä÷åòûðåõóãîëüíèêàèïàðàëëåëîãðàììÂàðèíüîíà Ðèñ.5. ÏàðàëëåëîãðàììÂàðèíüîíà èöåíòð÷åòûðåõðàâíûõìàññ ãðàììîìÂàðèíüîíà â÷åñòüôðàíöóçñêîãîìàòåìàòèêàèìåõàíèêà XVIIâåêà.Èçñêàçàííîãîâûøåñëåäóåò,÷òîñåðåäèíàîòðåçêà,ñîåäè- íÿþùåãîñåðåäèíûäèàãîíàëåé,ñîâïàäàåòñöåíòðîìïàðàëëåëîãðàì- ìàÂàðèíüîíà. Çàäà÷à6. Äîêàæèòå,÷òîñòîðîíûïàðàëëåëîãðàììàÂàðèíüîíà ïàðàëëåëüíûäèàãîíàëÿìäàííîãî÷åòûðåõóãîëüíèêàèðàâíûèõïî- ëîâèíàì. Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòåòåîðåìóîñðåäíåéëèíèèòðåóãîëüíèêà. Çàäà÷à7. Äîêàæèòå,÷òîïëîùàäü÷åòûðåõóãîëüíèêàâäâîåáîëü- øåïëîùàäèåãîïàðàëëåëîãðàììàÂàðèíüîíà. Óêàçàíèå. Òðåóãîëüíèêè,îòñåêàåìûåîò÷åòûðåõóãîëüíèêàåãî ïàðàëëåëîãðàììîìÂàðèíüîíà,ïîäîáíûñêîýôôèöèåíòîìïîäîáèÿ k = 2 òðåóãîëüíèêàì,îòñåêàåìûìîòíåãîäèàãîíàëÿìè.Âñëó÷àå íåâûïóêëîãî÷åòûðåõóãîëüíèêàñëåäóåòèñïîëüçîâàòüíåòîëüêîñëî- æåíèå,íîèâû÷èòàíèåïëîùàäåé. Çàäà÷à8. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðòÿæåñòèâåðøèí÷åòûðåõóãîëü- íèêà(öåíòðåãîïàðàëëåëîãðàììàÂàðèíüîíà)ñîâïàäàåòñòî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿäèàãîíàëåéòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàäàííûé÷åòû- ðåõóãîëüíèêïàðàëëåëîãðàìì. Óêàçàíèå. ÖåíòðïàðàëëåëîãðàììàÂàðèíüîíàñîâïàäàåòññåðå- äèíîéîòðåçêà,ñîåäèíÿþùåãîöåíòðûäèàãîíàëåé.Åñëèäèàãîíàëè 4. Êàêíàéòèöåíòðûòÿæåñòèòðåóãîëüíèêàèìíîãîóãîëüíèêîâ 13 âòî÷êåïåðåñå÷åíèÿíåäåëÿòñÿîáåïîïîëàì,òîóêàçàííàÿñåðåäèíà íåñîâïàäàåòñòî÷êîéïåðåñå÷åíèÿäèàãîíàëåé,àåñëèîáåäåëÿòñÿ ïîïîëàì,òîóêàçàííàÿñåðåäèíàâûðîæäàåòñÿâèõòî÷êóïåðåñå÷å- íèÿ.×åòûðåõóãîëüíèê,óêîòîðîãîîáåäèàãîíàëèäåëÿòñÿòî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿïîïîëàì,ÿâëÿåòñÿïàðàëëåëîãðàììîì. 4.Êàêíàéòèöåíòðûòÿæåñòèòðåóãîëüíèêà èìíîãîóãîëüíèêîâ Âîçâðàùàÿñüêïîíÿòèþöåíòðàìàññ,ðàññìîòðèìâîïðîñ,êàê íàõîäèòüöåíòðûìàññáåñêîíå÷íûõñèñòåìòî÷åê.Íàïðèìåð,êàê íàéòèöåíòðìàññîòðåçêàäàííîéìàññû m ?Åñëèðàçáèòüåãî n òî÷- êàìèíàðàâíûåîòðåçêèèâêàæäóþïîìåñòèòüìàññó m = n ,òîöåíòð ìàññòàêîéñèñòåìûíàõîäèòñÿâöåíòðåîòðåçêàíåçàâèñèìîîò n . Åñòåñòâåííîïðåäïîëîæèòü,÷òîöåíòðîòðåçêàñðàâíîìåðíîðàñïðå- äåëåííîéïîíåìóìàññîé m òàêæåíàõîäèòñÿâåãîöåíòðå.Ìûïðè- ìåìýòîòôàêòçààêñèîìó.Âîòëè÷èåîòàêñèîì,êàñàþùèõñÿêîíå÷- íûõñèñòåìòî÷åê,äîêàçàòüýòîóòâåðæäåíèåâðàìêàõýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèèçàòðóäíèòåëüíî,õîòÿáûïîòîìó,÷òîíåÿñíî,êàêòî÷íî îïðåäåëèòüïîíÿòèåðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåííîéìàññû.Ïîïûòêà äàòüòàêîåîïðåäåëåíèåïðèâîäèòêïàðàäîêñàì,ñâÿçàííûìñòåì, ÷òîíåÿñíî,êàêâýòîìñëó÷àåîïðåäåëèòüìàññóïðîèçâîëüíîéòî÷- êèîòðåçêà:åñëèîíàâñåãäàáîëüøåíóëÿ,òîîòðåçîêäîëæåíèìåòü áåñêîíå÷íóþìàññó,àåñëèîíàâñåãäàðàâíàíóëþ,òîèìàññàîòðåç- êàíóëü.Âûõîäèçýòèõïàðàäîêñîâäàåòòåîðèÿïðåäåëîââðàìêàõ äèôôåðåíöèàëüíîãîèèíòåãðàëüíîãîèñ÷èñëåíèÿ.Âèíòåãðàëüíîì èñ÷èñëåíèèäàåòñÿîïðåäåëåíèåöåíòðàòÿæåñòèäîñòàòî÷íîïðîèç- âîëüíûõôèãóðèòåëñäîñòàòî÷íîïðîèçâîëüíûì,àíåòîëüêîðàâíî- ìåðíûìðàñïðåäåëåíèåììàññâíèõ,èâýòîìîïðåäåëåíèèèñïîëü- çóåòñÿèíòåãðàë.Äàëååìûáóäåìðàññìàòðèâàòüòîëüêîïðîñòåéøèå ôèãóðûèòåëà,íàïðèìåðìíîãîóãîëüíèêè,èòîëüêîðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåìàññ. Äëÿòîãî÷òîáûíàéòèöåíòðòÿæåñòèòðåóãîëüíèêà,ìîæíîåãî ïðåäñòàâèòüñîñòîÿùèìèçïîïàðíîíåïåðåñåêàþùèõñÿîòðåçêîâ,ïà- ðàëëåëüíûõîäíîéèçñòîðîí.Çàìåíÿÿêàæäûéèçýòèõîòðåçêîâíà òî÷êóñòîéæåìàññîé(ìîæíîñ÷èòàòü,íàïðèìåð,÷òîìàññàîòðåçêà ðàâíàåãîäëèíå),ñâîäèìçàäà÷óêíàõîæäåíèþöåíòðàìàñññèñòå- ìûòî÷åê,ëåæàùèõíàîòðåçêå(èñïîëüçóåìïðèýòîìñîîòâåòñòâóþ- ùååîáîáùåíèåàêñèîìû2).Êàêîòìå÷àëîñüâûøå,ýòîòöåíòðìàññ 14 4. Êàêíàéòèöåíòðûòÿæåñòèòðåóãîëüíèêàèìíîãîóãîëüíèêîâ ëåæèò íàýòîìîòðåçêåìåäèàíåòðåóãîëüíèêà 15 .Íàéòèåãîñðàçó çàòðóäíèòåëüíî,íîýòîèíåíóæíîâåäüòàêîåæåðàññóæäåíèå ïîêàçûâàåò,÷òîîíëåæèòèíàäâóõäðóãèõìåäèàíàõòîæå,àçíà÷èò, ñîâïàäàåòñèõòî÷êîéïåðåñå÷åíèÿ 16 (ñì.ðèñ.2). Àíàëîãè÷íîäîêàçûâàåòñÿ,÷òîöåíòðìàññòðàïåöèèñðàâíîìåð- íîðàñïðåäåëåííîéìàññîéëåæèòíàîòðåçêå,ñîåäèíÿþùåìñåðåäè- íûïàðàëëåëüíûõñòîðîíòðàïåöèè.Êàêåãîíàéòèòî÷íî,óêàæåì ÷óòüïîçäíåå. Ïîñëåòîãîêàêíàéäåíöåíòðòÿæåñòèòðåóãîëüíèêà,ìîæíîíàé- òèèöåíòðòÿæåñòèïðîèçâîëüíîãî(íåîáÿçàòåëüíîâûïóêëîãî)ìíî- ãîóãîëüíèêà.Äëÿýòîãîåãîäîñòàòî÷íîïðîèçâîëüíûìîáðàçîìðàçðå- çàòüíàòðåóãîëüíèêè.Ïðîùåâñåãîýòîñäåëàòü,òîëüêîïðîâîäÿäèà- ãîíàëèâìíîãîóãîëüíèêå,íåäîïóñêàÿèõñàìîïåðåñå÷åíèéâòî÷êàõ, îòëè÷íûõîòåãîâåðøèí,äîòåõïîðïîêàýòîâîçìîæíî.Âðåçóëü- òàòåïîëó÷èòñÿðàçáèåíèå n - óãîëüíèêàíà n � 2 òðåóãîëüíèêà.Òàêàÿ îïåðàöèÿíàçûâàåòñÿ òðèàíãóëÿöèåé . Ðèñ.6. Òðèàíãóëÿöèÿøåñòèóãîëüíèêà Çàäà÷à9. Äîêàæèòå,÷òîïðèëþáîéîïèñàííîéâûøåòðèàíãóëÿ- öèèïîëó÷èòñÿ n � 2 òðåóãîëüíèêà. Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòåñóììóóãëîâòðåóãîëüíèêîâèñðàâíèòååå ññóììîéóãëîâ n -óãîëüíèêà. Çàäà÷à10 (òðóäíàÿêîìáèíàòîðíàÿ). Åñëè n - óãîëüíèêâûïóêëûé, ñêîëüêîðàçëè÷íûõòàêèõòðèàíãóëÿöèéîíèìååò? 15 Ñòðîãîãîâîðÿ,âûøåýòîóòâåðæäàëîñüäëÿêîíå÷íûõñèñòåìòî÷åê,àçäåñüñèñòå- ìàáåñêîíå÷íàÿ,äàèìàññûðàçíûå,ò.å.ôàêòè÷åñêèïîëó÷èëàñüçàäà÷àîíàõîæäåíèè öåíòðàòÿæåñòèîòðåçêàñíåðàâíîìåðíûìðàñïðåäåëåíèåììàññ(ïëîòíîñòüðàñïðåäå- ëåíèÿ,îäíàêî,î÷åíüïðîñòàÿçàäàåòñÿëèíåéíîéôóíêöèåéîòêîîðäèíàòûòî÷êè). 16 Èíòåðåñíî,÷òîòàêîåðàññóæäåíèå,âîñõîäÿùååêÀðõèìåäó,íåòðåáóåòíèêàêèõ âû÷èñëåíèé,àïðèìåíåíèåôîðìóëäëÿöåíòðàìàññèçèíòåãðàëüíîãîèñ÷èñëåíèÿ ïðèâîäèòêíåñëîæíîìó,íîâñåæåäâîéíîìóèíòåãðàëó. 4. Êàêíàéòèöåíòðûòÿæåñòèòðåóãîëüíèêàèìíîãîóãîëüíèêîâ 15 Óêàçàíèå. Îòâåòîìêýòîéçàäà÷å,âïåðâûåðåøåííîéÝéëåðîì, ÿâëÿåòñÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü÷èñåë,ñåé÷àñíàçûâàþùèõñÿ÷èñëàìè Êàòàëàíà(îíèõñì.,íàïðèìåð,[9]). Âîçüìåìëþáóþòðèàíãóëÿöèþìíîãîóãîëüíèêà(íåîáÿçàòåëüíî ðàññìîòðåííóþâûøåýéëåðîâó),çàìåíèìêàæäûéòðåóãîëüíèêòî÷- êîé,ðàñïîëîæåííîéâòî÷êåïåðåñå÷åíèÿåãîìåäèàí,ñìàññîé,ðàâ- íîéåãîïëîùàäè,èïîòîìíàéäåìöåíòðòÿæåñòèïîñòðîåííûõìàññ óêàçàííûìâûøåñïîñîáîì(ñïîìîùüþâåêòîðíîéôîðìóëû).Ñî- ãëàñíîïðèíÿòûìâûøåàêñèîìàìïîëó÷åííàÿòî÷êàèáóäåòöåíòðîì ìàññäàííîãîìíîãîóãîëüíèêà.Ïðèìåíÿÿðàçëè÷íûåòðèàíãóëÿöèè, ìûâñåãäàïîëó÷èìîäèíèòîòæåðåçóëüòàò. Äëÿòîãî÷òîáûíàéòèöåíòðìàññïðîèçâîëüíîé,íîäîñòàòî÷íî ¾õîðîøåé¿ïëîñêîéôèãóðûñðàâíîìåðíîéðàñïðåäåëåííîéìàññîé, äîñòàòî÷íîâïèñàòüâýòóôèãóðó n - óãîëüíèê,íàéòèåãîöåíòðìàññ èâûïîëíèòüïåðåõîäêïðåäåëóïðè n ,ñòðåìÿùåìñÿêáåñêîíå÷íîñòè. Ïîäõîðîøåéôèãóðîéçäåñüïîíèìàåòñÿëþáàÿôèãóðà,äëÿêîòî- ðîéóïîìÿíóòûéïðåäåëüíûéïåðåõîäìîæíîñòðîãîîáîñíîâàòü.Ìû íåáóäåìóãëóáëÿòüñÿâýòèâîïðîñû,ñêàæåìòîëüêî,÷òîõîðîøèìè ôèãóðàìèçàâåäîìîÿâëÿþòñÿâñåôèãóðû,èçó÷àåìûåâýëåìåíòàð- íîéãåîìåòðèè,ò.å.ôèãóðû,îãðàíè÷åííûåîòðåçêàìèïðÿìûõè/èëè äóãàìèîêðóæíîñòåé,àïðèäóìàòü¾íåõîðîøóþ¿ôèãóðóíàñàìîìäå- ëåòðóäíàÿçàäà÷à.Óêàçàííûéìåòîäâû÷èñëåíèÿöåíòðîâìàññïðèäó- ìàëÀðõèìåä.Îíóìåëïðèìåíÿòüåãîäàæåäëÿíåñîâñåìýëåìåíòàð- íûõôèãóð,íàïðèìåðäëÿñåãìåíòîâïàðàáîëû.×èòàòåëü,çíàêîìûé ñòåîðèåéïðåäåëîâ,ìîæåòñàìîñòîÿòåëüíîïîïðîáîâàòüïîâòîðèòü ðåçóëüòàòûÀðõèìåäà,íàïðèìåðíàéòèöåíòðòÿæåñòèñåêòîðàêðóãà ñäàííûìóãëîìèëèñîîòâåòñòâóþùåãîñåãìåíòà. Äëÿóïðîùåíèÿíàõîæäåíèÿöåíòðîâìàññïðîèçâîëüíûõôèãóð ïîëåçíîèñïîëüçîâàòüäâàñâîéñòâà,êîòîðûåìîæíîïðèíÿòüçààê- ñèîìû. Àêñèîìà4. Åñëèñèñòåìàìàòåðèàëüíûõòî÷åêèìååòîñüñèììåò- ðèè(ò.å.ïðÿìóþ,ïðèçåðêàëüíîìîòðàæåíèèîòêîòîðîéñèñòåìà òî÷åêïåðåõîäèòâñàìàâñåáÿ),òîååöåíòðìàññëåæèòíàýòîéîñè. Àêñèîìà5. Åñëèñèñòåìàìàòåðèàëüíûõòî÷åêèìååòöåíòð âðàùåíèÿ(ò.å.òî÷êó,ïðèïîâîðîòåâîêðóãêîòîðîéíàóãîë,ìåíü- øèé360ãðàäóñîâ,ñèñòåìàïåðåõîäèòâñåáÿ),òîååöåíòðìàññ ñîâïàäàåòñöåíòðîìâðàùåíèÿ.Â÷àñòíîñòè,åñëèñèñòåìàòî÷åê èìååòöåíòðñèììåòðèè,òîöåíòðìàñññíèìñîâïàäàåò. 16 5. Öåíòðòÿæåñòèïåðèìåòðàòðåóãîëüíèêà Ýòèñâîéñòâàâñëó÷àåêîíå÷íîéñèñòåìûòî÷åêëåãêîâûòåêàþò èçàêñèîìû0èäîêàçàííîéâûøåâåêòîðíîéôîðìóëûäëÿöåíòðà ìàññ.Äåéñòâèòåëüíî,ïðèçåðêàëüíîìîòðàæåíèèèëèïîâîðîòåñè- ñòåìàïåðåõîäèòâñåáÿèïîýòîìóååöåíòðìàññîñòàåòñÿíàìåñòå. Åñëèæåïðåäïîëîæèòü,÷òîàêñèîìû45íåâåðíû,èâîñïîëüçîâàòüñÿ óïîìÿíóòîéôîðìóëîé(èòåîðåìàìèýëåìåíòàðíîéãåîìåòðèè),òî öåíòðìàññïðèóêàçàííîìäâèæåíèèïåðåìåùàåòñÿâäðóãóþòî÷êó, ÷òîíåâîçìîæíî. Îäíàêîäëÿáåñêîíå÷íûõñèñòåìòî÷åêâñåíåòàêïðîñòî,õîòÿáû ïîòîìó,÷òîòàêàÿñèñòåìàìîæåòâîîáùåíåèìåòüöåíòðàìàññ(êàê, íàïðèìåð,ïðÿìàÿ,ïîòîìó÷òîîíàáåñêîíå÷íàâîáåñòîðîíû,èëè ëó÷,ïîòîìó÷òîîíáåñêîíå÷åíâîäíóñòîðîíó),ïîýòîìóóêàçàííûå ñâîéñòâàìûïðèíèìàåìçààêñèîìûèâèõôîðìóëèðîâêóäîáàâëÿåì ïðåäïîëîæåíèåîñóùåñòâîâàíèèóðàññìàòðèâàåìîéñèñòåìûòî÷åê öåíòðàìàññ. Èçóêàçàííûõàêñèîìâûòåêàåò,íàïðèìåð,÷òîêðóãñðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîéìàññîéèìååòöåíòðìàññ,ñîâïàäàþùèéñöåíòðîì êðóãà,èòîæåñàìîåâåðíîäëÿîêðóæíîñòèñðàâíîìåðíîðàñïðåäå- ëåííîéìàññîé. Àíàëîãè÷íûåóòâåðæäåíèÿâåðíûèäëÿïðàâèëüíîãîìíîãîóãîëü- íèêàñðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåííîéìàññîé,èäëÿïðàâèëüíîãîìíîãî- óãîëüíèêàñìàññîé,ðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåííîéïîåãîïåðèìåòðó. 5.Öåíòðòÿæåñòèïåðèìåòðàòðåóãîëüíèêà Êâîïðîñóîáûñòðîìíàõîæäåíèèöåíòðàìàññìíîãîóãîëüíèêà ìûäàëååâåðíåìñÿ,àñåé÷àñðàññìîòðèì,ñëåäóÿêíèãå[2],çàäà÷ó îíàõîæäåíèèöåíòðàìàññïåðèìåòðàïðîèçâîëüíîãîòðåóãîëüíè- êà(ò.å.îáúåäèíåíèÿòðåõåãîñòîðîí).Ýòîòâîïðîñïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ,íàïðèìåð,ïîòîìó,÷òîöåíòðòÿæåñòèâñåãîòðåóãîëüíèêà ñîâïàäàåòñöåíòðîìòÿæåñòèòîëüêîòðåõåãîâåðøèí,âêîòîðûõ ñîñðåäîòî÷åíàâñÿåãîìàññà,ïðè÷åìâêàæäîéïîðîâíó,ò.å.ñòî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿìåäèàí.À÷òîáóäåò,åñëèìàññàðàâíîìåðíîðàñïðåäå- ëåíàïîâñåìóïåðèìåòðó?Îêàçûâàåòñÿ,öåíòðìàññâýòîìñëó÷àå ñîâïàäàåòñäðóãîéçàìå÷àòåëüíîéòî÷êîéòðåóãîëüíèêàöåíòðîì îêðóæíîñòè,âïèñàííîéâñðåäèííûéòðåóãîëüíèê(ñì.ðèñ.7). Äåéñòâèòåëüíî,çàìåíèìêàæäóþñòîðîíóòðåóãîëüíèêàååöåí- òðîì,ïðåäïîëàãàÿ,÷òîâñÿìàññàñòîðîíûñîñðåäîòî÷åíàâååñå- ðåäèíå.Ñîãëàñíîàêñèîìå3çàäà÷àñâîäèòñÿêíàõîæäåíèþöåíòðà 5. Öåíòðòÿæåñòèïåðèìåòðàòðåóãîëüíèêà 17 Ðèñ.7. Öåíòðòÿæåñòèïåðèìåòðàòðåóãîëüíèêà òÿæåñòèòðåõâåðøèíòðåóãîëüíèêà,ìàññàêàæäîéèçêîòîðûõðàâíà äëèíåïðîòèâîïîëîæíîéñòîðîíû 17 . Äëÿíàõîæäåíèÿóêàçàííîãîöåíòðàòÿæåñòèïðèìåíèìîïèñàí- íûéâûøåìåòîäâû÷èñëåíèÿöåíòðàìàñññèñòåìûèçòðåõòî÷åê. Ñîãëàñíîàêñèîìå2öåíòðòÿæåñòèñèñòåìûèçòî÷åê A 1 , B 1 ñìàññà- ìè,ïðîïîðöèîíàëüíûìè j B 1 C 1 j è j A 1 C 1 j ñîîòâåòñòâåííî,ðàñïîëîæåí âòî÷êå C 2 ,äåëÿùåéñòîðîíó A 1 B 1 ïðîïîðöèîíàëüíîñòîðîíàì A 1 C 1 , B 1 C 1 .Íîòîãäàîòðåçîê C 1 C 2 ñîâïàäàåòñáèññåêòðèñîéóãëà C 1 òðå- óãîëüíèêà A 1 B 1 C 1 âñèëóèçâåñòíîãîèçøêîëüíîéãåîìåòðèèñâîé- ñòâàáèññåêòðèñû.Ñîãëàñíîàêñèîìàì2è3èñêîìûéöåíòðòÿæåñòè òî÷åê A 1 , B 1 , C 1 ñìàññàìè j B 1 C 1 j , j A 1 C 1 j , j A 1 B 1 j ëåæèòíàáèññåêòðèñå C 1 C 2 òðåóãîëüíèêà A 1 B 1 C 1 .Àíàëîãè÷íîåðàññóæäåíèåïîêàçûâàåò, ÷òîîíëåæèòèíàîñòàëüíûõäâóõáèññåêòðèñàõ,àçíà÷èò,ñîâïàäàåò ñèõòî÷êîéïåðåñå÷åíèÿ,ò.å.ñöåíòðîìâïèñàííîãîâñðåäèííûé òðåóãîëüíèê A 1 B 1 C 1 êðóãà. Äëÿíàõîæäåíèÿöåíòðàìàññïåðèìåòðàïðîèçâîëüíîãîìíîãî- óãîëüíèêàèëèâîîáùåïðîèçâîëüíîéêîíå÷íîéñèñòåìûîòðåçêîâ ìîæíî,ðàçóìååòñÿ,àíàëîãè÷íûìîáðàçîìñâåñòèçàäà÷óêíàõîæäå- íèþöåíòðàìàññêîíå÷íîéñèñòåìûòî÷åê,îäíàêîòàêîãîêðàñèâîãî 17 Çäåñüáåçðàçëè÷íî,÷òîïîíèìàåòñÿïîääëèíàìèïðîòèâîïîëîæíûõñòîðîíòîëè ðå÷üèäåòîñòîðîíàõòðåóãîëüíèêà ABC ,òîëèîñòîðîíàõòðåóãîëüíèêà A 1 B 1 C 1 ,îáðà- çîâàííîãîöåíòðàìèñòîðîíòðåóãîëüíèêà ABC ,òàêêàêòðåóãîëüíèê A 1 B 1 C 1 ÿâëÿåòñÿ ñðåäèííûìòðåóãîëüíèêîìäëÿòðåóãîëüíèêà ABC èñîãëàñíîåãîèçâåñòíîìóñâîéñòâó äëèíûåãîñòîðîíâäâàðàçàìåíüøåäëèíñîîòâåòñòâóþùèõñòîðîíòðåóãîëüíèêà ABC . 18 5. Öåíòðòÿæåñòèïåðèìåòðàòðåóãîëüíèêà îòâåòà,êàêäëÿòðåóãîëüíèêà,ïî - âèäèìîìóíåïîëó÷èòñÿ(çàèñ- êëþ÷åíèåìñëó÷àåâ,êîãäàðàññìîòðåííàÿñèñòåìàîáëàäàåòòåìèëè èíûìñâîéñòâîìñèììåòðèè). Çàäà÷à11. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðîèäòðåóãîëüíèêàñîâïàäàåòñöåí- òðîì ìàññåãîïåðèìåòðàòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàòðåóãîëüíèê ïðàâèëüíûé. Óêàçàíèå. Äëÿëþáîãîòðåóãîëüíèêàöåíòðìàñññîâïàäàåòñöåí- òðîììàññåãîñðåäèííîãîòðåóãîëüíèêà,öåíòðìàññïåðèìåòðàäàííî- ãîòðåóãîëüíèêàñîâïàäàåòñöåíòðîìêðóãà,âïèñàííîãîâñðåäèííûé òðåóãîëüíèê,àïîñëåäíèéïîäîáåíäàííîìóòðåóãîëüíèêó,ïîýòîìó äîñòàòî÷íîäîêàçàòü,÷òîöåíòðâïèñàííîãîêðóãàñîâïàäàåòñöåí- òðîèäîìòðåóãîëüíèêàòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàîíïðàâèëüíûé. Óêàçàííîåñîâïàäåíèåâîçìîæíîòîëüêîâñëó÷àå,êîãäàáèññåêòðèñû ÿâëÿþòñÿìåäèàíàìè.Íîáèññåêòðèñàñîâïàäàåòñìåäèàíîéòîëüêî óðàâíîáåäðåííîãîòðåóãîëüíèêà.Ñîâïàäåíèåöåíòðîèäàñöåíòðîì âïèñàííîãîêðóãàòàêæåíåìåäëåííîñëåäóåòèççàäà÷3è5. Îòñòóïëåíèåîòîñíîâíîéòåìû: äðóãèåçàìå÷àòåëüíûåòî÷êèòðåóãîëüíèêà Îçàìå÷àòåëüíûõòî÷êàõòðåóãîëüíèêàíàïèñàíûöåëûåêíèãè (íàèáîëååäîñòóïíàÿ[10],ñì.òàêæå[11]).Äàëååêðàòêîêîñíåìñÿ òîëüêîíåêîòîðûõèçíèõ. Ñïîìîùüþñëåäóþùåéçàäà÷èëåãêîäîêàçàòü,÷òîâûñîòûòðå- óãîëüíèêàïåðåñåêàþòñÿâîäíîéòî÷êååãî îðòîöåíòðå 18 . Çàäà÷à12. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðîïèñàííîãîâîêðóãòðåóãîëü- íèêàêðóãàñîâïàäàåòñîðòîöåíòðîìåãîñðåäèííîãîòðåóãîëüíèêà, àöåíòðîèäòðåóãîëüíèêàñîâïàäåòñöåíòðîèäîìåãîñðåäèííîãî òðåóãîëüíèêà. Çàäà÷à13. Ðàññìîòðèìñëåäóþùèåçàìå÷àòåëüíûåòî÷êèâòðå- óãîëüíèêå:öåíòðîèä,öåíòðìàññïåðèìåòðà,öåíòðâïèñàííîãîêðó- ãà,öåíòðîïèñàííîãîêðóãà,îðòîöåíòð.Äîêàæèòå,÷òîëþáûåäâåèç íèõñîâïàäàþòòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàòðåóãîëüíèêïðàâèëüíûé. Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòåçàäà÷è11è12,àòàêæåñëåäóþùèå ôàêòû : åñëèèçòðåõëèíèé,ïðîâåäåííûõèçîäíîéâåðøèíû,àèìåííîâû- 18 Ýòî,ïî - âèäèìîìó,ñàìîåïðîñòîåäîêàçàòåëüñòâîñóùåñòâîâàíèÿîðòîöåíòðàèíî- ãäàïðèïèñûâàåòñÿâåëèêîìóíåìåöêîìóìàòåìàòèêóÊ.Ô.Ãàóññó. 6. Öåíòðìàññ÷åòûðåõóãîëüíèêàèïàðàëëåëîãðàììÂèòòåíáàóýðà 19 ñîòû,ìåäèàíûèáèññåêòðèñû,äâåñîâïàäàþò,òîòðåóãîëüíèêðàâíî- áåäðåííûé. Îñíîâàíèÿâûñîòòðåóãîëüíèêàîáðàçóþòäðóãîéçàìå÷àòåëüíûé òðåóãîëüíèê,òàêæåâïèñàííûéâäàííûé.Îííàçûâàåòñÿ îðòîöåí- òðè÷åñêèìòðåóãîëüíèêîì . Îêðóæíîñòü,îïèñàííàÿâîêðóãñðåäèííîãîòðåóãîëüíèêà,íàçû- âàåòñÿ îêðóæíîñòüþÝéëåðàÔåéåðáàõà èëè îêðóæíîñòüþäåâÿòè òî÷åê . Çàäà÷à14. Äîêàæèòå,÷òîîêðóæíîñòüäåâÿòèòî÷åêïðîõîäèò ÷åðåçîñíîâàíèÿâûñîòòðåóãîëüíèêà,ò.å.ñîâïàäàåòñîïèñàííîé îêðóæíîñòüþîðòîöåíòðè÷åñêîãîòðåóãîëüíèêà. Åùåòðèèíòåðåñíûåòî÷êè,ëåæàùèåíàýòîéîêðóæíîñòè,ïðåäî- ñòàâëÿåòñÿíàéòè÷èòàòåëþ(åñëèîíïðîíèõåùåíåçíàåò).Íàèáîëåå èíòåðåñíîåååñâîéñòâîáûëîîòêðûòîíåìåöêèìãåîìåòðîìÔåéåð- áàõîì 19 .Îêðóæíîñòüäåâÿòèòî÷åêêàñàåòñÿâïèñàííîéîêðóæíîñòè. Çàäîêàçàòåëüñòâîìîòñûëàåì÷èòàòåëÿ,íàïðèìåð,êêíèãå[6]. Ñïîìîùüþñëåäóþùåéçàäà÷èòàêæåìîæíîäîêàçàòüñóùåñòâî- âàíèåîðòîöåíòðà. Çàäà÷à15. Äîêàæèòå,÷òîäëÿëþáîãîòðåóãîëüíèêàöåíòðêðóãà, âïèñàííîãîâåãîîðòîöåíòðè÷åñêèéòðåóãîëüíèê,ñîâïàäàåòñîðòî- öåíòðîìäàííîãîòðåóãîëüíèêà.Äðóãèìèñëîâàìè,âûñîòûäàííîãî òðåóãîëüíèêàñîâïàäàþòñáèññåêòðèñàìèåãîîðòîöåíòðè÷åñêîãî òðåóãîëüíèêà. Åùåîäíîçàìå÷àòåëüíîåñâîéñòâîîðòîöåíòðè÷åñêîãîòðåóãîëü- íèêà(ìèíèìàëüíîñòüåãîïåðèìåòðàñðåäèâñåõòðåóãîëüíèêîâ,âïè- ñàííûõâäàííûéîñòðîóãîëüíûéòðåóãîëüíèê),îòêðûòîåèòàëüÿí- ñêèìãåîìåòðîìÔàíüÿíîâXVIIIâåêå,ìîæíîíàéòèâîìíîãèõêíè- ãàõïîãåîìåòðèè(íàïðèìåð,[8,11]). 6.Öåíòðìàññ÷åòûðåõóãîëüíèêà èïàðàëëåëîãðàììÂèòòåíáàóýðà Óêàçàííûéâûøåïðèåìäëÿíàõîæäåíèÿöåíòðàìàññìíîãîóãîëü- íèêàìîæíî,êîíå÷íî,ïðèìåíèòüèäëÿ÷åòûðåõóãîëüíèêà,íîåñòü áîëååáûñòðûéñïîñîá.Ïîñëåòîãîêàêìûíàøëèöåíòðûìàññäâóõ 19 ÁðàòîìèçâåñòíîãîôèëîñîôàËþäâèãàÔåéåðáàõà. 20 6. Öåíòðìàññ÷åòûðåõóãîëüíèêàèïàðàëëåëîãðàììÂèòòåíáàóýðà Ðèñ.8. Ðàçáèåíèå÷åòûðåõóãîëü- íèêàíàäâàòðåóãîëüíèêàèèõ öåíòðûòÿæåñòè Ðèñ.9. Ïîñòðîåíèåöåíòðà òÿæåñòè÷åòûðåõóãîëüíèêà Ðèñ.10. ÏàðàëëåëîãðàììÂèòòåíáàóýðà òðåóãîëüíèêîâ,íàêîòîðûå÷åòûðåõóãîëüíèêðàçáèâàåòñÿäèàãîíà- ëüþ,ìîæíî,íåâû÷èñëÿÿèñêîìûéöåíòðòÿæåñòèåãîñïîìîùüþ àêñèîìû2(äëÿ÷åãîíóæíîáóäóòâû÷èñëèòüïëîùàäèòðåóãîëüíè- êîâ),çàìåòèòü,÷òîîíëåæèòíàîòðåçêå,ñîåäèíÿþùåìöåíòðûýòèõ òðåóãîëüíèêîâ(ñì.ðèñ.8). Ïðîâåäÿäðóãóþäèàãîíàëüèïîâòîðÿÿýòèðàññóæäåíèÿäëÿäâóõ òðåóãîëüíèêîâ,îòñåêàåìûõýòîéäèàãîíàëüþ,ïîëó÷èìâòîðîéîò- ðåçîê,íàêîòîðîìòîæåëåæèòèñêîìûéöåíòð.Çíà÷èò,îíëåæèò íàïåðåñå÷åíèèïîëó÷åííûõîòðåçêîâ(ñì.ðèñ.9). 6. Öåíòðìàññ÷åòûðåõóãîëüíèêàèïàðàëëåëîãðàììÂèòòåíáàóýðà 21 Íîåñòüèäðóãîéñïîñîáíàéòèöåíòðòÿæåñòè ÷åòûðåõóãîëüíèêà . ÑîãëàñíîêíèãåèçâåñòíîãîíåìåöêîãîãåîìåòðàÂ.Áëÿøêå 20 (ýòà ññûëêàäàíàâêíèãå[4])ýòîìîæíîñäåëàòü,íàéäÿöåíòð ïàðàëëåëî- ãðàììàÂèòòåíáàóýðà 21 (ñì.ðèñ.10). Îíîïðåäåëÿåòñÿñëåäóþùèìîáðàçîì:êàæäàÿèçñòîðîí÷åòûðåõ- óãîëüíèêàðàçáèâàåòñÿïàðîéòî÷åêíàòðèðàâíûõîòðåçêà,è÷åðåç êàæäóþïàðóñîñåäíèõòî÷åêäåëåíèÿ,ðàñïîëîæåííûõíàñìåæíûõ ñòîðîíàõ,ïðîâîäÿòñÿïðÿìûå.Îíèèîãðàíè÷èâàþòïàðàëëåëîãðàìì (ñì.ðèñ.10). Çàäà÷à16. Äîêàæèòå,÷òîïàðàëëåëîãðàììÂèòòåíáàóýðàäåéñò- âèòåëüíîÿâëÿåòñÿïàðàëëåëîãðàììîì. Óêàçàíèå. Åãîñòîðîíûïàðàëëåëüíûñîîòâåòñòâóþùèìäèàãîíà- ëÿìäàííîãî÷åòûðåõóãîëüíèêà. Çàäà÷à17. Äîêàæèòå,÷òîäëÿëþáîãî÷åòûðåõóãîëüíèêàñòî- ðîíûåãîïàðàëëåëîãðàììàÂèòòåíáàóýðàñîñòàâëÿþòïîäëèíåäâå òðåòèîòïàðàëëåëüíûõèìäèàãîíàëåéýòîãî÷åòûðåõóãîëüíèêà. Óêàçàíèå. Òðåóãîëüíèêè,îòñåêàåìûåîò÷åòûðåõóãîëüíèêàåãî ïàðàëëåëîãðàììîìÂèòòåíáàóýðà,ïîäîáíûñêîýôôèöèåíòîìïîäî- áèÿ k = 3 òðåóãîëüíèêàì,îòñåêàåìûìîòíåãîäèàãîíàëÿìè. Çàäà÷à18. Äîêàæèòå,÷òîäëÿëþáîãî÷åòûðåõóãîëüíèêàåãîïà- ðàëëåëîãðàììÂèòòåíáàóýðàïîäîáåíïàðàëëåëîãðàììóÂàðèíüîíà ñêîýôôèöèåíòîìïîäîáèÿ k = 4 = 3 ,èíàéäèòåîòíîøåíèååãîïëîùà- äèêïëîùàäèýòîãî÷åòûðåõóãîëüíèêà. Çàäà÷à19. Äîêàæèòå,÷òîäëÿëþáîãî÷åòûðåõóãîëüíèêàöåíòð ñîîòâåòñòâóþùåãîïàðàëëåëîãðàììàÂèòòåíáàóýðàñîâïàäàåòñöåí- òðîìòÿæåñòèýòîãî÷åòûðåõóãîëüíèêà(ñòî÷êîéïåðåñå÷åíèÿîòðåç- êîâ,ñîåäèíÿþùèõöåíòðûïàðòðåóãîëüíèêîâ,íàêîòîðûåäàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèêðàçáèâàåòñÿäèàãîíàëÿìè). Óêàçàíèå. Âòàêèõñëó÷àÿõäðåâíèåèíäóñûâìåñòîäîêàçàòåëü- ñòâàïèñàëè:¾Ñìîòðè¿èóêàçûâàëèíàðèñóíîê.Äåéñòâèòåëüíî, òî÷êà O 1 ÿâëÿåòñÿöåíòðîìòðåóãîëüíèêà ACB (ñì.ðèñ.11),ïîýòî- ìóîíàäåëèòïîïîëàìîòðåçîê C 1 B 1 ,ãäå C 1 C òðåòüñòîðîíû AC , à B 1 B òðåòüñòîðîíû AB .Îòðåçîê C 1 B 1 ïàðàëëåëåí CB èñòîðîíå 20 ProjectiveGeometry,Basel,1954. 21 F.Wittenbauer(18571922). 22 6. Öåíòðìàññ÷åòûðåõóãîëüíèêàèïàðàëëåëîãðàììÂèòòåíáàóýðà Ðèñ.11. ÖåíòðòÿæåñòèïàðàëëåëîãðàììàÂèòòåíáàóýðà ñîâïàäàåòñöåíòðîìòÿæåñòè÷åòûðåõóãîëüíèêà W 1 W 2 ïàðàëëåëîãðàììàÂèòòåíáàóýðà,çíà÷èò, W 1 C 1 B 1 W 2 ïàðàëëå- ëîãðàìì,èïîýòîìó j C 1 O 1 j = j W 1 W 2 j = 2 .Àíàëîãè÷íîòî÷êà O 2 äåëèò ïîïîëàìîòðåçîê C 2 D 2 , j C 2 O 2 j = j C 1 O 1 j , C 2 O 2 k C 1 O 1 . Òîãäà C 1 O 1 C 2 O 2  ïàðàëëåëîãðàìì,çíà÷èò, O 1 O 2 k W 1 W 4 ,ïîýòîìó O 1 O 2 ëåæèòíàñðåä- íåéëèíèèïàðàëëåëîãðàììàÂèòòåíáàóýðà.Àíàëîãè÷íî O 3 O 4 ëåæèò íàäðóãîéåãîñðåäíåéëèíèè.Ïîýòîìóòî÷êàïåðåñå÷åíèÿîòðåçêîâ O 1 O 2 è O 3 O 4 (öåíòðìàññ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD )ñîâïàäàåòñöåí- òðîìïàðàëëåëîãðàììàÂèòòåíáàóýðà. Çàäà÷à20 [4]. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðòÿæåñòè÷åòûðåõóãîëüíèêà ñîâïàäàåòñåãîöåíòðîèäîìòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàýòîò÷åòû- ðåõóãîëüíèêïàðàëëåëîãðàìì. Óêàçàíèå. Äàííîåóñëîâèåâûïîëíåíîòîãäàèòîëüêîòîãäà,êî- ãäàöåíòðûïàðàëëåëîãðàììîâÂàðèíüîíàèÂèòòåíáàóýðàñîâïàäàþò (èÿâëÿþòñÿèõöåíòðîìïîäîáèÿ).Äîñòàòî÷íîäîêàçàòü,÷òîîáùèé öåíòð M îáîèõïàðàëëåëîãðàììîâñîâïàäàåòñòî÷êîé O ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ,èïðèìåíèòüçàäà÷ó8.Äîïó- ñòèì,÷òî M 6 = O (ñì.ðèñ.10).Äëÿïîëó÷åíèÿïðîòèâîðå÷èÿäîñòà- òî÷íîäîêàçàòü,÷òîòîãäàïðÿìàÿ OM ïàðàëëåëüíàâñåìñòîðîíàì ïàðàëëåëîãðàììîâ.Äîêàæåì,íàïðèìåð,÷òî OM k W 1 W 4 .Ïðîâåäåì ÷åðåç M ïðÿìóþ,ïàðàëëåëüíóþäèàãîíàëè CB ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ,äîïåðåñå÷åíèÿñîñòîðîíîé W 1 W 4 ïàðàëëåëîãðàììàÂèòòåí- áàóýðàâòî÷êå P .Òî÷êóïåðåñå÷åíèÿîòðåçêà PM ñîñòîðîíîéïà- 6. Öåíòðìàññ÷åòûðåõóãîëüíèêàèïàðàëëåëîãðàììÂèòòåíáàóýðà 23 ðàëëåëîãðàììàÂàðèíüîíàîáîçíà÷èì Q .Èçïîäîáèÿýòèõïàðàëëå- ëîãðàììîâ(ñì.çàäà÷ó18)ñëåäóåò,÷òî PM : QM = 4:3 .Ðàññìîò- ðèìòî÷êè P 1 , Q 1 ,âêîòîðûõäèàãîíàëü CB ïåðåñåêàåòñÿñòåìèæå ñòîðîíàìèïàðàëëåëîãðàììîâÂèòòåíáàóýðàèÂàðèíüîíà.Òàêêàê W 1 W 4 îòñåêàåòîòòðåóãîëüíèêà ACO ïîäîáíûéåìó(ïîäâóìóãëàì) ñêîýôôèöèåíòîì 1 = 3 òðåóãîëüíèê,ïîëó÷àåì,÷òî CP : CO = 1:3 ,ò.å. OP : CO = 2:3 .Àíàëîãè÷íîïîëó÷àåì,÷òî OQ : CO = 1:2 (äëÿîáîñíî- âàíèÿìîæíîòàêæåâîñïîëüçîâàòüñÿñâîéñòâàìèñðåäíåéëèíèèòðå- óãîëüíèêà).Îòñþäàèìååì OP : OQ = 4:3 .Íîòàêêàê PM : QM = 4:3 = = PO : QO , PM k PO èïåðåñåêàþùèåèõñòîðîíûïàðàëëåëîãðàììîâ ïàðàëëåëüíû,ïîëó÷àåì,÷òî OM k W 1 W 4 .Äîâîëüíîäëèííîåðåøåíèå çàäà÷è20ñèñïîëüçîâàíèåâåêòîðíîéàëãåáðûèìååòñÿâñòàòüå[5]. Ñðàâíåíèåäâóõñïîñîáîâïîñòðîåíèÿ öåíòðàìàññ÷åòûðåõóãîëüíèêà Íàïåðâûéâçãëÿäêàæåòñÿ,÷òîñïîñîáÂèòòåíáàóýðàïîñòðîåíèÿ öåíòðàìàññïðîùå.Âíåìïðîâîäÿòñÿøåñòüïðÿìûõ(ñòîðîíûïàðàë- ëåëîãðàììàèåãîäèàãîíàëè).Àâïåðâîììåòîäåíàäîóêàæäîãîòðå- óãîëüíèêàíàéòèöåíòð(äëÿýòîãîïðîâîäÿòñÿäâåïðÿìûå),àïîòîì òî÷êóïåðåñå÷åíèÿäâóõäèàãîíàëåéïîëó÷èâøåãîñÿ÷åòûðåõóãîëüíè- êàâñåãîäåñÿòüïðÿìûõ.Íîíàäîó÷èòûâàòüñëîæíîñòüïîñòðîåíèÿ òî÷åê,äåëÿùèõíàòðèðàâíûå÷àñòèñòîðîíû÷åòûðåõóãîëüíèêà.Òî- ãäàñïîñîáÂèòòåíáàóåðàîêàçûâàåòñÿáîëååñëîæíûì. Íà÷íåìñïîñòðîåíèÿöåíòðàìàññòðåóãîëü- Ðèñ.12. Ïîñòðîåíèå ñóììûäâóõâåêòîðîâ íèêà.Åãîìîæíîïîñòðîèòü,ïðîâåäÿâñåãîïÿòü ëèíèé.Äåéñòâèòåëüíî,ðàññìîòðèìòðåóãîëüíèê ABC ,èñëîæèìâåêòîðû CA , CB ,ïîñòðîèââåê- òîð CC 1 .Äëÿýòîãîíàäîñäåëàòüäâåçàñå÷êè îêðóæíîñòÿìè(ñì.ðèñ.12).Àíàëîãè÷íîïîñòðî- èìòî÷êó A 1 .Çàìåòèì,÷òîèçäâóõíóæíûõäëÿ ýòîãîîêðóæíîñòåéîäíà(ñöåíòðîìâòî÷êå B ) óæåáûëàïîñòðîåíà,ïîýòîìóâñåãîâóêàçàííîé ÷àñòèïîñòðîåíèÿèñïîëüçîâàëîñüòðèîêðóæíî- ñòè.Ïðîâåäÿïðÿìûå CC 1 , AA 1 ,ïîëó÷àåìâèõ ïåðåñå÷åíèèöåíòðòðåóãîëüíèêà ABC .Åñëèïðåäïîëîæèòü,÷òîïðÿ- ìûå AB è CB áûëèïðîâåäåíû,òîïðîâåäåííîåïîñòðîåíèåäàåòòàêæå ñåðåäèíûñòîðîí AB , AC èäâåèçòðåõìåäèàíòðåóãîëüíèêà ABC . Îöåíèìñëîæíîñòüïîñòðîåíèÿöåíòðàìàññ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïåðâûìñïîñîáîì.Ïðåäïîëîæèì,÷òîñòîðîíû÷åòûðåõóãîëü- 24 7. Öåíòðòÿæåñòèòðàïåöèè íèêà ABCD äàíû.Ïîñòðîèìóêàçàííûìâûøåñïîñîáîìöåíòðûòðå- óãîëüíèêîâ ABC è ACD .Äëÿýòîãîïðîâåäåíî 10 ëèíèéèïîñòðîåíû ñåðåäèíûâñåõñòîðîí÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD .×òîáûíàéòèöåíòðû òðåóãîëüíèêîâ ABD è ADC ,äîñòàòî÷íîâêàæäîìèçíèõïðîâåñòè ïîäâåìåäèàíû(åùå÷åòûðåëèíèè),èâòî÷êàõèõïåðåñå÷åíèÿ ìûïîëó÷èìöåíòðûòðåóãîëüíèêîâ ABD è ADC .Îñòàåòñÿâïîëó- ÷åííîì÷åòûðåõóãîëüíèêå,îáðàçîâàííîìïîñòðîåííûìèöåíòðàìè, ïðîâåñòèäâåäèàãîíàëè.Îáùàÿñëîæíîñòüïîñòðîåíèÿ 16 ëèíèé. Åñëèñòîðîíû÷åòûðåõóãîëüíèêàíåçàäàíû,òîèõïðèäåòñÿïðîâå- ñòè.Âýòîìñëó÷àåñëîæíîñòüïîñòðîåíèÿâîçðàñòàåòíà 4 .×èòàòåëþ ïðåäëàãàåìïîïðîáîâàòüóìåíüøèòüñëîæíîñòü,èñïîëüçóÿïàðàëëå- ëîãðàììÂèòòåíáàóýðà.Âðÿäëèåìóýòîóäàñòñÿ. 7.Öåíòðòÿæåñòèòðàïåöèè Öåíòðòÿæåñòèòðàïåöèèìîæíîíàéòèáîëååáûñòðûìñïîñîáîì, ÷åìöåíòðòÿæåñòèïðîèçâîëüíîãî÷åòûðåõóãîëüíèêà.Óêàæåì,ñëå- äóÿêíèãå[2],äâàñïîñîáà,êàêýòîñäåëàòü.Ïåðâûéñïîñîáî÷åâèäåí èçñëåäóþùåãîðèñ.13. Äåéñòâèòåëüíî,ñîãëàñíîñäåëàííîìóâðàçäåëå4çàìå÷àíèþöåíòð ìàññòðàïåöèèëåæèòíàïðÿìîé O 1 O 2 ,ñîåäèíÿþùåéöåíòðûîñíî- âàíèé.Ñäðóãîéñòîðîíû,îí,êàêèóëþáîãî÷åòûðåõóãîëüíèêà, ëåæèòíàîòðåçêå M 1 M 2 ,ñîåäèíÿþùåìöåíòðûìàññòðåóãîëüíèêîâ ABC è ACD .Îöåíèìñëîæíîñòüýòîãîïîñòðîåíèÿ.Âíà÷àëåâíåì äëÿäâóõòðåóãîëüíèêîâ,íàêîòîðûåòðàïåöèÿäåëèòñÿîäíîéäèà- ãîíàëüþ,ñòðîÿòñÿèõöåíòðûñîñëîæíîñòüþ 10 .Ïðèýòîìïîïóòíî ñòðîÿòñÿñåðåäèíûîñíîâàíèé(âïðåäïîëîæåíèè,÷òîýòèîñíîâàíèÿ óæåäàíû).Îñòàåòñÿïðîâåñòèåùåäâåïðÿìûåèíàéòèòî÷êóèõ Ðèñ.13. Ïîñòðîåíèåöåíòðàòÿæåñòèòðàïåöèè 7. Öåíòðòÿæåñòèòðàïåöèè 25 Ðèñ.14. Âòîðîéñïîñîáïîñòðîåíèÿöåíòðàòÿæåñòèòðàïåöèè Ðèñ.15. Äîêàçàòåëüñòâîïðàâèëüíîñòèâòîðîãîñïîñîáà ïåðåñå÷åíèÿ(ñì.ðèñ.13).Áîêîâûåñòîðîíû(èäèàãîíàëè)ïðèýòîì íåïðåäïîëàãàþòñÿäàííûìè.Åñëèíåäàíûèîñíîâàíèÿ,òîñëîæ- íîñòüóâåëè÷èâàåòñÿíà 2 .Âòîðîéñïîñîáïîêàçàííàðèñ.14.Íàíåì j A 1 A j = j BC j , j C 1 C j = j AD j . Åãîîáîñíîâàíèåíåòàêî÷åâèäíîèïîêàçàíîíàðèñ.15.Îáîçíà- ÷èìäëèíûîñíîâàíèéòðàïåöèè÷åðåç a , b ,àäëèíóîòðåçêà O 1 O 2 , ñîåäèíÿþùåãîèõöåíòðû,÷åðåç l .Òî÷êà M 2 öåíòðòðåóãîëüíèêà ABC äåëèò AO 2 âîòíîøåíèè 2:1 .Àíàëîãè÷íîðàñïîëîæåíàòî÷êà M 1 .Íàðèñ.15ïðîâåäåíûïðÿìûå M i N i , i = 1,2 ,ïàðàëëåëüíîîñíî- âàíèÿìòðàïåöèèäîïåðåñå÷åíèÿñïðÿìîé O 1 O 2 .×åðåç M îáîçíà- ÷åíàòî÷êàïåðåñå÷åíèÿ M 1 M 2 c O 1 O 2 (öåíòðìàññòðàïåöèè).Ïàðû òðåóãîëüíèêîâ AO 2 O 1 , M 2 O 2 N 2 è CO 2 O 1 , M 1 O 1 N 1 ïîäîáíû(ïîäâóì óãëàì)ñêîýôôèöèåíòîìïîäîáèÿ k = 3 ,îòêóäàñëåäóåò,÷òî j M 2 N 2 j j M 1 N 1 j = a b èòî÷êè N 1 , N 2 äåëÿò O 1 O 2 íàòðèðàâíûå÷àñòè.Òîãäàòðåóãîëüíèêè M 1 MN 1 è M 2 MN 2 òîæåïîäîáíûïîäâóìóãëàìñêîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ k = a = b ,çíà÷èò, j N 2 M j : j N 1 M j = a : b .Òàêêàê j N 2 N 1 j = l = 3 , 26 7. Öåíòðòÿæåñòèòðàïåöèè èìååì j N 2 M j = la 3( a + b ) , j N 1 M j = lb 3( a + b ) . Îòñþäàñëåäóåò,÷òî j MO 2 j j MO 1 j = 2 a + b 2 b + a , òàêêàê j MO 2 j = l 3 + la 3( a + b ) = l (2 a + b ) 3( a + b ) , j MO 1 j = l (2 b + a ) 3( a + b ) . Èçðàâåíñòâ j A 1 A j = j BC j , j C 1 C j = j AD j ñëåäóåòïðîïîðöèÿ j MO 2 j j MO 1 j = 2 a + b 2 b + a = j O 2 C 2 j j A 1 O 1 j , àòàêêàê Ü A 1 O 1 M = Ü C 1 O 2 M êàêíàêðåñòëåæàùèåïðèïàðàëëåëü- íûõïðÿìûõ,òîòðåóãîëüíèêè A 1 O 1 M è C 1 O 2 M ïîäîáíû,ñëåäîâàòåëü- íî, Ü A 1 MO 1 = Ü C 1 MO 2 ,çíà÷èò,ïðÿìàÿ A 1 C 1 ïðîõîäèò÷åðåçòî÷êó M , ÷òîèòðåáîâàëîñüäîêàçàòü. Îöåíèìñëîæíîñòüýòîãîïîñòðîåíèÿ.Âíà÷àëåâíåìñòðîÿòñÿòî÷- êè A 1 , C 1 ,äëÿ÷åãîïðîâîäÿòñÿïîäâåëèíèèäëÿêàæäîéòî÷êè(åñëè îñíîâàíèÿçàäàíû,âñåðàâíîèõíóæíîóäëèíÿòü,ïðîâîäÿ÷åðåçíèõ ïðÿìûå).Ïîòîìñòðîÿòñÿñåðåäèíûîñíîâàíèé.Îñòàåòñÿïðîâåñòè äâåïðÿìûå.Êàêïîñòðîèòüñåðåäèíûîñíîâàíèé?Åñëèîñíîâàíèÿçà- äàíû,òîêàæäóþèçñåðåäèíìîæíîïîñòðîèòüñïîìîùüþäâóõîêðóæ- íîñòåéèïðÿìîé,ïðîõîäÿùåé÷åðåçèõîáùóþõîðäó(ñì.ðèñ.16). Îáùàÿñëîæíîñòü,êàêèâïåðâîìïîñòðîåíèè,ðàâíà 12 (íîóæå áåçïðåäïîëîæåíèÿ,÷òîîñíîâàíèÿäàíû).Íîìîæíîïîñòðîèòüñåðå- äèíûîñíîâàíèéèäðóãèìñïîñîáîì.Ïðîâåäåìäèàãîíàëèèíàéäåì òî÷êóèõïåðåñå÷åíèÿ P ,ïðîäîëæèìáîêîâûåñòîðîíûäîèõïåðåñå- Ðèñ.16. Äåëåíèåîòðåçêàïîïîëàì 8. Öåíòðîèäòåòðàýäðà 27 ÷åíèÿâòî÷êå Q èïðîâåäåì÷åðåç P , Q ïðÿìóþ.Îíàäåëèòîñíîâàíèÿ ïîïîëàì 22 . Çàäà÷à21. Äîêàæèòåýòî. Óêàçàíèå. Ïðÿìàÿ,ïðîõîäÿùàÿ÷åðåçòî÷êóïåðåñå÷åíèÿäèàãî- íàëåé,äåëèòñÿýòîéòî÷êîéèáîêîâûìèñòîðîíàìèíàäâàðàâíûõ îòðåçêà.Ïðèìåíèòåïðèçíàêèïîäîáèÿòðåóãîëüíèêîâ. Ñëîæíîñòüóêàçàííîãîïîñòðîåíèÿðàâíà 11 . 8.Öåíòðîèäòåòðàýäðà Ìíîãîåèçòîãî,÷òîíàïèñàíîâûøåîöåíòðàõòÿæåñòè,ìîæíîèç ïëîñêîñòèïåðåíåñòèáåçñóùåñòâåííûõèçìåíåíèéâïðîñòðàíñòâî. Âñåàêñèîìûîñòàþòñÿáåçèçìåíåíèé,êðîìåàêñèîì4è5,êîòîðûå ïðèäåòñÿíåñêîëüêîìîäèôèöèðîâàòü 23 . Åñëè÷åòûðåõòî÷å÷íàÿñèñòåìàðàâíûõìàññðàñïîëîæåíàâïðî- ñòðàíñòâå,òîîíàîáðàçóåòòåòðàýäð(íåîáÿçàòåëüíîïðàâèëüíûé). Äëÿòåòðàýäðààíàëîãè÷íîñäåëàííîìóâûøåìîæíîîïðåäåëèòüòðè áèìåäèàíû .Òîãäààíàëîãè÷íîóæåäîêàçàííîìóìîæíîóáåäèòüñÿ âòîì,÷òîöåíòðûâñåõáèìåäèàíñîâïàäàþò,ïðè÷åìñîâïàäàþò ñöåíòðîèäîìòåòðàýäðà(ñì.ðèñ.17).Äëÿòåòðàýäðàýòàòåîðåìà âûãëÿäèòäàæåáîëåååñòåñòâåííî,÷åìäëÿ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Ðèñ.17. Öåíòðîèäòåòðàýäðàñîâïàäàåòñòî÷êîéïåðåñå÷åíèÿáèìåäèàí 22 Èñïîëüçîâàííûéñïîñîáäåëåíèÿïîïîëàìäâóõïàðàëëåëüíûõîòðåçêîâîäíîé ëèíåéêîéïðèíàäëåæèòçíàìåíèòîìóøâåéöàðñêîìóãåîìåòðóßêîáóØòàéíåðó. 23 Âìåñòîîñèñèììåòðèèíàäîâçÿòüïëîñêîñòüñèììåòðèè,ïîäâðàùåíèåìíàäîïî- íèìàòüâðàùåíèåâîêðóãîñè,àöåíòðñèììåòðèèòàêèîñòàåòñÿöåíòðîìñèììåòðèè. 28 8. Öåíòðîèäòåòðàýäðà Ìîæíîîïðåäåëèòüòàêæå ìåäèàííûåïëîñêîñòè òåòðàýäðà.Òàê íàçûâàþòëþáóþèçøåñòèïëîñêîñòåé,ïðîõîäÿùèõ÷åðåçðåáðîòåò- ðàýäðàèñåðåäèíóïðîòèâîïîëîæíîãîðåáðà. Çàäà÷à22. Äîêàæèòå,÷òîâñåìåäèàííûåïëîñêîñòèïåðåñåêàþò- ñÿâöåíòðîèäåòåòðàýäðàèäåëÿòåãîîáúåìïîïîëàì. Óêàçàíèå. Ìåäèàííàÿïëîñêîñòüñîäåðæèòáèìåäèàíó.Ïåðïåíäè- êóëÿðû,îïóùåííûåíàìåäèàííóþïëîñêîñòüèçêîíöîâïðîòèâîïî- ëîæíîãîðåáðà,ðàâíû. Òåîðåìàîñðåäèííîìòðåóãîëüíèêåòàêæåëåãêîîáîáùàåòñÿíà ñëó÷àéòåòðàýäðà(ñì.ðèñ.18). Ðèñ.18. Òåòðàýäðñâåðøèíàìèâöåíòðîèäàõãðàíåéòåòðàýäðà Çàäà÷à23. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðûãðàíåéòåòðàýäðàîáðàçóþò òåòðàýäð,ãîìîòåòè÷íûéáîëüøåìóñêîýôôèöèåíòîì 3 îòíîñèòåëüíî îáùåãîöåíòðîèäàîáîèõòåòðàýäðîâ.Âýòîìöåíòðåïåðåñåêàþòñÿâñå ìåäèàíûòåòðàýäðàèäåëÿòñÿèìâîòíîøåíèè 3:1 . Óêàçàíèå. Åñëèçàìåíèòüìàññóâêàæäîéâåðøèíåíàòðèðàâíûå, òîöåíòðìàñññèñòåìûíåèçìåíèòñÿ.Åñëèåãîâû÷èñëÿòü,çàìåíÿÿ òðèìàññû,ëåæàùèåâîäíîéãðàíè,íàååöåíòð,òîïîëó÷èòñÿñèñòå- ìàèç÷åòûðåõóòðîåííûõìàññ,ðàñïîëîæåííûõââåðøèíàõñðåäèí- íîãîòåòðàýäðà.Óíååöåíòðìàñññîâïàäàåòñöåíòðîììàññèñõîäíîé ñèñòåìû.Åñëèæåâèñõîäíîéñèñòåìåçàìåíèòüëþáûåòðèìàññû èçîäíîéãðàíèíàóòðîåííóþìàññó,ðàñïîëîæåííóþâöåíòðåýòîé ãðàíè,òîäëÿíàõîæäåíèÿöåíòðàìàññèñõîäíîéñèñòåìûñîãëàñíî àêñèîìå2íàäîáóäåòîòðåçîê,ñîåäèíÿþùèéâåðøèíóñöåíòðîìðàñ- ñìîòðåííîéïðîòèâîïîëîæíîéãðàíè(åãîìîæíîíàçâàòü ìåäèàíîé 9. Öåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà 29 Ðèñ.19. Åùåîäèíñïîñîáíàõîæäåíèÿöåíòðà÷åòûðåõðàâíûõìàññ: îíñîâïàäàåòñòî÷êîéïåðåñå÷åíèÿìåäèàíòåòðàýäðà òåòðàýäðà,ïðîâåäåííîéêýòîéãðàíè),ðàçäåëèòüâîòíîøåíèè 3:1 (òî÷êàäåëåíèÿðàñïîëîæåíàáëèæåêðàññìàòðèâàåìîéãðàíè,÷åì êïðîòèâîïîëîæíîéêíåéâåðøèíå).Îòñþäàñëåäóåò,÷òîâñå÷åòû- ðåìåäèàíûòåòðàýäðàïåðåñåêàþòñÿâîäíîéòî÷êåèäåëÿòñÿâíåé âîòíîøåíèè 3:1 ,èýòàòî÷êàåñòüöåíòðîèäòåòðàýäðà(ñì.ðèñ.19). Çàäà÷à24. Êàêèåáàðèöåíòðè÷åñêèåêîîðäèíàòûèìååòöåíòðîèä òåòðàýäðàîòíîñèòåëüíîýòîãîòåòðàýäðà? Îòâåò: (1:1:1:1) . 9.Öåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà Äîêàæåì,÷òîîííàõîäèòñÿâöåíòðåøàðà,âïèñàííîãîâñðåäèí- íûéòåòðàýäð(ýòàòåîðåìàÿâëÿåòñÿñòåðåîìåòðè÷åñêèìàíàëîãîì àíàëîãè÷íîéòåîðåìûîöåíòðåìàññïåðèìåòðàòðåóãîëüíèêà). Ñíà÷àëàíàïîìíèìíåêîòîðûåèçâåñòíûåôàêòûèçãåîìåòðèè òåòðàýäðà(äëÿòåõ,êòîèõíåçíàåò,îíèïðåâðàùàþòñÿâçàäà÷è). Íàïîìíèì,÷òî áèññåêòðèñîéòðåõãðàííîãîóãëà íàçûâàåòñÿïðÿìàÿ, îáðàçóþùàÿðàâíûåóãëûñðåáðàìèòðåõãðàííîãîóãëà. Áèññåêòðàëü- íîéïëîñêîñòüþ äâóãðàííîãîóãëàíàçûâàåòñÿïëîñêîñòü,îáðàçóþùàÿ ñåãîãðàíÿìèðàâíûåäâóãðàííûåóãëû. Çàäà÷à25. Äîêàæèòå,÷òîëþáàÿòî÷êàáèññåêòðèñûòðåõãðàííîãî óãëàðàâíîóäàëåíàîòåãîãðàíåé. Ñëåäóþùèåòðèçàäà÷èèñïîëüçîâàòüñÿäàëååíåáóäóòèïðèâî- äÿòñÿòîëüêîäëÿïîëíîòûèçëîæåíèÿ. 30 9. Öåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà Çàäà÷à26. Äîêàæèòå,÷òîëþáàÿòî÷êàáèññåêòðàëüíîéïëîñêî- ñòèäâóãðàííîãîóãëàðàâíîóäàëåíàîòåãîãðàíåé. Çàäà÷à27. Äîêàæèòå,÷òîáèññåêòðèñàòðåõãðàííîãîóãëàñîâïà- äàåòñïåðåñå÷åíèåìåãîáèññåêòðàëüíûõïëîñêîñòåé. Äîêàçàòåëüñòâîñôîðìóëèðîâàííîéâíà÷àëåäàííîãîðàçäåëàòåî- ðåìû,ïðèâåäåííîåâêíèãå[2],îñíîâûâàëîñüíàñëåäóþùåìñâîé- ñòâåâïèñàííîãîøàðàèíåêîòîðûõìåõàíè÷åñêèõñîîáðàæåíèÿõ. Çàäà÷à28. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðâïèñàííîãîøàðàòåòðàýäðàíà- õîäèòñÿâåäèíñòâåííîéòî÷êåïåðåñå÷åíèÿåãîøåñòèáèññåêòðàëü- íûõïëîñêîñòåé. Äàëååáóäåòïðèâåäåíîäðóãîåäîêàçàòåëüñòâî,îñíîâàííîåíàäðó- ãîì ñâîéñòâåâïèñàííîãîøàðà.Îíîèìååòïðåèìóùåñòâî,â÷àñòíîñòè, èâòîì,÷òîìîæåòáåçñóùåñòâåííûõèçìåíåíèéáûòüïåðåíåñåíî íàïðîèçâîëüíîå n -ìåðíîåïðîñòðàíñòâî. Çàäà÷à29. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðâïèñàííîãîøàðàòåòðàýäðàíà- õîäèòñÿâòî÷êåïåðåñå÷åíèÿáèññåêòðèñåãîòðåõãðàííûõóãëîâ. Ñëåäóþùàÿçàäà÷àÿâëÿåòñÿñòåðåîìåòðè÷åñêèìàíàëîãîìèçâåñò- íîãî ñâîéñòâà,êàñàþùåãîñÿäåëåíèÿáèññåêòðèñîéòðåóãîëüíèêà ïðî- òèâîïîëîæíîéñòîðîíû,èèíòåðåñíàñàìàïîñåáå. Çàäà÷à30. Äîêàæèòå,÷òîáèññåêòðèñàóãëàòåòðàýäðà,îãðàíè- ÷åííîãîãðàíÿìèñïëîùàäÿìè S i ,ïîïàäàåòâòî÷êó÷åòâåðòîéãðàíè, êîòîðàÿîòíîñèòåëüíîòðåõååâåðøèíèìååòáàðèöåíòðè÷åñêèåêî- îðäèíàòû S 1 : S 2 : S 3 . Óêàçàíèå. Îáîçíà÷èì÷åðåç A , B , C , D âåðøèíûòåòðàýäðàè÷å- ðåç M òî÷êóïåðåñå÷åíèÿáèññåêòðèñûòðåõãðàííîãîóãëà D ñãðà- íüþ ABC (ñì.ðèñ.20).Òàêêàêîáúåìòåòðàýäðàðàâåíòðåòèïðîèç- âåäåíèÿïëîùàäèîñíîâàíèÿíàäëèíóâûñîòû,àâûñîòû,îïóùåííûå èçòî÷êè M íàáîêîâûåãðàíèòåòðàýäðà ABCD ,ðàâíûñîãëàñíîñâîé- ñòâóáèññåêòðèñû,îòíîøåíèåîáúåìîâòåòðàýäðîâ V ( DBCM ): V ( DACM ): V ( DABM ) ðàâíîîòíîøåíèþïëîùàäåéòðåóãîëüíèêîâ S ( DBC ): S ( DAC ): S ( DAB ) , êîòîðîåáûëîîáîçíà÷åíîêàê S 1 : S 2 : S 3 .Íîýòèòåòðàýäðûèìåþò îáùóþâûñîòó,îïóùåííóþíàîñíîâàíèÿ BCM , ACM , ABM ,ïîýòîìó îòíîøåíèåïëîùàäåéýòèõòðåóãîëüíèêîâòàêæåðàâíî S 1 : S 2 : S 3 . Îñòàåòñÿïðèìåíèòüçàäà÷ó4. 9. Öåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà 31 Ðèñ.20. Áèññåêòðèñàòðåõãðàííîãîóãëàïðèâåðøèíå D òåòðàýäðà ABCD (ñòðåìÿðàâíîâåëèêèìèãðàíÿìèïðèâåðøèíå D ) Äîêàæåìòåïåðü,÷òîöåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðàíàõîäèò- ñÿâöåíòðåøàðà,âïèñàííîãîâåãîñðåäèííûéòåòðàýäð(ñì.ðèñ.21). Çàìåíèìãðàíè DAB , DBC , DAC , ABC íàìàòåðèàëüíûåòî÷êè ñöåíòðàìèâèõöåíòðàõòÿæåñòè C 1 , A 1 , B 1 , D 1 èìàññàìè, ðàâíûìè èõïëîùàäÿì.Çàäà÷àñâîäèòñÿêíàõîæäåíèþöåíòðàòÿæåñòèñèñòå- ìûòî÷åê C 1 , A 1 , B 1 , D 1 âåðøèíñðåäèííîãîòåòðàýäðà.Ñîãëàñíîçà- äà÷å18ïëîùàäèãðàíåé DAB , DBC , DAC , ABC ïðîïîðöèîíàëüíûïëî- ùàäÿìãðàíåé D 1 A 1 B 1 , D 1 B 1 C 1 , D 1 A 1 C 1 , A 1 B 1 C 1 .Ïîýòîìóäàëååìîæíî ñ÷èòàòü,÷òîìàññûýòèõòî÷åêïðîïîðöèîíàëüíûïëîùàäÿìïðîòèâî- ïîëîæíûõèìãðàíåéîáðàçîâàííîãîèìèòåòðàýäðà A 1 B 1 C 1 D 1 ,èäëÿ êðàòêîñòèèíäåêñûâîáîçíà÷åíèÿõîïóñêàòü.Çàìåíèìòî÷êè A , B , C îäíîéòî÷êîéèõöåíòðîììàññ M .Åñëèïëîùàäèãðàíåé DBC , DAC , Ðèñ.21. Öåíòðòÿæåñòèïåðèìåòðàòðåóãîëüíèêà 32 9. Öåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà DAB îáîçíà÷èòü S 1 , S 2 , S 3 ,òîáàðèöåíòðè÷åñêèåêîîðäèíàòûýòîéòî÷- êèîòíîñèòåëüíîòðåóãîëüíèêà ABC ñîãëàñíîçàäà÷å2áóäóòðàâíû S 1 : S 2 : S 3 (ò.å.îòíîøåíèåïëîùàäåéòðåóãîëüíèêîâ MBC , MAC , MAB ðàâíîîòíîøåíèþïëîùàäåéãðàíåé DBC , DAC , DAB ).Ñîãëàñíîçàäà- ÷å24áèññåêòðèñàòðåõãðàííîãîóãëà D ïîïàäàåòâòî÷íîñòèâòî÷- êó M .Äðóãèìèñëîâàìè,îòðåçîê MD ñîâïàäàåòñáèññåêòðèñîéòðåõ- ãðàííîãîóãëà D .Íîñîãëàñíîèñïîëüçóåìîéíàìèàêñèîìàòèêåöåíòð òÿæåñòèñèñòåìûòî÷åê A , B , C , D ñîâïàäàåòñöåíòðîìòÿæåñòèñè- ñòåìûòî÷åê M , D èïîýòîìóëåæèòíàîòðåçêå MD ,ò.å.áèññåêòðèñå óãëà D .Àíàëîãè÷íîïîëó÷àåì,÷òîîíëåæèòèíàáèññåêòðèñàõòðåõ äðóãèõóãëîâ,àçíà÷èò,ñîâïàäàåòñòî÷êîéèõïåðåñå÷åíèÿ.Íîýòà òî÷êàñîãëàñíîçàäà÷å22ñîâïàäàåòñöåíòðîìâïèñàííîéâðàññìàòðè- âàåìûéòåòðàýäðñôåðû,÷òîèçàêàí÷èâàåòäîêàçàòåëüñòâîòåîðåìû. Îòñòóïëåíèåïðîðàâíîãðàííûåòåòðàýäðû Îäíàêîíåâñåòåîðåìûãåîìåòðèèòåòðàýäðààíàëîãè÷íûòåîðå- ìàì ãåîìåòðèèòðåóãîëüíèêà.Íàïðèìåð,çàäà÷à11íåèìååòïðÿìîãî àíàëîãàâñëó÷àåòåòðàýäðà,íîíåêîòîðûéàíàëîãóíååâñåæåèìååòñÿ. Òåòðàýäðíàçîâåì ðàâíîãðàííûì ,åñëèïëîùàäèâñåõåãîãðàíåé ðàâíû.Èíîãäàðàâíîãðàííûåòåòðàýäðûíàçûâàþòòàêæå ïîëóïðà- âèëüíûìè. Äàëååäëÿðàçíîîáðàçèÿèñïîëüçóþòñÿîáàòåðìèíà.Óðàâ- íîãðàííûõòåòðàýäðîâèçâåñòíàñîòíÿ(ýòîíåïðåóâåëè÷åíèå!)ðàç- ëè÷íûõñâîéñòâ,êàæäîåèçêîòîðûõìîæíîïðèíÿòüçàåãîîïðå- äåëåíèå.Íàïðèìåð,øèðîêîèçâåñòíàñëåäóþùàÿõàðàêòåðèçàöèÿ ðàâíîãðàííûõòåòðàýäðîâ(ñì.,ñêàæåì,[11]). Çàäà÷à31. Äîêàæèòå,÷òîòåòðàýäððàâíîãðàííûéòîãäàèòîëüêî òîãäà,êîãäàåãîãðàíèðàâíû(íåòîëüêîïîïëîùàäè,íîÿâëÿþòñÿ ðàâíûìèòðåóãîëüíèêàìè). Óêàçàíèå. Äîñòàòî÷íîäîêàçàòü,÷òîóýòîãîòåòðàýäðàïàðûïðîòè- âîïîëîæíûõñòîðîíðàâíû.Äëÿäîêàçàòåëüñòâà,íàïðèìåð,ðàâåíñòâà j AC j = j BD j ìîæíîñïðîåêòèðîâàòüýòèñòîðîíûíàïëîñêîñòü,ïðîõî- äÿùóþ÷åðåç AB ïàðàëëåëüíî CD ,óáåäèòüñÿ,÷òîýòèïðîåêöèèðàâíû, èäîêàçàòüðàâåíñòâîäâóõïîäõîäÿùèõïðÿìîóãîëüíûõòðåóãîëüíèêîâ ñãèïîòåíóçàìè AC è BD .Ðàâåíñòâîæåïðîåêöèéâûòåêàåòèçòîãî, ÷òîïðèóêàçàííîìïðîåêòèðîâàíèèòåòðàýäð ABCD ïðîåêòèðóåòñÿ âïàðàëëåëîãðàìì AC 1 BD 1 (íàñàìîìäåëåîíäàæåïðÿìîóãîëüíèê). Òîòôàêò,÷òî AC 1 BD 1 ïàðàëëåëîãðàìì,ñëåäóåòèçòîãî,÷òîåãî äèàãîíàëè AB , C 1 D 1 âòî÷êåïåðåñå÷åíèÿäåëÿòñÿïîïîëàì.Àýòîñëå- 9. Öåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà 33 äóåòèçòîãî,÷òîâûñîòûâòðåóãîëüíèêàõ CBD è CAD ,îïóùåííûå íàèõîáùóþñòîðîíó,ðàâíû(òàêêàêðàâíûèõïëîùàäè),çíà÷èò, ðàâíûèèõïðîåêöèè BH è AK íàïëîñêîñòü AC 1 BD 1 ,àòàêêàê K , H ëåæàòíàäèàãîíàëè C 1 D 1 ,èçðàâåíñòâà j BH j = j AK j ñëåäóåòðàâåí- ñòâîïðÿìîóãîëüíûõòðåóãîëüíèêîâ BHO , AKO ,ãäå O òî÷êàïåðå- ñå÷åíèÿäèàãîíàëåé AB , C 1 D 1 ,îòêóäàçàêëþ÷àåì,÷òî O ñåðåäèíà AB ,èàíàëîãè÷íîïîëó÷àåì,÷òî O ñåðåäèíà C 1 D 1 .Î÷åâèäíî,÷òî ïðàâèëüíûéòåòðàýäðÿâëÿåòñÿðàâíîãðàííûì,íîîáðàòíîåíåâåðíî. Çàäà÷à32. Äîêàæèòåñëåäóþùååñâîéñòâîðàâíîãðàííîãîòåòðà- ýäðà:òåòðàýäðÿâëÿåòñÿðàâíîãðàííûìòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà áèññåêòðèñàëþáîãîòðåõãðàííîãîóãëàïîïàäàåòâöåíòðòÿæåñòè ïðîòèâîïîëîæíîéãðàíè(ñì.ðèñ.20). Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòåçàäà÷ó30. Ñðàâíèòåñëåäóþùóþçàäà÷óñçàäà÷åé11. Çàäà÷à33. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðòÿæåñòèïîâåðõíîñòèòåòðàýä- ðàñîâïàäàåòñöåíòðîèäîìòåòðàýäðàòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà òåòðàýäððàâíîãðàííûé. Óêàçàíèå. Ñîãëàñíîäîêàçàííîéòåîðåìåäîñòàòî÷íîðàññìîòðåòü ñëó÷àé,êîãäàöåíòðâïèñàííîéñôåðûñîâïàäàåòñöåíòðîììàññòåò- ðàýäðà.Òîãäàñîãëàñíîçàäà÷å32áèññåêòðèñàëþáîãîòðåõãðàííîãî óãëàïîïàäàåòâöåíòðòÿæåñòèïðîòèâîïîëîæíîéãðàíè.Ñîãëàñíî çàäà÷å30ýòîóñëîâèåðàâíîñèëüíîðàâíîãðàííîñòèòåòðàýäðà. Çàäà÷à34. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðøàðà,âïèñàííîãîâòåòðàýäð ñïëîùàäÿìèãðàíåé S A , S B , S C , S D ,èìååòáàðèöåíòðè÷åñêèåêîîðäè- íàòû S A : S B : S C : S D îòíîñèòåëüíîýòîãîòåòðàýäðà. Óêàçàíèå. Ñîåäèíèìöåíòðøàðàñâåðøèíàìèäàííîãîòåòðàýäðà. Îíðàçîáüåòñÿíà÷åòûðåòåòðàýäðà.Èõâûñîòû,îïóùåííûåèçöåí- òðàíàãðàíèäàííîãîòåòðàýäðà,ðàâíû.Òàêêàêîáúåìòåòðàýäðà ðàâåíòðåòèïðîèçâåäåíèÿîñíîâàíèÿíàâûñîòó,îòíîøåíèåîáúåìîâ óêàçàííûõòåòðàýäðîâðàâíî S A : S B : S C : S D .Ïîýòîìóîòíîøåíèåîáúå- ìîâòåòðàýäðîâñîáùèìîñíîâàíèåì S A ðàâíî ( S A + S B + S C + S D ): S A . Çíà÷èò,îòíîøåíèåèõâûñîò,îïóùåííûõíàîáùååîñíîâàíèå,òà- êîåæå.Èçñîîáðàæåíèéïîäîáèÿñëåäóåò,÷òîåñëè÷åðåç A èöåíòð øàðàïðîâåñòèïðÿìóþäîïåðåñå÷åíèÿñóêàçàííûìîñíîâàíèåì,òî ýòîòöåíòðáóäåòäåëèòüååâîòíîøåíèè S A :( S B + S C + S D ) .Èççàäà÷24 è34ëåãêîâûâîäèòñÿðåøåíèåçàäà÷è33. 34 9. Öåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà Âçàêëþ÷åíèååùåîäíàçàäà÷àîíàõîæäåíèèöåíòðàìàññìíîãî- ãðàííîéïîâåðõíîñòè(ýòîòåîðåìàèçêíèãè[2]). Çàäà÷à35. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðìàññáîêîâîéïîâåðõíîñòèïè- ðàìèäû,óêîòîðîéîñíîâàíèåâûñîòûÿâëÿåòñÿöåíòðîìâïèñàííîãî âîñíîâàíèåêðóãà(â÷àñòíîñòè,ïðàâèëüíîéïèðàìèäû),ñîâïàäàåò ñöåíòðîììàññïåðèìåòðàñå÷åíèÿïèðàìèäû,ïàðàëëåëüíîãîîñíîâà- íèþèäåëÿùåãîâûñîòóïèðàìèäûâîòíîøåíèè 1:2 (âíàïðàâëåíèè îòîñíîâàíèÿêâåðøèíå). Îòñòóïëåíèåïðîçàìå÷àòåëüíûåòî÷êèòåòðàýäðà Öåíòðìàññòåòðàýäðàÿâëÿåòñÿîäíîéèçåãîíàèáîëååçàìå÷à- òåëüíûõòî÷åê.Êðîìåóêàçàííûõâûøåååñâîéñòâìîæíîîòìåòèòü ñëåäóþùåå(òåîðåìàËåéáíèöà). Çàäà÷à36. Äîêàæèòå,÷òîñóììàêâàäðàòîâðàññòîÿíèéîòòî÷êè äîâåðøèíòåòðàýäðàäîñòèãàåòìèíèìóìàâåãîöåíòðîèäå.Òàêàÿæå òåîðåìàñïðàâåäëèâàèäëÿòðåóãîëüíèêà. Óêàçàíèÿêðåøåíèþýòîéçàäà÷èïîÿâÿòñÿäàëåå. Óòåòðàýäðàåñòüåùåíåñêîëüêîçàìå÷àòåëüíûõòî÷åê,ÿâëÿþùèõ- ñÿàíàëîãàìèñîîòâåòñòâóþùèõòî÷åêòðåóãîëüíèêà.Íàïðèìåð,ýòî öåíòðâïèñàííîãîøàðà(òî÷êàïåðåñå÷åíèÿáèññåêòðèñòðåõãðàííûõ óãëîâ)èöåíòðîïèñàííîãîøàðà(òî÷êàïåðåñå÷åíèÿïåðïåíäèêóëÿ- ðîâêãðàíÿì,âîññòàíîâëåííûõèçöåíòðîâîïèñàííûõâîêðóãíèõ êðóãîâ). Èçâåñòåíñëåäóþùèéôàêò(ñì.,íàïðèìåð,[11]). Çàäà÷à37. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðûîïèñàííîãîèâïèñàííîãîøà- ðîâñîâïàäàþòòîëüêîóðàâíîãðàííîãîòåòðàýäðà. Óêàçàíèå. Ñïðîåêòèðóåìîáùèéöåíòðíàâñåãðàíè.Êàæäàÿïðî- åêöèÿïîïàäàåòâíóòðüãðàíèèñîâïàäàåòñöåíòðîìîïèñàííîãî êðóãàäëÿýòîéãðàíè,çíà÷èò,âñåãðàíèîñòðîóãîëüíûå,ïðè÷åìðà- äèóñûîïèñàííûõêðóãîâäëÿâñåõãðàíåéáóäóòðàâíû.Èçòåîðåìû îâïèñàííûõóãëàõñëåäóåò,÷òîïëîñêèåóãëûâëþáûõäâóõãðàíÿõ, ïðîòèâîïîëîæíûåèõîáùåìóðåáðó,ðàâíû.Çíà÷èò,ñóììàïëîñêèõ óãëîâïðèëþáîéâåðøèíåðàâíà 180 ãðàäóñîâ,òàêêàêýòèóãëû ðàâíûóãëàìãðàíè,ïðîòèâîïîëîæíîéýòîéâåðøèíå.Ðàññìîòðèì ðàçâåðòêóòåòðàýäðàíàåãîîñíîâàíèå,îòîãíóâîñòàëüíûåòðèãðà- íè(ïîâîðà÷èâàÿèõâîêðóãñîîòâåòñòâóþùèõðåáåðîñíîâàíèÿ)òàê, ÷òîáûîíèëåãëèíàåãîïëîñêîñòü.Ïîëó÷åííàÿðàçâåðòêàñîñòîèò 9. Öåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà 35 èç÷åòûðåõòðåóãîëüíèêîâ,ðàâíûõãðàíÿìòåòðàýäðà,êîòîðûåîá- ðàçóþòøåñòèóãîëüíèêñîâïèñàííûìâíåãîòðåóãîëüíèêîì(îñíî- âàíèåìòåòðàýäðà).Èçðàâåíñòâàñóììûïëîñêèõóãëîâïðèëþáîé âåðøèíå 180 ãðàäóñàìñëåäóåò,÷òîíàñàìîìäåëåýòîòøåñòèóãîëü- íèêâûðîæäàåòñÿâòðåóãîëüíèê,óêîòîðîãîñðåäèííûéòðåóãîëüíèê ñîâïàäàåòñðàññìàòðèâàåìûìîñíîâàíèåìòåòðàýäðà.Ïîýòîìóâñå ÷åòûðåðàññìàòðèâàåìûõòðåóãîëüíèêàðàâíû,ò.å.ãðàíèòåòðàýäðà ðàâíû.Åñëèæåãðàíèòåòðàýäðàðàâíû,òîñîãëàñíîçàäà÷å39öåíòð îïèñàííîãîøàðàñîâïàäàåòñöåíòðîèäîìòåòðàýäðà,èñíèìæå ñîâïàäàåòöåíòðâïèñàííîãîøàðàñîãëàñíîçàäà÷å33. Åñòü,êîíå÷íî,èäðóãèåçàìå÷àòåëüíûåòî÷êè.Íàïðèìåð, òî÷êà ËåìóàíàËþèëüå òðåóãîëüíèêàèìååòàíàëîãîìòî÷êóËþèëüåòåò- ðàýäðàýòîòàêàÿòî÷êà,äëÿêîòîðîéñóììàêâàäðàòîâðàññòîÿíèé äîãðàíåéòåòðàýäðàìèíèìàëüíà(ñì.,íàïðèìåð,[8,11]). Íîâûñîòûòåòðàýäðàíåîáÿçàòåëüíîïåðåñåêàþòñÿâîäíîéòî÷êå. Åñëèýòîòàê,òîòåòðàýäðíàçûâàåòñÿ îðòîöåíòðè÷åñêèì 24 . Êàêïîêàçûâàåòçàäà÷à33,öåíòðâïèñàííîãîøàðàñîâïàäàåò ñöåíòðîèäîìíåòîëüêîóïðàâèëüíîãî,íîèóëþáîãîðàâíîãðàííîãî òåòðàýäðà(âîòëè÷èåîòöåíòðàâïèñàííîãîêðóãàòðåóãîëüíèêà.) Íàéòèòî÷êó,âêîòîðîéäîñòèãàåòñÿìèíèìóìñóììûðàññòîÿíèé äîâåðøèíïðîèçâîëüíîãîòåòðàýäðà,íåïðîñòî.Âñëó÷àåîñòðîóãîëü- íîãî 25 òðåóãîëüíèêàòàêàÿòî÷êà(íàçûâàåìàÿ òî÷êîéÒîððè÷åëëè ) èùåòñÿëåãêî èçíååâñåñòîðîíûòðåóãîëüíèêàâèäíûïîäðàâíûìè óãëàìè. Çàäà÷à38. Äîêàæèòå,÷òîòî÷êà,âêîòîðîéäîñòèãàåòñÿìèíè- ìóìñóììûðàññòîÿíèéäîâåðøèíðàâíîãðàííîãîòåòðàýäðà,ñîâïà- äàåòñöåíòðîìîïèñàííîãîøàðàèöåíòðîèäîìòåòðàýäðà. Óêàçàíèå. Óðàâíîãðàííîãîòåòðàýäðàïðîòèâîïîëîæíûåðåáðà ðàâíû,àáèìåäèàíûïåðïåíäèêóëÿðíûñîåäèíÿåìûìèìèðåáðàì èïåðåñåêàþòñÿâöåíòðîèäåèöåíòðåîïèñàííîãîøàðà. Çàäà÷à39. Äîêàæèòå,÷òîöåíòðîèäòåòðàýäðàñîâïàäàåòñöåí- òðîìîïèñàííîãîøàðàòîëüêîóðàâíîãðàííûõòåòðàýäðîâ. Óêàçàíèå. Áèìåäèàíûäåëÿòñÿöåíòðîèäîìïîïîëàì.Òðåóãîëüíèêè, îáðàçîâàííûåöåíòðîèäîìèðåáðàìèòåòðàýäðà,ðàâíîáåäðåííûå, 24 Îíåìòîæååñòü,÷òîñêàçàòü,íîîòñòóïëåíèéèòàêáûëîñäåëàíîìíîãî. 25 Äîñòàòî÷íî,÷òîáûåãîóãëûáûëèìåíüøå 120 ãðàäóñîâ. 36 9. Öåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà çíà÷èò,âíèõìåäèàíûñîâïàäàþòñâûñîòàìè,ò.å.áèìåäèàíûïåð- ïåíäèêóëÿðíûñâîèìðåáðàì(àçíà÷èò,ÿâëÿþòñÿòàêæåáèâûñîòà- ìè),àýòîâîçìîæíîòîëüêîóðàâíîãðàííîãîòåòðàýäðà. Çàäà÷à40. Äîêàæèòå,÷òîâñåìåäèàíûðàâíûòîëüêîóðàâíî- ãðàííîãîòåòðàýäðà.Àíàëîãè÷íîåóòâåðæäåíèåâåðíîäëÿâûñîò.Âåð- íîëèîíîäëÿáèññåêòðèñ? Óêàçàíèå. Óòâåðæäåíèåïðîìåäèàíûñëåäóåòèççàäà÷23è39. Óòâåðæäåíèåïðîâûñîòûñëåäóåòèçôîðìóëûäëÿîáúåìàòåòðàýäðà, êîòîðàÿïîêàçûâàåò,÷òîåñëèâûñîòûðàâíû,òîïëîùàäèãðàíåéòîæå. Äàëååíàìïîíàäîáèòñÿñëåäóþùèéïîëåçíûéôàêò. Çàäà÷à41. Äîêàæèòå,÷òîîáúåìòåòðàýäðàìîæíîâûðàçèòü÷å- ðåçåãîäâóãðàííûéóãîë ïðèðåáðå a èïëîùàäè S 1 , S 2 ãðàíåé, ñîäåðæàùèõýòîðåáðî,ïîôîðìóëå 2 3 S 1 S 2 sin a . Ñëåäóþùàÿçàäà÷àÿâëÿåòñÿàíàëîãîìñâîéñòâàáèññåêòðèñûòðå- óãîëüíèêà. Çàäà÷à42. Äîêàæèòå,÷òîáèññåêòðàëüíàÿïëîñêîñòüäåëèòïðî- òèâîïîëîæíîåðåáðîòåòðàýäðàïðîïîðöèîíàëüíîïëîùàäÿìãðàíåé, ñîåäèíÿåìûõýòèìðåáðîì. Óêàçàíèå. Âîçüìèòåäâàòåòðàýäðà,íàêîòîðûåáèññåêòðàëüíàÿ ïëîñêîñòüäåëèòäàííûéòåòðàýäð.Îòíîøåíèåèõîáúåìîâðàâíî îòíîøåíèþïëîùàäåéãðàíåé,ìåæäóêîòîðûìèîíàïðîâåäåíà.Ðàñ- ñìàòðèâàÿýòèòåòðàýäðûñîñòîðîíûîáùåãîîñíîâàíèÿ,ïîëó÷àåì, ÷òîîòíîøåíèåèõâûñîò(ðàâíîåîòíîøåíèþ,âêîòîðîìäåëèòñÿ ïðîòèâîïîëîæíîåðåáðî)ðàâíîîòíîøåíèþïëîùàäåéãðàíåé,ñî- åäèíÿåìûõýòèìðåáðîì. Îòðàçèììåäèàííóþïëîñêîñòüîòíîñèòåëüíîïðîõîäÿùåé÷åðåç òîæåðåáðîáèññåêòðàëüíîéïëîñêîñòè.Ïîëó÷åííóþïëîñêîñòüíàçî- âåì ñèìåäèàííîéïëîñêîñòüþ . Ñëåäóþùàÿçàäà÷àÿâëÿåòñÿàíàëîãîìîäíîãîñâîéñòâàìåäèàíû òðåóãîëüíèêà. Çàäà÷à43. Äîêàæèòå,÷òîìåäèàííàÿïëîñêîñòüäåëèòäâóãðàí- íûéóãîë,îáðàçîâàííûéãðàíÿìèñïëîùàäÿìè S 1 , S 2 ,íàóãëû 1 , 2 , òàê,÷òî sin 1 sin 2 = S 2 S 1 . 9. Öåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà 37 Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòåäâàòåòðàýäðà,íàêîòîðûåìåäèàííàÿ ïëîñêîñòüäåëèòäàííûéòåòðàýäð.Èõîáúåìûðàâíû.Ïîýòîìóñî- ãëàñíîçàäà÷å41èìååì S 1 sin 1 = S 2 sin 2 . Ñëåäóþùàÿçàäà÷àÿâëÿåòñÿàíàëîãîìñâîéñòâàñèìåäèàíòðå- óãîëüíèêà. Çàäà÷à44. Äîêàæèòå,÷òîñèìåäèàííàÿïëîñêîñòüóãëàìåæäó ãðàíÿìècïëîùàäÿìè S 1 , S 2 äåëèòïðîòèâîïîëîæíîåðåáðîâîò- íîøåíèè S 2 1 : S 2 2 .Ýòàïëîñêîñòüåñòüãåîìåòðè÷åñêîåìåñòîòî÷åê, ðàññòîÿíèÿîòêîòîðûõäîýòèõãðàíåéîòíîñÿòñÿêàê S 1 : S 2 . Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòåäâàòåòðàýäðà,íàêîòîðûåñèìåäèàííàÿ ïëîñêîñòüäåëèòäàííûéòåòðàýäð.Ñîãëàñíîçàäà÷àì43è41îòíî- øåíèåèõîáúåìîâðàâíî S 2 1 : S 2 2 .Óíèõîáùååîñíîâàíèå,ïîýòîìó îòíîøåíèåâûñîòòîæåðàâíî S 2 1 : S 2 2 .Çíà÷èò,èïðîòèâîïîëîæíîå ðåáðî,èçêîíöîâêîòîðîãîïðîâåäåíûýòèâûñîòû,äåëèòñÿñèìåäèàí- íîéïëîñêîñòüþâîòíîøåíèè S 2 1 : S 2 2 .Ðàññìîòðèìâûñîòûòåòðàýäðîâ, îïóùåííûåíàãðàíè S 1 , S 2 .Òàêêàêîáúåìûòåòðàýäðîâîòíîñÿòñÿêàê S 2 1 : S 2 2 ,ýòèâûñîòûîòíîñÿòñÿêàê S 1 : S 2 .È,íàêîíåö,òåîðåìàËþèëüå. Çàäà÷à45 (Ëþèëüå). Äîêàæèòå,÷òîòî÷êàËþèëüåäàííîãîòåò- ðàýäðàñîâïàäàåòñòî÷êîé,ðàññòîÿíèÿîòêîòîðîéäîãðàíåéïðîïîð- öèîíàëüíûèõïëîùàäÿì.Âýòîéòî÷êåïåðåñåêàþòñÿâñåñèìåäèàí- íûåïëîñêîñòè. Óêàçàíèå. Åñëèïëîùàäèãðàíåéðàâíû S i ,àðàññòîÿíèÿîòòî÷êè äîíèõðàâíû d i ,òî S 1 d 1 + ... + S 4 d 4 íåçàâèñèòîòïîëîæåíèÿòî÷- êèèðàâíî 3 V óòðîåííîìóîáúåìóäàííîãîòåòðàýäðà.Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâóÊîøè ( S 2 1 + ... + S 2 4 )( d 2 1 + ... + d 2 4 ) ¾ ( S 1 d 1 + ... + S 4 d 4 ) 2 = 9 V 2 , îòêóäàñëåäóåò,÷òî d 2 1 + ... + d 2 4 ¾ 9 V 2 S 2 1 + ... + S 2 4 . Ðàâåíñòâîäîñòèãàåòñÿ,òîëüêîêîãäà d 1 : d 2 : d 3 : d 4 = S 1 : S 2 : S 3 : S 4 . Çàäà÷à46. Äîêàæèòå,÷òîòî÷êàËþèëüåñîâïàäàåòñöåíòðîì âïèñàííîãîøàðàòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàòåòðàýäððàâíîãðàííûé. Óêàçàíèå. Ñì.çàäà÷ó45. 38 10. Áûñòðîåïîñòðîåíèåöåíòðàìàññêîíå÷íîéñèñòåìûòî÷åê Çàäà÷à47. Äîêàæèòå,÷òîòî÷êàËþèëüåòåòðàýäðàñïëîùàäÿìè ãðàíåé S A , S B , S C , S D èìååòîòíîñèòåëüíîýòîãîòåòðàýäðàáàðèöåí- òðè÷åñêèåêîîðäèíàòû S 2 A : S 2 B : S 2 C : S 2 D . Óêàçàíèå. Ñîåäèíèìòî÷êóËþèëüåñâåðøèíàìèäàííîãîòåòðà- ýäðà.Îíðàçîáüåòñÿíà÷åòûðåòåòðàýäðà.Èõâûñîòû,îïóùåííûå èçòî÷êèËþèëüåíàãðàíèäàííîãîòåòðàýäðà,îòíîñÿòñÿäðóãêäðóãó êàê S A : S B : S C : S D .Òàêêàêîáúåìòåòðàýäðàðàâåíòðåòèïðîèçâåäåíèÿ îñíîâàíèÿíàâûñîòó,îòíîøåíèåîáúåìîâóêàçàííûõòåòðàýäðîâðàâ- íî S 2 A : S 2 B : S 2 C : S 2 D .Ïîýòîìóîòíîøåíèåîáúåìîâòåòðàýäðîâñîáùèì îñíîâàíèåì S A ðàâíî ( S 2 A + S 2 B + S 2 C + S D ): S 2 A .Çíà÷èò,îòíîøåíèåèõ âûñîò,îïóùåííûõíàîáùååîñíîâàíèå,òàêîåæå.Èçñîîáðàæåíèé ïîäîáèÿñëåäóåò,÷òîåñëè÷åðåç A èòî÷êóËþèëüåïðîâåñòèïðÿìóþ äîïåðåñå÷åíèÿñóêàçàííûìîñíîâàíèåì,òîîíàáóäåòäåëèòüïî- ñòðîåííûéîòðåçîêâîòíîøåíèè S 2 A :( S 2 B + S 2 C + S 2 D ) .Èçóòâåðæäåíèÿ çàäà÷è47íåìåäëåííîåñëåäóåòóòâåðæäåíèåçàäà÷46èñëåäóþùåé çàäà÷è. Çàäà÷à48. Äîêàæèòå,÷òîâòåòðàýäðåèçòðåõòî÷åê:öåíòðîèäà, öåíòðàâïèñàííîãîøàðàèòî÷êèËþèëüåõîòÿáûäâåñîâïàäàþò. Òîãäàñîâïàäàþòâñåòðèèòåòðàýäððàâíîãðàííûé.Âåðíîèîáðàòíîå. Óêàçàíèå. Èñïîëüçóéòåáàðèöåíòðè÷åñêèåêîîðäèíàòû. Çàäà÷à49. Êîãäàóòåòðàýäðàöåíòðîïèñàííîãîøàðàñîâïàäàåò ñòî÷êîéËþèëüå?Óðàâíîãðàííûõòåòðàýäðîâýòîòàê. 10.Áûñòðîåïîñòðîåíèåöåíòðàìàññ êîíå÷íîéñèñòåìûòî÷åê Ñîãëàñíîóêàçàííîìóâûøåâåêòîðíîìóñïîñîáóâû÷èñëåíèÿöåí- òðàìàññïîôîðìóëå v = 1 v 1 + ... + n v n , i = m i m , m = m 1 + ... + m n , ïîñòðîåíèåöåíòðàìàññöèðêóëåìèëèíåéêîé(åñëèâåëè÷èíûìàññ çàäàíûââèäåäëèíäàííûõ n îòðåçêîâ)ìîæíîâûïîëíèòüñëåäóþ- ùèìîáðàçîì.Âûáåðåìâêà÷åñòâåòî÷êèïðèëîæåíèÿðàäèóñ - âåê- òîðîâòî÷êó,ñîâïàäàþùóþñïîëîæåíèåìîäíîéèççàäàííûõìàññ. Òîãäà ìîæíîñ÷èòàòü,÷òîâåêòîð v n ðàâåí0,èíåó÷èòûâàòüåãî ââû÷èñëåíèÿõ.Ñôîðìàëüíîéòî÷êèçðåíèÿýòîîçíà÷àåòçàìåíó n íà n � 1 .Âíà÷àëåïîñòðîèìâñåðàäèóñ - âåêòîðû m i v i .Êàæäîåèçýòèõ 10. Áûñòðîåïîñòðîåíèåöåíòðàìàññêîíå÷íîéñèñòåìûòî÷åê 39 Ðèñ.22. Óìíîæåíèåâåêòîðàíà÷èñëî ïîñòðîåíèé(ñì.ðèñ.22)òðåáóåòïðîâåäåíèÿ÷åòûðåõëèíèé 26 ,îäíà èçêîòîðûõÿâëÿåòñÿïðîäîëæåíèåìâåêòîðà v i ,åñëè÷åðåçíà÷àëîêî- îðäèíàò O çàðàíååïðîâåäåíàïîäõîäÿùàÿïðÿìàÿèíàíåéîòëîæåíû îò O îòðåçêèñäëèíàìè 1 , m i , i = 1, ... , n � 1 .Î÷åâèäíîäëÿïðîâå- äåíèÿýòèõïîñòðîåíèéòðåáóåòñÿïðîâåñòè 4( n � 1) + n + 1 = 5 n � 3 ëèíèé. Ïîòîìíóæíîâûïîëíèòüñëîæåíèå n � 1 ïîëó÷åííûõâåêòîðîâ, ïîñëåäîâàòåëüíîïðèáàâëÿÿïîâåêòîðó,èñïîëüçóÿïîñòðîåíèå,èçîá- ðàæåííîåíàðèñ.12.Äëÿýòîãîòðåáóåòñÿåùå 2( n � 2) ëèíèé.Èâêîí- öåíàäîïîäåëèòüïîëó÷åííûéâåêòîðíà÷èñëî m 1 + ... + m n � 1 .Äëÿ ýòîãîíóæíîåùå n � 2 çàñå÷åêöèðêóëåìäëÿïîñòðîåíèÿíàäàííîé ïðÿìîéñåäèíè÷íûìîòðåçêîìîòðåçêàäëèíû m 1 + ... + m n � 1 è÷åòû- ðåëèíèèäëÿâûïîëíåíèÿäåëåíèÿ(ñì.ðèñ.23).Îáùåå÷èñëîïðîâå- äåííûõëèíèéðàâíî 9 n � 6 .Íîåñòüáîëååýôôåêòèâíûéñïîñîá.Íóæ- íîíàêàæäîìøàãåñòðîèòüöåíòðìàñññèñòåìûòî÷åê f m 1 , ... , m i g èîòðåçîêäëèíû m 1 + ... + m i âïðåäïîëîæåíèè,÷òîöåíòðìàññ ñèñòåìûòî÷åê f m 1 , ... , m i � 1 g èîòðåçîêäëèíû m 1 + ... + m i � 1 óæå ïîñòðîåíû.Äëÿýòîãîäîñòàòî÷íî÷åðåçòî÷êó m i ïðîâåñòèïîäõîäÿ- ùóþïðÿìóþ,îòëîæèòüíàíåéîòýòîéòî÷êèîòðåçêèñäëèíàìè m 1 + ... + m i � 1 è m i äðóãçàäðóãîì(äëÿýòîãîòðåáóåòñÿòðèëè- íèè,ïðè÷åìáóäåòïîñòðîåíîòðåçîêäëèíû m 1 + ... + m i )èðàç- äåëèòüîòðåçîê,ñîåäèíÿþùèéòî÷êó m i ñöåíòðîììàñññèñòåìû òî÷åê f m 1 , ... , m i � 1 g ,âîòíîøåíèè ( m 1 + ... + m i � 1 ): m i ,èñïîëüçóÿïî- ñòðîåíèå,èçîáðàæåííîåíàðèñ.23.Äëÿýòîãîòðåáóåòñÿåùå÷åòûðå ëèíèè.Âèòîãåíàêàæäîìøàãåèñïîëüçóåòñÿñåìüëèíèé,àîáùåå èõ÷èñëîðàâíî 7( n � 2) .Ýòîòñïîñîáïðåäïî÷òèòåëüíåååùåèòåì, ÷òîâñåïîñòðîåííûåâñïîìîãàòåëüíûåòî÷êè(öåíòðûìàññ)ëåæàò ââûïóêëîéîáîëî÷êåäàííîéñèñòåìûòî÷åê(çíà÷èò,íåòðåáóåòñÿ ïðîâîäèòüñëèøêîìäëèííûõëèíèé). 26 Çäåñüèäàëååïîäëèíèÿìèïîíèìàþòñÿïðÿìûåèîêðóæíîñòè. 40 10. Áûñòðîåïîñòðîåíèåöåíòðàìàññêîíå÷íîéñèñòåìûòî÷åê Ðèñ.23. Äåëåíèåîòðåçêàâäàííîìîòíîøåíèè Íàéòèöåíòðñèñòåìû n ðàâíûõìàññ(ò.å.öåíòðîèä)ìîæíîáûñò- ðåå.Äëÿýòîãîñíà÷àëàíàõîäèìñóììóâñåõâåêòîðîâ,èñïîëüçóÿïî- ñòðîåíèå,èçîáðàæåííîåíàðèñ.12,àïîòîìäåëèìïîëó÷åííûéâåê- òîðíà n .Äåëåíèåìîæíîâûïîëíèòüòàê,êàêíàðèñ.23,åñëèâûáðàòü ïðîèçâîëüíûéîòðåçîêçàåäèíèöóèçìåðåíèÿèïðåäâàðèòåëüíîïî- ñòðîèòüîòðåçîêäëèíû n .Ýòîìîæíîñäåëàòüñîñëîæíîñòüþ O ( log n ) èäàæåìåíüøåé(ñì.[7]). Âñëó÷àÿõ n = 3,4,6,8 åñòüåùåáîëååïðîñòîåïîñòðîåíèå.Äëÿ n = 3 âûøåóæåóêàçûâàëîñüïîñòðîåíèåñëîæíîñòè 5 .Äëÿ n = 4 ïðè- ìåíÿåìóêàçàííûéâûøåîáùèéñïîñîá,íîóìíîæåíèåïîëó÷åííîãî âåêòîðàíà 1 = 4 âûïîëíÿåìñëåäóþùèìîáðàçîì.Ïðîâåäåìîòðåçîê ÷åðåçåãîêîíöû,ïîäåëèìåãîïîïîëàìèïîäõîäÿùóþåãîïîëîâèíó åùåïîïîëàì.Êàæäîåäåëåíèåïîïîëàìñïîñîáîì,èçîáðàæåííûì íàðèñ.16,òðåáóåòïðîâåäåíèÿäâóõîêðóæíîñòåéèïðÿìîé.Îáùàÿ ñëîæíîñòüýòèõäâóõäåëåíèéðàâíà 7 .Íîåñëèâûáðàòüâïåðâîìäåëå- íèèîêðóæíîñòèòàê,÷òîáûîíèîáåïðîõîäèëè÷åðåçêîíöûîòðåçêà, òîïðèäåëåíèèïîïîëàìïîëó÷åííîéåãîïîëîâèíûìîæíîïðîâîäèòü îêðóæíîñòèòîãîæåðàäèóñà,ïðèýòîìîêðóæíîñòüñöåíòðîìâêîíöå îòðåçêàñîâïàäåòñóæåïðîâåäåííîé,èñëîæíîñòüóìåíüøèòñÿäî 6 . Ïîëíàÿñëîæíîñòüóêàçàííîãîïîñòðîåíèÿðàâíà 10 .Åñëè n = 6 ,òî äëÿêàæäîéòðîéêèñòðîèìöåíòðñïîìîùüþïÿòèëèíèé,èîñòàåòñÿ ïîäåëèòüïîïîëàìîòðåçîê,ñîåäèíÿþùèéïîñòðîåííûåäâåòî÷êè, ñîñëîæíîñòüþ 4 .Ïîëíàÿñëîæíîñòüóêàçàííîãîïîñòðîåíèÿðàâíà 14 . Äëÿ n = 8 ïðèìåíÿåìîáùèéñïîñîá,íîóìíîæåíèåïîëó÷åííîãî âåêòîðàíà 1 = 8 âûïîëíÿåìñëåäóþùèìîáðàçîì.Ïðîâåäåìîòðåçîê÷å- ðåçåãîêîíöû,ïîäåëèìåãîïîïîëàì,ïîäõîäÿùóþåãîïîëîâèíóîïÿòü ïîïîëàì,àïîòîìåùåïîïîëàì.Óìíîæåíèåíà1/4âûïîëíÿëîñü, 11. Áûñòðîåïîñòðîåíèåöåíòðàìàññìíîãîóãîëüíèêà 41 êàêóêàçàíîâûøå,ñîñëîæíîñòüþ 6 .Ïîñëåäíååäåëåíèåïîïîëàìòðå- áóåòåùåäâóõëèíèé(âíåìèñïîëüçóåòñÿïîñòðîåííàÿðàíååîêðóæ- íîñòü).Ïîëíàÿñëîæíîñòüóêàçàííîãîïîñòðîåíèÿðàâíà 12 + 8 = 20 . 11.Áûñòðîåïîñòðîåíèåöåíòðàìàññ ìíîãîóãîëüíèêà Îöåíèìñëîæíîñòüïîñòðîåíèÿöåíòðàìàññ n - óãîëüíèêàïðè n � 4 . Âûøåáûëóêàçàíîäèíñïîñîáåãîïîñòðîåíèÿ.Äëÿýòîãîåãîäî- ñòàòî÷íîðàçðåçàòüíà n � 2 òðåóãîëüíèêà,äëÿêàæäîãîèçíèõïî- ñòðîèòüöåíòðìàññ(ýòîäåëàåòñÿñîñëîæíîñòüþ 5( n � 2) ),ïîñòðî- èòüîòðåçêè,äëèíûêîòîðûõðàâíûïëîùàäÿìýòèõòðåóãîëüíèêîâ (îòðåçîêåäèíè÷íîéäëèíûìîæíîâûáèðàòüïðîèçâîëüíî),èäàëåå ïîñòðîèòüöåíòðìàññïîëó÷åííîéñèñòåìû n � 2 ìàòåðèàëüíûõòî÷åê (âïðåäûäóùåìðàçäåëåáûëîïîêàçàíî,÷òîýòîäåëàåòñÿñîñëîæíî- ñòüþ 7(( n � 2) � 2) = 7( n � 4) ).Îáùåå÷èñëîñòîðîíó n � 2 òðåóãîëü- íèêîâðàâíî 3( n � 2) ,ïðè÷åì n ñòîðîí n - óãîëüíèêàìîæíîñ÷èòàòü çàäàííûìè,èòîãäà÷èñëîñòîðîí n � 2 òðåóãîëüíèêîâ,ëåæàùèõ âíóòðè n -óãîëüíèêà,âû÷èñëÿåòñÿïîôîðìóëå 3( n � 2) � n 2 = n � 3. Ýòèñòîðîíûìîæíîïîñòðîèòü,ïðîâåäÿ n � 3 îòðåçêà.Îñòàåòñÿ îöåíèòüñëîæíîñòüïîñòðîåíèÿîòðåçêà,ðàâíîãîïëîùàäèäàííîãî òðåóãîëüíèêà.Ýòîìîæíîñäåëàòü,ðåøèâñëåäóþùèåçàäà÷è. Çàäà÷à50. Äîêàæèòå,÷òîâûñîòóòðåóãîëüíèêàìîæíîïîñòðî- èòüñîñëîæíîñòüþ 4 . Óêàçàíèå. Ðàçäåëèòåîäíóèçåãîñòîðîíïîïîëàìñîñëîæíîñòüþ 3 èïîñòðîéòåíàýòîéñòîðîíåêàêíàäèàìåòðåîêðóæíîñòü,òîãäàòî÷- êàååïåðåñå÷åíèÿñäðóãîéñòîðîíîéÿâëÿåòñÿîñíîâàíèåìâûñîòû, îïóùåííîéíàýòóñòîðîíó,ïîñêîëüêóäèàìåòðâèäåíèçëþáîéòî÷êè îêðóæíîñòèïîäïðÿìûìóãëîì. Çàäà÷à51. Äîêàæèòå,÷òîóäâîåííóþïëîùàäüòðåóãîëüíèêà(ïðè ïîäõîäÿùåìâûáîðååäèíèöûèçìåðåíèÿäëèí)ìîæíîïîñòðîèòüñî ñëîæíîñòüþ 10 . Óêàçàíèå. Óäâîåííàÿïëîùàäüðàâíàïðîèçâåäåíèþîñíîâàíèÿ íàâûñîòó.Äëÿâûïîëíåíèÿóìíîæåíèÿîòðåçêîâñëåäóåòïðèìåíèòü 42 11. Áûñòðîåïîñòðîåíèåöåíòðàìàññìíîãîóãîëüíèêà ïðèåì,èçîáðàæåííûéíàðèñ.22.Åäèíè÷íûéîòðåçîêìîæíîîòëî- æèòüíàîñíîâàíèè(âûáðàâåãîòàê,÷òîáûîíáûëêîðî÷åîñíîâà- íèÿ),àíàáîêîâîéñòîðîíåîòëîæèòüâûñîòó,òîãäàîòðåçîêíàáîêî- âîéñòîðîíå,ðàâíûéïðîèçâåäåíèþîñíîâàíèÿíàâûñîòó,ñòðîèòñÿ ñîñëîæíîñòüþ 6 .Òåïåðüîêîí÷àòåëüíîñëîæíîñòüïîñòðîåíèÿöåíòðà ìàññìîæíîîöåíèòüêàê ( n � 3) + 5( n � 2) + 10( n � 2) + 7( n � 4) = 23 n � 61. Ðàññìîòðèìäðóãîéñïîñîáïîñòðîåíèÿ.Ðàçîáüåì n - óãîëüíèê(äëÿ ïðîñòîòûïðåäïîëàãàåì,÷òîîíâûïóêëûé)íà÷åòûðåõóãîëüíèêè (èâñëó÷àåíå÷åòíîãî n åùåîäèíòðåóãîëüíèê).Äëÿýòîãîâðàçáèå- íèèíà n � 2 òðåóãîëüíèêàîáúåäèíèìïàðûòðåóãîëüíèêîâñîáùåé ñòîðîíîéâ÷åòûðåõóãîëüíèêè.Âñëó÷àå÷åòíîãî n ÷èñëîïîëó÷åííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâðàâíî n 2 � 1 ,àâñëó÷àåíå÷åòíîãî n � 3 2 .Ïî- ñòðîèìóêàæäîãîèçýòèõ÷åòûðåõóãîëüíèêîâöåíòðìàñññïîñîáîì, óêàçàííûìâðàçäåëå6.Ñëîæíîñòüýòîãîïîñòðîåíèÿðàâíà ( n � 3) + 16 € n 2 � 1 Š = 9 n � 19 (äàëååðàññìàòðèâàåìñëó÷àé÷åòíîãî n ).Ïîñòðîèìîòðåçêè,äëèíû êîòîðûõðàâíûïëîùàäÿìýòèõ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ.Èíàêîíåö,ïî- ñòðîèìöåíòðìàññïîëó÷åííîéñèñòåìû n 2 � 1 ìàòåðèàëüíûõòî÷åê ñîñëîæíîñòüþ 7 € n 2 � 3 Š .Îñòàåòñÿîöåíèòüñëîæíîñòüïîñòðîåíèÿ ñèñòåìûîòðåçêîâ,ïðîïîðöèîíàëüíûõïëîùàäÿìïîñòðîåííûõ÷åòû- ðåõóãîëüíèêîâ. Çàäà÷à52. Äîêàæèòå,÷òîóäâîåííóþïëîùàäü÷åòûðåõóãîëüíè- êà(ïðèïîäõîäÿùåìâûáîðååäèíèöûèçìåðåíèÿäëèí)ìîæíîïî- ñòðîèòüñîñëîæíîñòüþ 16 . Óêàçàíèå. Îïóñòèìíàäèàãîíàëü÷åòûðåõóãîëüíèêàïåðïåíäèêó- ëÿðûèçêîíöîâäðóãîéäèàãîíàëè.Óäâîåííàÿïëîùàäü÷åòûðåõóãîëü- íèêàðàâíàïðîèçâåäåíèþýòîéäèàãîíàëèíàñóììóäëèíóêàçàííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ.Ïîñòðîèòüîáàïåðïåíäèêóëÿðàìîæíîñïîìîùüþ çàäà÷è29ñîñëîæíîñòüþ 8 .Íàîäíîéèçñòîðîí÷åòûðåõóãîëüíèêà îòêëàäûâàåìîòðåçîê,äëèíàêîòîðîãîðàâíàñóììåýòèõïåðïåíäèêó- ëÿðîâ.Ýòîìîæíîñäåëàòüñîñëîæíîñòüþ 3 .Íàäèàãîíàëèîòêëàäûâà- åìîòðåçîêåäèíè÷íîéäëèíûñîñëîæíîñòüþ 1 .Òîãäàïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëèíàñóììóïåðïåíäèêóëÿðîâñòðîèòñÿñîñëîæíîñòüþ 4 ââèäåîòðåçêàíàñòîðîíå÷åòûðåõóãîëüíèêà. 12. Åùåíåêîòîðûåïðèëîæåíèÿìåõàíèêèêãåîìåòðèè 43 Òåïåðüîêîí÷àòåëüíîñëîæíîñòüïîñòðîåíèÿöåíòðàìàññìîæíî îöåíèòüïðè÷åòíîì n êàê 9 n � 19 + 16 € n 2 � 1 Š + 7 € n 2 � 3 Š = 20,5 n � 56. Ïðèíå÷åòíîì n îöåíêàèìååòâèä ( n � 3) + 8( n � 3) + 5 + 7( n � 1) 2 + 8( n � 3) + 10 = 20,5 n � 39,5. Êàêâèäíî,âòîðîéñïîñîáíåñêîëüêîáîëååýôôåêòèâåí. Çàäà÷à53. Îöåíèòåäâóìÿóêàçàííûìèñïîñîáàìèñëîæíîñòüïî- ñòðîåíèÿîòðåçêà,äëèíàêîòîðîãîðàâíàïëîùàäèäàííîãî n - óãîëüíèêà. 12.Åùåíåêîòîðûåïðèëîæåíèÿ ìåõàíèêèêãåîìåòðèè Õîòÿíàøåéöåëüþáûëîíàõîæäåíèåãåîìåòðè÷åñêèìèñïîñîáà- ìèöåíòðîâòÿæåñòèðàçëè÷íûõãåîìåòðè÷åñêèõôèãóðèòåë,ïî- ïóòíîáûëîïîëó÷åíîðåøåíèåìíîãèõèíòåðåñíûõçàäà÷ñïîìî- ùüþèñïîëüçîâàíèÿïîíÿòèÿöåíòðàìàññ.Òàêêàêýòîïîíÿòèåáû- ëîàêñèîìàòèçèðîâàíîèáûëàóêàçàíàâîçìîæíîñòüäîêàçàòåëüñòâà ýòèõàêñèîìñèñïîëüçîâàíèåìîáû÷íîéãåîìåòðè÷åñêîéàêñèîìàòè- êè,ïðèâåäåííûåðåøåíèÿìîæíîñ÷èòàòüíåìåíååñòðîãèìè,÷åì ðåøåíèÿ,ïîëó÷åííûåîáû÷íûì,÷èñòîãåîìåòðè÷åñêèìñïîñîáîì. ×èòàòåëü,æåëàþùèéîçíàêîìèòüñÿñäðóãèìèïðèìåðàìèðåøåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõçàäà÷ñïîìîùüþïîíÿòèÿöåíòðàìàññ(èäðóãèõ ñîîáðàæåíèéèçìåõàíèêè),ìîæåòñäåëàòüýòî,íàïðèìåð,ïîêíè- ãàì[3,12,13].Âêíèãå[3]ïðèâåäåíîìíîãîçàäà÷ñðåøåíèÿìè, îñíîâàííûìèíàèñïîëüçîâàíèèïîíÿòèÿöåíòðàìàññ(ïðè÷åìðàñ- ñìàòðèâàþòñÿíåòîëüêîîòðèöàòåëüíûå,íîèêîìïëåêñíûåìàññû âïîñëåäíåìñëó÷àåýòàòåìàòèêàòåñíîñìûêàåòñÿñïðèìåíåíèåì êîìïëåêñíûõ÷èñåëâãåîìåòðèè). Äàëååïðèâîäèòñÿíåñêîëüêîïðèìåðîâèñïîëüçîâàíèÿäëÿðåøå- íèÿçàäà÷ðàçëè÷íûõäðóãèõìåõàíè÷åñêèõñîîáðàæåíèé.Òàêêàê îíèóæåíåâûãëÿäÿòòàêèìèñòðîãèìè,êàê÷èñòîãåîìåòðè÷åñêèå, óêàçûâàþòñÿòàêæåèïóòèïîëó÷åíèÿòàêèõðåøåíèé. Ñëåäóþùàÿçàäà÷àîáîáùàåòçàäà÷ó36. Çàäà÷à54. Äîêàæèòå,÷òî P i m i r 2 i (âçâåøåííàÿñóììàêâàäðàòîâ ðàññòîÿíèéîòïðîèçâîëüíîéòî÷êè M äîäàííûõòî÷åê P i ïðè m i � 0 ) 44 12. Åùåíåêîòîðûåïðèëîæåíèÿìåõàíèêèêãåîìåòðèè ìèíèìàëüíàòîëüêîâòàêîéòî÷êå M ,÷òîñóììàâåêòîðîâ MP i ,óìíî- æåííûõíà m i ,ðàâíàíóëþ.Ýòàòî÷êàñîâïàäàåòñöåíòðîììàññ m i , ïîìåùåííûõâòî÷êè P i . Óêàçàíèå. Åñëèâçÿòüçàíà÷àëîêîîðäèíàòëþáóþòî÷êó O èîáî- çíà÷èòüâåêòîðû OP i êàê r i ,òîöåíòðìàññáóäåòâêîíöåâåêòîðà 1 P i m i X i m i r i ñíà÷àëîìâíà÷àëåêîîðäèíàò.ÏðèìåíèìñëåäóþùóþôîðìóëóËåéá- íèöàËàãðàíæàäëÿ ìîìåíòàèíåðöèè ñèñòåìûòî÷åê: m 1 r 2 1 + ... + m n r 2 n = m 1 ( r 1 � r ) 2 + ... + m n ( r n � r ) 2 + ( m 1 + ... + m n ) r 2 , ãäå r = 1 m P i m i r i , m = P i m i öåíòðìàññýòîéñèñòåìû.Äëÿäîêàçà- òåëüñòâàçàìåòèì,÷òî m 1 ( r 1 � r ) 2 + ... + m n ( r n � r ) 2 = = m 1 r 2 1 + ... + m n r 2 n + ( m 1 + ... + m n ) r 2 � 2( m 1 r 1 + ... + m n r n , r ), à ( m 1 r 1 + ... + m n r n , r ) = ( m 1 + ... + m n ) r 2 . ÔîðìóëàËåéáíèöàËàãðàíæàñïðàâåäëèâàèâïðîñòðàíñòâåí- íîìñëó÷àå.Èçíåå,â÷àñòíîñòè,ñëåäóåò,÷òîìèíèìóìñóììûêâàä- ðàòîâðàññòîÿíèéîòòî÷êèäîâåðøèíäàííîãîòðåóãîëüíèêà(òåòðà- ýäðà)äîñòèãàåòñÿâåãîöåíòðîèäå(çàäà÷à36). Àíàëîãè÷íàÿçàäà÷àïðîìèíèìèçàöèþîáû÷íîéâçâåøåííîé ñóììûðàññòîÿíèéîêàçûâàåòñÿ,êàêíèñòðàííî,ñóùåñòâåííîáîëåå òðóäíîé.Ðàññìîòðèìååäëÿïðèìåðàâñëó÷àåòðåõòî÷åê. Çàäà÷à55. Íàéäèòåâòðåóãîëüíèêå ABC òî÷êó M ,äëÿêîòîðîé ñóììà m 1 j AM j + m 2 j BM j + m 3 j CM j ìèíèìàëüíà. Óêàçàíèå. Ïîñòðîèìòðåóãîëüíèêñäëèíàìèñòîðîí m i (ðàññìàò- ðèâàåìñëó÷àé,êîãäàýòîâîçìîæíî).Ïóñòüåãîâíåøíèåóãëûðàâ- íû i .Ïðîâîäÿèçîäíîéòî÷êèîòðåçêèäëèíû m i ,ïîïàðíîîáðàçó- þùèåìåæäóñîáîéóãëû i ,ïîëó÷àåìòðèâåêòîðà,ñóììàêîòîðûõ ðàâíàíóëþ.Íàéäåìâòðåóãîëüíèêå ABC òî÷êó M ,èçêîòîðîéåãî ñòîðîíûâèäíûïîäóãëàìè i ,òîãäàâåêòîðû,íàïðàâëåííûåèçíåå ââåðøèíûòðåóãîëüíèêàññîîòâåòñòâóþùèìèäëèíàìè m i ,áóäóò âñóììåðàâíûíóëþ.Ýòîèåñòüèñêîìàÿòî÷êà. Åñëèæåòðåóãîëüíèêñäëèíàìèñòîðîí m i íåñóùåñòâóåò,òîèñ- êîìàÿòî÷êàñîâïàäàåòñîäíîéèçâåðøèí A , B , C 12. Åùåíåêîòîðûåïðèëîæåíèÿìåõàíèêèêãåîìåòðèè 45 Âêíèãå[14]ïðèâåäåíàêðàñèâàÿìåõàíè÷åñêàÿèíòåðïðåòàöèÿ ýòîéçàäà÷è.Ïðåäñòàâèìñåáå,÷òîäàííûåòî÷êè P i ëåæàòíàñòîëå. Ïðîäåëàåìâíåìäûðêèâýòèõòî÷êàõ,âîçüìåìâåðåâêèäîñòàòî÷íî áîëüøîéðàâíîéäëèíû l ,ñâÿæåìèõêîíöûâóçåëèïðîïóñòèìñâî- áîäíûåêîíöûâäûðêè,îñòàâèâóçåëíàïîâåðõíîñòèñòîëà.Ïðèâÿ- æåìêêîíöàìâåðåâîêãðóçûñìàññàìè m i .Òîãäàóçåëïåðåìåñòèòñÿ âòî÷êó,êîòîðàÿèáóäåòèìåòüìèíèìàëüíóþñóììó.Äåëîâòîì, ÷òîñîãëàñíîïðèíöèïàììåõàíèêèòàêàÿñèñòåìàäîëæíàïðèéòè âñîñòîÿíèå,âêîòîðîìååöåíòðìàññ(ò.å.öåíòðìàññâñåõãðóçîâ m i )äîëæåíçàíÿòüñàìîåíèçêîåâîçìîæíîåïîëîæåíèå.Íîâûñîòà öåíòðàìàññýòèõãðóçîâ(îòíîñèòåëüíîóðîâíÿñòîëà)ðàâíà � P i m i h i P i m i , èîíàáóäåòìèíèìàëüíîé,êîãäà X i m i h i = X i m i ( l � r i ) = l X i m i � X i m i r i ìàêñèìàëüíà,ò.å.êîãäà P i m i r i ìèíèìàëüíà,ãäå r i = l � h i ðàñ- ñòîÿíèÿîòóçëàäîòî÷åê P i .Âñëó÷àåðàâíûõìàññè n òî÷åêýòà çàäà÷àîñòàåòñÿòàêîéæåòðóäíîéäëÿãåîìåòðè÷åñêîãîðåøåíèÿ. Ïðè n = 3 òàêîåðåøåíèåñðàâíèòåëüíîíåñëîæíî,èñêîìàÿòî÷êà íàçûâàåòñÿòî÷êîéÒîððè÷åëëèèóæåóïîìèíàëàñüâûøå.Ïðè n = 4 âñëó÷àå,êîãäàòî÷êèîáðàçóþòâûïóêëûé÷åòûðåõóãîëüíèê,ðåøåíèå åùåïðîùåèñêîìàÿòî÷êàåñòüòî÷êàïåðåñå÷åíèÿåãîäèàãîíàëåé. Îäíàêîóæåïðè n = 5 íàéòèýòóòî÷êóöèðêóëåìèëèíåéêîé,âîîáùå ãîâîðÿ,íåâîçìîæíî. Âîçâðàùàÿñüêìîìåíòóèíåðöèè,çàìåòèì,÷òîèçâåñòíàôîðìóëà äëÿâû÷èñëåíèÿìîìåíòàèíåðöèèîòíîñèòåëüíîöåíòðàìàññ÷åðåç ïîïàðíûåðàññòîÿíèÿìåæäóòî÷êàìè.Íàïîìíèì,÷òîêâàäðàòûðàñ- ñòîÿíèéìåæäóòî÷êàìè(êîíöàìèâåêòîðîâ) r i è r j ðàâíû ( r i � r j ) 2 , à r = 1 m P i m i r i , m = P i m i öåíòðìàññýòîéñèñòåìû. Çàäà÷à56 (ËàãðàíæÏóàíñîßêîáè). Äîêàæèòå,÷òî m 1 ( r 1 � r ) 2 + ... + m n ( r n � r ) 2 = 1 m X 1 ¶ i j ¶ n m i m j ( r i � r j ) 2 . Óêàçàíèå. Îáîçíà÷èì÷åðåç J i ìîìåíòèíåðöèèîòíîñèòåëüíî òî÷êè r i ,ò.å. J i = m 1 ( r 1 � r i ) 2 + ... + m n ( r n � r i ) 2 . 46 12. Åùåíåêîòîðûåïðèëîæåíèÿìåõàíèêèêãåîìåòðèè ÑîãëàñíîóêàçàííîéâûøåôîðìóëåËåéáíèöàËàãðàíæà J i = J + m ( r � r i ) 2 , m = n X i = 1 m i , J = m 1 ( r 1 � r ) 2 + ... + m n ( r n � r ) 2 . Óìíîæèìîáå÷àñòèýòîãîðàâåíñòâàíà m i èñëîæèìïî÷ëåííîïîëó- ÷åííûåðàâåíñòâà.Ïîëó÷èìðàâåíñòâî 2 X 1 ¶ i j ¶ n m i m j ( r i � rj ) 2 = mJ + m � m 1 ( r 1 � r ) 2 + ... + m n ( r n � r ) 2  = 2 mJ . Âêíèãå[3]óêàçàíîêðàñèâîåïðèìåíåíèåôîðìóëûèççàäà÷è56 äëÿâûâîäàôîðìóëûÝéëåðà×àïïëàäëÿðàññòîÿíèÿìåæäóöåí- òðàìèâïèñàííîãîèîïèñàííîãîêðóãîâäàííîãîòðåóãîëüíèêà. Çàäà÷à57. Äîêàæèòå,÷òîåñëèðàäèóñûîïèñàííîãîèâïèñàííî- ãî êðóãîâòðåóãîëüíèêàðàâíû R è r ,òîêâàäðàòðàññòîÿíèÿìåæäó èõöåíòðàìèðàâåí R ( R � 2 r ) . Óêàçàíèå. Ïóñòüñòîðîíûòðåóãîëüíèêàðàâíû a , b , c .Ïîìåñòèì âïðîòèâîïîëîæíûåèìâåðøèíû A , B , C ìàññû a , b , c .Ñîãëàñíîçàäà- ÷å5(ñì.òàêæåðàçäåë5)öåíòðìàññýòîéñèñòåìûòî÷åêñîâïàäåò ñöåíòðîìâïèñàííîãîâòðåóãîëüíèêêðóãà.Ìîìåíòèíåðöèèýòîé ñèñòåìûîòíîñèòåëüíîöåíòðàîïèñàííîãîêðóãàïîîïðåäåëåíèþ ðàâåí J O = aR 2 + bR 2 + cR 2 = 2 pR 2 , ãäå p ïîëóïåðèìåòð.Ìîìåíòèíåðöèèýòîéñèñòåìûîòíîñèòåëüíî ååöåíòðàìàññ(ò.å.öåíòðàâïèñàííîãîêðóãà)ñîãëàñíîôîðìóëå ËàãðàíæàÏóàíñîßêîáè(çàäà÷à56)ðàâåí J = 1 a + b + c ( abc 2 + bca 2 + acb 2 ) = abc . ÑîãëàñíîôîðìóëåËåéáíèöàËàãðàíæà 2 pR 2 � abc = J O � J = ( a + b + c ) d 2 = 2 pd 2 , îòêóäàñëåäóåò,÷òî d 2 = R 2 � abc 2 p = R ( R � 2 r ), òàêêàêïîøèðîêîèçâåñòíûìôîðìóëàì pr = S = abc 4 R , àçíà÷èò, abc 2 p = 2 Rr . 12. Åùåíåêîòîðûåïðèëîæåíèÿìåõàíèêèêãåîìåòðèè 47 Óêàæåìåùåîäíîïðèìåíåíèå 27 çàäà÷54,56. Çàäà÷à58. Ïóñòüñòîðîíûòðåóãîëüíèêà ABC ðàâíû a , b , c .Òîãäà äëÿïðîèçâîëüíîéòî÷êè P ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâî a j PA j 2 + b j PB j 2 + c j PC j 2 ¾ abc . Óêàçàíèå. Ïîìåñòèìââåðøèíû A , B , C ìàññû a , b , c . Òîãäà,êàêè âðåøåíèèïðåäûäóùåéçàäà÷è,öåíòðìàññ M ýòîéñèñòåìûñîâïàäåò ñöåíòðîìâïèñàííîãîâòðåóãîëüíèêêðóãà,àñóììà a j MA j 2 + b j MB j 2 + c j MC j 2 , ðàâíàÿìîìåíòóèíåðöèèñèñòåìûîòíîñèòåëüíî M , áóäåòðàâíà J = 1 a + b + c ( abc 2 + bca 2 + acb 2 ) = abc . Âîñïîëüçóåìñÿçàäà÷åé54: P i m i r 2 i (âçâåøåííàÿñóììàêâàäðàòîâ ðàññòîÿíèé r i îòïðîèçâîëüíîéòî÷êè M äîäàííûõòî÷åê P i ïðè m i � 0 )ìèíèìàëüíàòîëüêîâòàêîéòî÷êå M ,÷òîñóììàâåêòîðîâ MP i ,óìíîæåííûõíà m i , ðàâíàíóëþ.Ýòàòî÷êàñîâïàäàåòñöåíòðîì ìàññ m i ,ïîìåùåííûõâòî÷êè P i .Âñëó÷àå m 1 = a , m 2 = b , m 3 = c ïîëó÷àåì,÷òî a j PA j 2 + b j PB j 2 + c j PC j 2 ¾ a j MA j 2 + b j MB j 2 + c j MC j 2 = abc . Âçàäà÷å54ìûâîñïîëüçîâàëèñüôîðìóëîéËàãðàíæà m 1 r 2 1 + ... + m n r 2 n = m 1 ( r 1 � r ) 2 + ... + m n ( r n � r ) 2 + ( m 1 + ... + m n ) r 2 äëÿäîêàçàòåëüñòâàíåðàâåíñòâà m 1 r 2 1 + ... + m n r 2 n ¾ m 1 ( r 1 � r ) 2 + ... + m n ( r n � r ) 2 , îçíà÷àþùåãî,÷òîìèíèìàëüíîåçíà÷åíèåìîìåíòàèíåðöèèäîñòèãà- åòñÿ,òîëüêîêîãäàîíâû÷èñëÿåòñÿîòíîñèòåëüíîöåíòðàìàññ.Íîèç òîéæåôîðìóëûñëåäóåò(ïðè m i � 0 )èíåðàâåíñòâî m 1 r 2 1 + ... + m n r 2 n ¾ ( m 1 + ... + m n ) r 2 , êîòîðîåîáðàùàåòñÿâðàâåíñòâî,òîëüêîêîãäàâñå r i ðàâíû(ýòîðàâ- íîñèëüíîòîìó,÷òîâñåîíèðàâíû r ).Åñëèâåêòîðû r i îäíîìåðíûå (ò.å.òî÷êèðàñïîëîæåíûíàîäíîéïðÿìîé,èëè,äðóãèìèñëîâàìè, 27 Êîãäàêíèãàóæåðåäàêòèðîâàëàñü,çàäà÷à58áûëàïðåäëîæåíààâòîðóåãîáûâøèì îäíîêóðñíèêîìÔðàíêîìÐåìîì(Ëåéïöèã,Ãåðìàíèÿ). 48 12. Åùåíåêîòîðûåïðèëîæåíèÿìåõàíèêèêãåîìåòðèè r i = x i ýòîïðîñòîäåéñòâèòåëüíûå÷èñëà),òîýòîíåðàâåíñòâîìîæ- íîïåðåïèñàòüââèäå m 1 x 2 1 + ... + m n x 2 n ¾ ( m 1 + ... + m n ) € m 1 x 1 + ... + m n x n m 1 + ... + m n Š 2 = = ( m 1 x 1 + ... + m n x n ) 2 m 1 + ... + m n . Ïîäñòàâëÿÿâíåãî m i = b 2 i , x i = a i = b i ,ïðè b i 6 = 0 , i = 1, ... , n ,ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî a 2 1 + ... + a 2 n ¾ ( a 1 b 1 + ... + a n b n ) 2 b 2 1 + ... + b 2 n , ðàâíîñèëüíîåíåðàâåíñòâóÊîøè ( a 2 1 + ... + a 2 n )( b 2 1 + ... + b 2 n ) ¾ ( a 1 b 1 + ... + a n b n ) 2 (ñëàãàåìûåïðè b i = 0 îáðàùàþòñÿâíóëü).Ñäåëàâïîäñòàíîâêó m i = b i , x i = a i = b i ,ïîëó÷àåìèçíåãîäðóãîåèíòåðåñíîåíåðàâåíñòâî(íàñà- ìîìäåëåðàâíîñèëüíîåíåðàâåíñòâóÊîøè): a 2 1 b 1 + ... + a 2 n b n ¾ ( a 1 + ... + a n ) 2 b 1 + ... + b n (îíîïðåäëàãàëîñüâ1987ã.íàÌîñêîâñêîéìàòåìàòè÷åñêîéîëèì- ïèàäå).Íàêîíåö,çàìåíÿÿäðîáè m i = m ,ãäå m = m 1 + ... + m n ,íà i , ìîæíîïåðåïèñàòüïîëó÷åííîåíåðàâåíñòâîêàê 1 x 2 1 + ... + n x 2 n ¾ ( 1 x 1 + ... + n x n ) 2 , 1 + ... + n = 1. Âòàêîìâèäåîíîïðîñòîîçíà÷àåòâûïóêëîñòüôóíêöèè x 2 .Âûáðàâ i = 1 = n ,ïîëó÷àåì,íàïðèìåð,íåðàâåíñòâî n ( x 2 1 + ... x 2 n ) ¾ ( x 1 + ... + x n ) 2 . Äëÿñëåäóþùåéïðîñòîé,íîêðàñèâîéçàäà÷è(çàèìñòâîâàííîé èçêíèãè[12])ïðèâåäåìäâàðåøåíèÿãåîìåòðè÷åñêîåèìåõàíè- ÷åñêîå(èçîáëàñòèìåõàíèêèæèäêîñòèèãàçà). Çàäà÷à59. Ââûïóêëîììíîãîóãîëüíèêåèçëþáîéòî÷êèìîæíî îïóñòèòüïåðïåíäèêóëÿðíàîäíóèçñòîðîíòàê,÷òîåãîîñíîâàíèå ïîïàäåòíàñòîðîíó,àíåíàååïðîäîëæåíèå. Óêàçàíèå. Îïóñòèìïåðïåíäèêóëÿðûíàâñåñòîðîíûèâûáåðåì èçíèõíàèìåíüøèé.Åñëèåãîîñíîâàíèåïîïàäàåòíàïðîäîëæåíèå ñîîòâåòñòâóþùåéñòîðîíû,òîîíïåðåñåêàåòäðóãóþñòîðîíó.Òîãäà ïåðïåíäèêóëÿð,îïóùåííûéíàíåå,áóäåòêîðî÷å,÷òîíåâîçìîæíî. 12. Åùåíåêîòîðûåïðèëîæåíèÿìåõàíèêèêãåîìåòðèè 49 Åñòü¾ìåõàíè÷åñêîå¿ðåøåíèåýòîéçàäà÷è.Ñäåëàåì¾êîëåñî¿â âèäåýòîãîìíîãîóãîëüíèêàòàê,÷òîáûåãîöåíòðìàñññîâïàëñäàí- íîéòî÷êîé.Åñëèâñåïåðïåíäèêóëÿðûèçíååïàäàþòíàïðîäîëæå- íèÿ¾ñâîèõ¿ñòîðîí,òîïîëîæåíèåýòîãîêîëåñàíåóñòîé÷èâî,îíî îïðîêèíåòñÿíàäðóãóþñòîðîíó,ïîòîìåùåíàäðóãóþ,ïîêàòèòñÿ èáóäåòêàòèòüñÿáåñêîíå÷íîäîëãî,÷òîíåâîçìîæíî(òàêêàêíåâîç- ìîæåíâå÷íûéäâèãàòåëü).Íàñàìîìäåëåêîëåñîìîæåòïîêàòèòüñÿ, íîîñòàíîâèòñÿâòîìïîëîæåíèè,êîãäàöåíòðìàññçàéìåòñàìîå íèçêîåïîëîæåíèå(áóäåòïðîåêòèðîâàòüñÿíàáëèæàéøóþêíåìó ñòîðîíó),ýòîãàðàíòèðóåòîäèíèçïðèíöèïîâìåõàíèêè. Çàäà÷àåñòåñòâåííûìîáðàçîìîáîáùàåòñÿèíàâûïóêëûåìíîãî- ãðàííèêè. Óñëåäóþùåéêðàñèâîéçàäà÷èòàêæåïðèâåäåìäâàðåøåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîåèìåõàíè÷åñêîå. Çàäà÷à60. Îáîçíà÷èì÷åðåç S i âåêòîðû,ïîñòàâëåííûåíàãðàíè òåòðàýäðàïåðïåíäèêóëÿðíîèìèíàïðàâëåííûåâíåòåòðàýäðà,èìå- þùèåäëèíû,ðàâíûåïëîùàäÿìñîîòâåòñòâóþùèõãðàíåé.Äîêàæèòå, ÷òîñóììàýòèõâåêòîðîâðàâíàíóëþ. Óêàçàíèå. Ïðîâåðüòå,÷òîïðîåêöèÿñóììûâñåõâåêòîðîâíàëþ- áîéèçíèõðàâíàíóëþ.Äëÿýòîãîïðèìåíèòåôîðìóëûäëÿïëîùàäè ïðîåêöèèïëîñêîéôèãóðû. Çàäà÷à60èìååòîáîáùåíèåäëÿïðîèçâîëüíîãîâûïóêëîãîìíî- ãîãðàííèêà(¾òåîðåìàÌèíêîâñêîãîîåæå¿)èñëåäóþùåå¾ìåõàíè÷å- ñêîå¿ðåøåíèå.Çàïîëíèììíîãîãðàííèêèäåàëüíûìãàçîì(èïðåä- ïîëîæèì,÷òîíàíåãîíåäåéñòâóþòíèêàêèåâíåøíèåñèëû).Ñèëà äàâëåíèÿãàçàíàãðàíèïðîïîðöèîíàëüíàèõïëîùàäÿìèïåðïåíäè- êóëÿðíàãðàíÿì.Ñóììàñèëäîëæíàðàâíÿòüñÿíóëþ,èíà÷åìíîãî- ãðàííèêïîëåòèò(èïîëó÷èòñÿâå÷íûéäâèãàòåëü). Àíàëîãè÷íîåóòâåðæäåíèåâåðíîèäëÿëþáîãîìíîãîóãîëüíèêà (äëÿäîêàçàòåëüñòâàíàäîâçÿòüïðÿìîóãîëüíóþïðèçìó,îñíîâàíèåì êîòîðîéÿâëÿåòñÿäàííûéìíîãîóãîëüíèê,èíàïîëíèòüååãàçîì). Â÷àñòíîñòè,åñëèìíîãîóãîëüíèêïðàâèëüíûé,òîîòñþäàñëåäóåò,÷òî ñóììàâåêòîðîâ,âûõîäÿùèõèçöåíòðàïðàâèëüíîãîìíîãîóãîëüíèêà âåãîâåðøèíû,ðàâíàíóëþ(âïðî÷åì,ýòîòôàêòëåãêîäîêàçûâàåòñÿ è÷èñòîãåîìåòðè÷åñêè). Èäåÿèñïîëüçîâàíèÿñîñóäàïîäõîäÿùåéôîðìû,çàïîëíåííîãî ãàçîì,øèðîêîèñïîëüçóåòñÿâêíèãå[13].Ñååïîìîùüþ(àòàêæå ñïîìîùüþñîîáðàæåíèé,ñâÿçàííûõñèñïîëüçîâàíèåì ìîìåíòîâ 50 12. Åùåíåêîòîðûåïðèëîæåíèÿìåõàíèêèêãåîìåòðèè ñèë îòíîñèòåëüíîäàííîéîñè)âíåéäîêàçûâàþòñÿòåîðåìàîïå- ðåñå÷åíèèñðåäèííûõïåðïåíäèêóëÿðîâêñòîðîíàìòðåóãîëüíèêà âîäíîéòî÷êå,òåîðåìàÏèôàãîðà,òåîðåìàîêàñàòåëüíîéèñåêóùåé, òåîðåìàîäâóõõîðäàõ(îäíàêîãåîìåòðè÷åñêèåäîêàçàòåëüñòâàýòèõ òåîðåìíè÷óòüíåñëîæíååìåõàíè÷åñêèõ). Ñîîáðàæåíèÿ,ñâÿçàííûåñðàññìîòðåíèåìöåíòðàòÿæåñòè,ìîæ- íîèñïîëüçîâàòüäëÿâû÷èñëåíèÿîáúåìîâðàçëè÷íûõòåëèïëîùàäåé èõïîâåðõíîñòè.Ìíîãîòàêèõïðèìåðîâðàçîáðàíîâêíèãå[13].Òàì ïîêàçàíî,êàêâû÷èñëèòüîáúåìöèëèíäðîèäà,ò.å.òåëà,îãðàíè÷åííî- ãîñíèçóèñâåðõóïëîñêîñòÿìè,àñáîêîâöèëèíäðè÷åñêîéïîâåðõ- íîñòüþ,ò.å.ïîâåðõíîñòüþ,îáðàçîâàííîéñåìåéñòâîìïàðàëëåëüíûõ äðóãäðóãóïðÿìûõ(íàçûâàåìûõååîáðàçóþùèìè).Ïðèýòîìîêàçû- âàåòñÿ,÷òîîáðàçóþùèåïàðàëëåëüíûïðÿìîé,ñîåäèíÿþùåéöåíòðû òÿæåñòèîñíîâàíèéöèëèíäðîèäà,àåñëèåãîîñíîâàíèåïåðïåíäèêó- ëÿðíîîáðàçóþùèìåãîáîêîâîéïîâåðõíîñòè,òîåãîîáúåìðàâåí ïðîèçâåäåíèþïëîùàäèîñíîâàíèÿíàäëèíóïåðïåíäèêóëÿðà,îïó- ùåííîãîíàîñíîâàíèåèçöåíòðàìàññôèãóðû,îãðàíè÷èâàþùåéöè- ëèíäðîèäñâåðõó.Èçýòîéòåîðåìûäàëååâûâîäÿòñÿôîðìóëûäëÿîáú- åìàïèðàìèäû.Ñïîìîùüþðàçëè÷íûõñîîáðàæåíèé(èñïîëüçóþùèõ ïîíÿòèåöåíòðàäàâëåíèÿæèäêîñòèèëèïîíÿòèåñòàòè÷åñêîãîìîìåí- òàïëîùàäèîòíîñèòåëüíîîñè)âêíèãå[13]äîêàçûâàþòñÿòåîðåìû Ãþëüäåíàîáîáúåìåèïëîùàäèïîâåðõíîñòèòåëâðàùåíèÿ:îáúåì òåëàâðàùåíèÿðàâåíïðîèçâåäåíèþïëîùàäèôèãóðû,âðàùåíèåìêî- òîðîéâîêðóãäàííîéîñèîíîïîëó÷åíî,íàäëèíóîêðóæíîñòè,îïèñàí- íîéïðèýòîìâðàùåíèèöåíòðîìòÿæåñòèóïîìÿíóòîéôèãóðû,àïî- âåðõíîñòüòåëàâðàùåíèÿ,ïîëó÷åííîãîâðàùåíèåìíåêîòîðîéêðèâîé âîêðóãäàííîéîñè,ðàâíàäëèíåýòîéêðèâîé,óìíîæåííîéíàäëèíó îêðóæíîñòè,îïèñàííîéïðèýòîìâðàùåíèèöåíòðîìòÿæåñòèóïî- ìÿíóòîéêðèâîé.Îáåòåîðåìûìîæíîïðèìåíÿòüäëÿâû÷èñëåíèÿ îáúåìîâèïîâåðõíîñòåéòåëâðàùåíèÿ,åñëèèçâåñòíûñîîòâåòñòâóþ- ùèåöåíòðûìàññ,èíàîáîðîò,íàõîäèòüöåíòðûìàññ,åñëèèçâåñòíû îáúåìûèïëîùàäèïîâåðõíîñòèòåëâðàùåíèÿ.Â÷àñòíîñòè,òàêèì ñïîñîáîìëåãêîíàéòèöåíòðìàññïîëóêðóãàèöåíòðìàññïîëîâèíû îêðóæíîñòè.×èòàòåëüìîæåòñäåëàòüýòîñàìîñòîÿòåëüíîèëèçàãëÿ- íóòü,íàïðèìåð,âêíèãó[13].Äðóãîå(÷èñòîìàòåìàòè÷åñêîå)èçëî- æåíèåýòèõâîïðîñîâìîæíîíàéòèâêíèãå[3].Ìûíåðàññìàòðèâàåì èõçäåñü,òàêêàêîíèïðåäïîëàãàþòçíàêîìñòâîñòåîðèåéïðåäåëîâ. Âêíèãå[13]òàêæåïðèâåäåíîìíîãîïðèìåðîâäîêàçàòåëüñòâà ãåîìåòðè÷åñêèõòåîðåìñïîìîùüþèñïîëüçîâàíèÿñîîáðàæåíèéñòà- 13. Öåíòðûìàññèíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà 51 òèêè(ïàðàëëåëîãðàììñèë,ìîìåíòñèëûîòíîñèòåëüíîîñèèò.ï.). Â÷àñòíîñòè,äîêàçàíûòåîðåìûîòî÷êàõïåðåñå÷åíèÿìåäèàí,áèñ- ñåêòðèñ,âûñîòèòåîðåìà×åâû(èçêîòîðîéâñåóïîìÿíóòûåòåîðåìû ñëåäóþêàê÷àñòíûåñëó÷àè).Îäíàêî,íàíàøâçãëÿä,ãåîìåòðè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâàýòèõòåîðåìøèðîêîèçâåñòíûèäîñòàòî÷íîïðîñòû (àòåîðåìû×åâûèÌåíåëàÿåñòåñòâåííîäîêàçûâàòüñïîìîùüþ áàðèöåíòðè÷åñêèõêîîðäèíàò,êàêâêíèãå[3]),ïîýòîìóèñïîëüçîâà- íèåñîîáðàæåíèéèçñòàòèêèäëÿèõäîêàçàòåëüñòâàïðåäñòàâëÿåòñÿ íåñêîëüêîèñêóññòâåííûì.Îäíàêîçàìåòèì,÷òîâêíèãå[13]òåìæå ìåòîäîìäîêàçàíà,íàïðèìåð,ñðàâíèòåëüíîìàëîèçâåñòíàÿòåîðåìà îòîì,÷òîòî÷êèïåðåñå÷åíèÿáèññåêòðèñâíåøíèõóãëîâòðåóãîëüíè- êàñïðîòèâîïîëîæíûìèñòîðîíàìèëåæàòíàîäíîéïðÿìîé. 13.Öåíòðûìàññèíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà Çíàìåíèòûéðóññêèéìàòåìàòèê(èìåõàíèê)Ï.Ë.×åáûø¼âîò- êðûëñëåäóþùèåêðàñèâûåíåðàâåíñòâà. Ïóñòüäàíûóïîðÿäî÷åííûåïîâîçðàñòàíèþíàáîðû÷èñåë a 1 ¶ ¶ a 2 ¶ ... ¶ a n , b 1 ¶ b 2 ¶ ... ¶ b n .Òîãäàñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâî ( a 1 + ... + a n )( b 1 + ... + b n ) ¶ n ( a 1 b 1 + ... + a n b n ). Åñëèäàííûåíàáîðû÷èñåëóïîðÿäî÷åíûâïðîòèâîïîëîæíûõíàïðàâ- ëåíèÿõ(îäèíââîçðàñòàþùåìïîðÿäêå,äðóãîéâóáûâàþùåì),òî çíàêâíåðàâåíñòâåìåíÿåòñÿíàïðîòèâîïîëîæíûé.Ðàâåíñòâîäîñòè- ãàåòñÿ,òîëüêîêîãäàõîòÿáûâîäíîìèçíàáîðîââñå÷èñëàðàâíû. Ïðèâåäåìòðèäîêàçàòåëüñòâàýòèõíåðàâåíñòâ.Ðàññìîòðèìòîëü- êîñëó÷àé,êîãäàîáàíàáîðàâîçðàñòàþò(âòîðîéñëó÷àéäîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî).Ïåðâîåäîêàçàòåëüñòâîîñíîâàíîíàèñïîëüçîâàíèèïî- íÿòèÿöåíòðàìàññ.Âíåìáóäåìïðåäïîëàãàòü,÷òî b i � 0 .×èñëà b i áóäóòèãðàòüðîëüìàññ,èäàëååìûèõïåðåîáîçíà÷èìêàê m i .Íåðà- âåíñòâî×åáûø¼âàìîæíîïåðåïèñàòüòàê: a 1 + ... + a n n ¶ a 1 m 1 + ... + a n m n m 1 + ... + m n . Åãîïðàâàÿ÷àñòüñîâïàäàåòñêîîðäèíàòîéöåíòðàòÿæåñòèñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõòî÷åêñìàññàìè m i ,ðàñïîëîæåííûõíàïðÿìîéâòî÷- êàõñêîîðäèíàòàìè a i .Ëåâàÿ÷àñòü(ñðåäíååàðèôìåòè÷åñêîå÷èñåë a i )òàêæåñîâïàäàåòñêîîðäèíàòîéöåíòðàòÿæåñòèïîäîáíîéæåñè- ñòåìûìàòåðèàëüíûõòî÷åê,íîâïðåäïîëîæåíèèðàâåíñòâàèõìàññ. 52 13. Öåíòðûìàññèíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà Äàëååáåçîãðàíè÷åíèÿîáùíîñòèìîæíîñ÷èòàòü,÷òîñóììàâñåõ ìàññðàâíà 1 ,èïðàâàÿ÷àñòüïðèíèìàåòòîãäàâèä a 1 1 + ... + a n n , ãäå 1 + ... + n = 1 , i ¾ 0 ,èíàáîð÷èñåë f i g ìîíîòîííîâîç- ðàñòàåò.Èíòóèòèâíîî÷åâèäíî,÷òîåñëèïðîèçâîëüíîïåðåñòàâèòü äðóãñäðóãîììàññû i ,òîöåíòðìàññòàêîéñèñòåìûáóäåòíàõî- äèòüñÿâñàìîìïðàâîìêðàéíåìïîëîæåíèè,êîãäàá  îëüøèåìàññû ðàñïîëîæåíûâäàëüíèõ(ò.å.èìåþùèõá  îëüøèåêîîðäèíàòû)òî÷êàõ (ò.å.íàáîð f i g âîçðàñòàåò),èâñàìîìêðàéíåìëåâîìïîëîæåíèè, êîãäàá  îëüøèåìàññûðàñïîëîæåíûâáëèæíèõòî÷êàõ(ò.å.íàáîð f i g óáûâàåò).Âñëó÷àå,êîãäàâñåìàññûðàâíû,èõïåðåñòàíîâêà íè÷åãîíåìåíÿåòèöåíòðòÿæåñòèâñåãäàèìååòêîîðäèíàòó,ðàâíóþ ñðåäíåìóàðèôìåòè÷åñêîìóêîîðäèíàòòî÷åê.Èíòóèòèâíîî÷åâèä- íî,÷òîîíáóäåòðàñïîëîæåíìåæäóóêàçàííûìèâûøåêðàéíåéëå- âîéèêðàéíåéïðàâîéïîçèöèÿìè,÷òîèîçíà÷àåòñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà×åáûø¼âàâîáîèõñëó÷àÿõ(îäèíàêîâîãîèïðîòèâîïî- ëîæíîãîóïîðÿäî÷åíèé).Ïðèâåäåìáîëååñòðîãîåðàññóæäåíèå.Åñëè âñå i ðàâíû,òîäîêàçûâàòüíå÷åãî.Âïðîòèâíîìñëó÷àåíàéäåì âïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1 ¶ ... ¶ ... n äâàòàêèõ÷èñëà k , k + 1 ,÷òî k 1 = n ¶ k + 1 .Åñëè k + 1 = 1 = n ,òîíàéäåìáëèæàéøååñëåäóþùåå çàíèì÷èñëî l � 1 = n ,èíà÷åâûáåðåì l = k + 1 .Íà÷íåìóâåëè÷èâàòü ìàññó k èóìåíüøàòüìàññó l òàê,÷òîáûñóììàèõíåèçìåíÿëàñü (îñòàëüíûåìàññûíåèçìåíÿåì).Òîãäàâåëè÷èíà k a k + l a l = k a k + ( s � k ) a l = sa l � k ( a l � a k ), î÷åâèäíî,óáûâàåò,ò.å.öåíòðìàñññèñòåìûäâóõòî÷åê k , l ñìåùà- åòñÿâëåâî(âñòîðîíóóìåíüøåíèÿåãîêîîðäèíàòû),èòîæåñàìîå, î÷åâèäíî,âåðíîäëÿöåíòðàìàñññèñòåìûâñåõòî÷åê f 1 , ... , n g . Îñòàíîâèìòî÷êó k ,êîãäà k = 1 = n .Ñíîâîéñèñòåìîéìàññ(âêîòî- ðîéêîëè÷åñòâîìàññ,ðàâíûõ 1 = n ,óâåëè÷èëîñüíà 1 )ïîâòîðèìàíàëî- ãè÷íóþîïåðàöèþèñìåñòèìååöåíòðìàññäàëüøåâëåâî.Ïîâòîðÿÿ óêàçàííûåîïåðàöèè,ñìåùàåìöåíòðìàññâñåëåâååèëåâåå,ïîêà ïðîöåññíåîñòàíîâèòñÿ,èç - çàòîãî÷òîâïîëó÷åííîéñèñòåìåâñå ìàññûáóäóòðàâíû 1 = n .Èçäîêàçàííîãîñëåäóåòñòðîãîåíåðàâåíñòâî a 1 1 + ... + a n n � a 1 + ... + a n n . Âïðèâåäåííîìäîêàçàòåëüñòâåíåèñïîëüçîâàëîñüñäåëàííîåçà- ìå÷àíèåîòîì,÷òîïðèïåðåñòàíîâêåâôîðìóëå a 1 1 + ... + a n n êîýôôèöèåíòîâ i óêàçàííàÿñóììàïðèíèìàåòìàêñèìàëüíîåçíà÷å- 13. Öåíòðûìàññèíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà 53 íèå, êîãäàíàáîð f i g âîçðàñòàåò,èìèíèìàëüíîåêîãäàîí óáûâàåò . Ýòîòôàêòñïðàâåäëèâèáåçîãðàíè÷åíèéíà i . Çàäà÷à61. Ïóñòü 1 ¶ ... ¶ n è  : f 1, ... , n g!f 1, ... , n g ëþ- áàÿèç n ! ïåðåñòàíîâîê÷èñåë f 1, ... , n g .Äîêàæèòå,÷òîñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà a 1 n + ... + a n 1 ¶ a 1  (1) + ... + a n  ( n ) ¶ a 1 1 + ... + a n n . Ðàâåíñòâîäîñòèãàåòñÿêîãäàèëèâñå i ðàâíû,èëèâñå a i ðàâíû. Óêàçàíèå. Åñëèïåðåñòàíîâêà  (1) , ... ,  ( n ) íàáîðà 1 , ... , n îò- ëè÷íàîòìîíîòîííîâîçðàñòàþùåéïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1 , ... , n , òîíàéäóòñÿ  ( k ) �  ( k + 1) .Ïîìåíÿåììåñòàìèýòèêîýôôèöèåíòû èâìåñòîñóììû  ( k ) a k +  ( k + 1) a k + 1 ïîëó÷èìíåìåíüøóþñóììó  ( k + 1 a k +  ( k ) a k + 1 ,òàêêàê  ( k + 1) a k +  ( k ) a k + 1 � (  ( k ) a k +  ( k + 1) a k + 1 ) = = (  ( k ) �  ( k + 1) )( a k + 1 � a k ) ¾ 0. Î÷åâèäíî,ïðèòàêîéïåðåñòàíîâêåïîëíàÿñóììà a 1  (1) + ... + a n  ( n ) òîæåíåóìåíüøèòñÿ(òàêêàêâíåéìåíÿþòñÿòîëüêîóêàçàííûåâû- øåäâàñëàãàåìûõ).Ïîâòîðÿÿóêàçàííóþîïåðàöèþ,ìîæíîíåìîíî- òîííóþïåðåñòàíîâêó  (1) , ... ,  ( n ) ïðåîáðàçîâàòüâìîíîòîííóþ. Çàäà÷à61èìååòìíîãîðàçëè÷íûõïðèëîæåíèé 28 .Ñååïîìîùüþ ìîæíîäàòüäðóãîåäîêàçàòåëüñòâîíåðàâåíñòâ×åáûø¼âà(âêîòîðîì íåïðåäïîëàãàåòñÿïîëîæèòåëüíîñòü÷èñåëâíàáîðàõ). Äåéñòâèòåëüíî,ïóñòüäëÿêðàòêîñòè a 1 b 1 + ... + a n b n = S .Ïðèìå- íÿÿçàäà÷ó61ê n � 1 ðàçëè÷íûìöèêëè÷åñêèìïåðåñòàíîâêàìíàáîðà f b i g ,ïîëó÷àåìíåðàâåíñòâà a 1 b 2 + a 2 b 3 + ... + a n � 1 b n + a n b 1 ¶ S , a 1 b 3 + a 2 b 4 + ... + a n � 2 b n + a n � 1 b 1 + a n b 2 ¶ S èòàêäàëååâïëîòüäî a 1 b n + a 2 b 1 + a 3 b 2 + ... + a n b n � 1 ¶ S . Ñêëàäûâàÿïî÷ëåííîýòèíåðàâåíñòâà,àòàêæåðàâåíñòâî a 1 b 1 + ... + a n b n = S , 28 Íàïðèìåð,îíàèñïîëüçóåòñÿâîáîñíîâàíèèêîððåêòíîñòèàëãîðèòìàÕàôôìåíà íàõîæäåíèÿïðåôèêñíîãîàëôàâèòíîãîêîäàñìèíèìàëüíîéñðåäíåéäëèíîéêîäîâîãî ñëîâà. 54 13. Öåíòðûìàññèíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà ãðóïïèðóÿâìåñòåïîäõîäÿùèåñëàãàåìûåèâûíîñÿçàñêîáêèîáùèå ìíîæèòåëè,ïîëó÷èì a 1 ( b 1 + ... + b n ) + a 2 ( b 1 + ... + b n ) + ... + a n ( b 1 + ... + b n ) ¶ nS , è,ñëåäîâàòåëüíî, ( a 1 + ... + a n )( b 1 + ... + b n ) ¶ nS = n ( a 1 b 1 + ... + a n b n ). Ðàâåíñòâîäîñòèãàåòñÿ,êîãäàâñåñêëàäûâàåìûåíåðàâåíñòâàïðåâðà- ùàþòñÿâðàâåíñòâî,ò.å.êîãäàîäèíèçíàáîðîâñîñòîèòèçîäèíàêî- âûõ÷èñåë. Òðåòüåäîêàçàòåëüñòâî 29 (ñàìîåêîðîòêîå)îñíîâàíîíàëîâêîì èñïîëüçîâàíèèêðàñèâîãî(èíåî÷åâèäíîãî)òîæäåñòâà n ( a 1 b 1 + ... + a n b n ) � ( a 1 + ... + a n )( b 1 + ... + b n ) = = ( n � 1)( a 1 b 1 + ... + a n b n ) � X 1 ¶ i j ¶ n ( a i b j + a j b i ) = X 1 ¶ i j ¶ n ( a i � a j )( b i � b j ). Î÷åâèäíî,÷òîåñëèíàáîðû f a i g è f b i g îäèíàêîâîóïîðÿäî÷åíû,òî âñåãäà ( a i � a j )( b i � b j ) ¾ 0 ,òàêêàê ( a i � a j ),( b i � b j ) îäíîãîçíàêà, ïîýòîìóèèõñóììàíåîòðèöàòåëüíà,÷òîâìåñòåñóêàçàííûìòîæ- äåñòâîìäîêàçûâàåòíåðàâåíñòâîâïåðâîìñëó÷àå.Âîâòîðîìñëó÷àå (ïðèïðîòèâîïîëîæíûõóïîðÿäî÷åíèÿõ) ( a i � a j ),( b i � b j ) ðàçíûõ çíàêîâ,ïîýòîìó ( a i � a j )( b i � b j ) ¶ 0 ,âñÿñóììàíåïîëîæèòåëüíà èíåðàâåíñòâîòàêæåäîêàçàíî. Íåðàâåíñòâî×åáûø¼âàèìååòðàçíîîáðàçíûåîáîáùåíèÿ,íàïðè- ìåð,äëÿîäèíàêîâîóïîðÿäî÷åííûõíàáîðîâ f a i g è f b i g èíåîòðèöà- òåëüíûõ  i ,ñóììàêîòîðûõðàâíà 1 ,ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâî ( a 1  1 + ... + a n  n )( b 1  1 + ... + b n  n ) ¶ a 1 b 1  1 + ... + a n b n  n . Îíîïðåâðàùàåòñÿâîáû÷íîåíåðàâåíñòâîïðèâûáîðå  i ,ðàâíûõ äðóãäðóãó.Äîêàçàòåëüñòâî(ñèñïîëüçîâàíèåìöåíòðîâìàññ)ìîæíî íàéòè,íàïðèìåð,âêíèãå[3](îíîïîäîáíîïðèâåäåííîìóâûøå). Íåðàâåíñòâî×åáûø¼âàèìååòèíòåãðàëüíûåàíàëîãè(óêàçàííûå ñàìèì×åáûø¼âûì),âêîòîðûõñóììûçàìåíåíûíàñîîòâåòñòâó- þùèåèíòåãðàëû.Ïðèâåäåííîåòðåòüåäîêàçàòåëüñòâî,êïðèìåðó, ìîæíîïðåâðàòèòüèâäîêàçàòåëüñòâîèíòåãðàëüíîãîíåðàâåíñòâà ×åáûø¼âà 30 . 29 Ïðèíàäëåæàùååó÷åíèêó×åáûø¼âàÀ.Í.Êîðêèíó. 30 ÀìåðèêàíñêèéìàòåìàòèêÔ.Ôðàíêëèíïðåäëîæèëåãîñðàçóââàðèàíòåñèíòå- ãðàëàìè,âïðî÷åì,íàíåñêîëüêîëåòïîçæåÀ.Í.Êîðêèíà. 13. Öåíòðûìàññèíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà 55 Êðîìåìåõàíè÷åñêîéèíòåðïðåòàöèèèçâåñòíàòàêæåãåîìåòðè- ÷åñêàÿèíòåðïðåòàöèÿíåðàâåíñòâà×åáûø¼âà.×òîáûååïîëó÷èòü, îòëîæèìíàñòîðîíàõïðÿìîãîóãëàîòåãîâåðøèíûîòðåçêèäëèíû a 1 ¶ a 2 ... ¶ a n íàîäíîéñòîðîíåèîòðåçêèäëèíû b 1 ¶ b 2 ... ¶ b n íàäðóãîé(âñåîòðåçêèíà÷èíàþòñÿââåðøèíåóãëà).Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèêè,îáðàçîâàííûåîòðåçêàìè a i , b i ,èòðåóãîëüíèê,îáðà- çîâàííûéîòðåçêàìèäëèíû a 1 + ... + a n n , b 1 + ... + b n n (ñðåäíèìèçíà÷åíèÿìèäëèíóêàçàííûõîòðåçêîâ).Òîãäàïëîùàäü ïîñëåäíåãîòðåóãîëüíèêàíåáîëüøåñðåäíåãîàðèôìåòè÷åñêîãîïëî- ùàäåéîñòàëüíûõ n òðåóãîëüíèêîâ. Íåðàâåíñòâî×åáûø¼âàèìååòìíîãîïîëåçíûõñëåäñòâèé.Íàïðè- ìåð,âñëó÷àåîäèíàêîâîóïîðÿäî÷åííûõèïîëîæèòåëüíûõ÷èñåë a i , b i , c i äâóêðàòíîåïðèìåíåíèåíåðàâåíñòâà×åáûø¼âàäàåòñëåäóþùåå åãîîáîáùåíèå: ( a 1  1 + ... + a n  n )( b 1  1 + ... + b n  n )( c 1  1 + ... + c n  n ) ¶ ¶ ( a 1 b 1  1 + ... + a n b n  n )( c 1  1 + ... + c n  n ) ¶ ¶ a 1 b 1 c 1  1 + ... + a n b n c n  n , êîòîðîåèäàëüøåìîæíîîáîáùàòüâòîìæåäóõå. Ïðèâåäåìäëÿïðèìåðàíåñêîëüêîçàäà÷,âðåøåíèèêîòîðûõïî- ëåçíîèñïîëüçîâàòüíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà. Çàäà÷à62. Ïóñòü x i � 0 , 0 y 1 ¶ y 2 ¶ ... ¶ y n èïîñëåäîâàòåëüíîñòü äðîáåé r i = x i = y i òàêæåâîçðàñòàåò.Äîêàæèòå,÷òî r 1 + ... + r n n ¶ x 1 + ... + x n y 1 + ... + y n . Åñëèæåïîñëåäîâàòåëüíîñòü r i óáûâàåò,òî r 1 + ... + r n n ¾ x 1 + ... + x n y 1 + ... + y n . Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòåíåðàâåíñòâî×åáûø¼âàïðè a i = r i , b i = y i , i = 1, ... , n . Çàäà÷à63. Äîêàæèòåíåðàâåíñòâîìåæäóñðåäíèìàðèôìåòè÷å- ñêèìèñðåäíèìãàðìîíè÷åñêèìïîëîæèòåëüíûõ÷èñåë: a 1 + ... + a n n ¾ n 1 a 1 + ... + 1 a n . 56 13. Öåíòðûìàññèíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà Óêàçàíèå. Ïåðåïèøèòåíåðàâåíñòâîââèäå ( a 1 + ... + a n ) € 1 a 1 + ... + 1 a n Š ¾ n 2 èïðèìåíèòåíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà. Çàäà÷à64. Äîêàæèòåäëÿïîëîæèòåëüíûõ÷èñåëíåðàâåíñòâî ( a 1 ... a n ) ( a 1 + ... + a n ) = n ¶ a a 1 1 ... a a n n . Óêàçàíèå. Ïðîëîãàðèôìèðóéòåíåðàâåíñòâîèïðèìåíèòåíåðà- âåíñòâî×åáûø¼âà. Çàäà÷à65 (èçêíèãèÏîëèàèÑåã  å¾Çàäà÷èèòåîðåìûèçàíà- ëèçà¿). Âòðåóãîëüíèêåñîñòîðîíàìè a , b , c èïðîòèâîëåæàùèìè óãëàìè A , B , C (èçìåðåííûìèâðàäèàíàõ)ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâî aA + bB + cC a + b + c ¾  3 . Ðàâåíñòâîâåðíîòîëüêîäëÿïðàâèëüíîãîòðåóãîëüíèêà. Ðåøåíèå. Áåçîãðàíè÷åíèÿîáùíîñòèìîæíîñ÷èòàòü,÷òî 0 a ¶ ¶ b ¶ c .Òîãäà 0 A ¶ B ¶ C , A + B + C =  èñîãëàñíîíåðàâåíñòâó ×åáûø¼âà  ( a + b + c ) = ( A + B + C )( a + b + c ) ¶ 3( aA + bB + cC ). Ðàâåíñòâîâåðíî,òîëüêîêîãäà a = b = c èëè A = B = C ,÷òîâîçìîæíî òîëüêîäëÿïðàâèëüíîãîòðåóãîëüíèêà. Çàäà÷à66. Âîáîçíà÷åíèÿõçàäà÷è65äîêàæèòåíåðàâåíñòâî a cos A + b cos B + c cos C a + b + c ¶ 1 2 . Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòåíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà(äëÿïðîòèâîïî- ëîæíîóïîðÿäî÷åííûõíàáîðîâ)èäîêàæèòå,÷òî a cos A + b cos B + c cos C ¶ a + b + c 3 (cos A + cos B + cos C ). Îñòàåòñÿäîêàçàòü,÷òî cos A + cos B + cos C ¶ 3 = 2 .Äëÿäîêàçàòåëü- ñòâàïðîâåäèòåèçöåíòðàâïèñàííîãîâòðåóãîëüíèêêðóãàâåêòîðû e i âòî÷êèêàñàíèÿ.Òàêêàêñêàëÿðíûéêâàäðàòñóììû e 1 + e 2 + e 3 íåîòðèöàòåëåí,ïîëó÷àåì,÷òî ( e 1 + e 2 + e 3 ) 2 = e 2 1 + e 2 2 + e 2 3 + 2 � ( e 1 , e 2 ) + ( e 2 , e 3 ) + ( e 1 , e 3 )  = = 3 r 2 � 2 r 2 (cos A + cos B + cos C ) ¾ 0. 13. Öåíòðûìàññèíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà 57 Çàäà÷à67 (Ìîñêîâñêàÿìàòåìàòè÷åñêàÿîëèìïèàäà1982ã.). Äî- êàæèòåäëÿñòîðîíïðîèçâîëüíîãîòðåóãîëüíèêàíåðàâåíñòâî 2( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) � a 4 � b 4 � c 4 ¶ ( a + b + c ) abc . Óêàçàíèå. Ïîäñòàâüòåâíåðàâåíñòâîèççàäà÷è66âûðàæåíèÿäëÿ êîñèíóñîâïîôîðìóëàìòåîðåìûêîñèíóñîâ cos A = c 2 + b 2 � a 2 2 bc èò.ä.èâîñïîëüçóéòåñüðàâåíñòâîì a c 2 + b 2 � a 2 2 bc + b a 2 + c 2 � b 2 2 ac + c a 2 + b 2 � c 2 2 ab = 2( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) � a 4 � b 4 � c 4 2 abc . Çàäà÷à68. Âîáîçíà÷åíèÿõçàäà÷è65äîêàæèòåíåðàâåíñòâî a cos A 2 + b cos B 2 + c cos C 2 a + b + c ¶ r 3 2 . Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòåíåðàâåíñòâî×åáûø¼âàèïîòîìíåðàâåíñòâî cos A 2 + cos B 2 + cos C 2 ¶ 3 r 3 2 (îíîñëåäóåò,íàïðèìåð,èçâûïóêëîñòèêîñèíóñàíàîòðåçêå [0, = 2] ). Çàäà÷à69. Âîáîçíà÷åíèÿõçàäà÷è65äîêàæèòåíåðàâåíñòâî a tg A 2 + b tg B 2 + c tg C 2 a + b + c ¾ 1 p 3 . Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòåíåðàâåíñòâî×åáûø¼âàèïîòîìíåðàâåíñòâî tg A 2 + tg B 2 + tg C 2 ¾ p 3 (îíîñëåäóåò,íàïðèìåð,èçâûïóêëîñòèòàíãåíñàíàîòðåçêå [0, = 2] ). Çàäà÷à70. Âîáîçíà÷åíèÿõçàäà÷è65äîêàæèòåäëÿîñòðîóãîëü- íîãîòðåóãîëüíèêàíåðàâåíñòâî a tg A + b tg B + c tg C a + b + c ¾ p 3. Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòåíåðàâåíñòâî×åáûø¼âàèïîòîìíåðàâåíñòâî tg A + tg B + tg C ¾ 3 p 3 (îíîñëåäóåò,íàïðèìåð,èçâûïóêëîñòèòàíãåíñàíàîòðåçêå [0, = 2] ). 58 14. Öåíòðûìàññ,ìîìåíòûèíåðöèèèòåîðèÿâåðîÿòíîñòåé Ìíîãîäðóãèõçàäà÷íàïðèìåíåíèåíåðàâåíñòâà×åáûø¼âàìîæ- íîíàéòèâñòàòüå[15].Íàïðèìåð,ìîæíîèçíåãîâûâåñòèíåðàâåí- ñòâîìåæäóñðåäíèìàðèôìåòè÷åñêèìèñðåäíèìãåîìåòðè÷åñêèì, íåðàâåíñòâîìåæäóñðåäíèìàðèôìåòè÷åñêèìèñðåäíèìêâàäðàòè÷- íûì,íåðàâåíñòâîÊîøèÁóíÿêîâñêîãîèäð. 14.Öåíòðûìàññ,ìîìåíòûèíåðöèè èòåîðèÿâåðîÿòíîñòåé Ï.Ë.×åáûø¼âèåãîçíàìåíèòûéó÷åíèêÀ.À.Ìàðêîâìíîãîçà- íèìàëèñüçàäà÷àìèîïðåäåëüíûõçíà÷åíèÿõèíòåãðàëîâ,êîòîðûå îíèÿâíîôîðìóëèðîâàëèâòåðìèíàõðàñïðåäåëåíèéìàññíàäàííîì îòðåçêåèìîìåíòîâýòèõðàñïðåäåëåíèé.À.À.Ìàðêîââïèñüìåêçíà- ìåíèòîìóôðàíöóçñêîìóìàòåìàòèêóØàðëþÝðìèòóñôîðìóëèðîâàë îäíóèçòàêèõçàäà÷ñëåäóþùèìîáðàçîì.Òðåáóåòñÿíàäàííîìîòðåç- êå [0, l ] ðàñïðåäåëèòüäàííóþìàññóòàêèìîáðàçîì,÷òîáûååöåíòð ìàññíàõîäèëñÿâçàäàííîéòî÷êå,ìîìåíòèíåðöèèîòíîñèòåëüíî íóëÿòîæåáûëçàäàí,ìîìåíòòðåòüåãîïîðÿäêà,ò.å.ñóììà m i x 3 i , ãäå x i êîîðäèíàòàòî÷êè,âêîòîðîéíàõîäèòñÿìàññà m i ,òàêæåáûë çàäàí,èò.ä.âñåìîìåíòûâïëîòüäîíåêîòîðîãî n - ãîïîðÿäêàçàäàíû, àìàññà,ïîïàâøàÿâçàäàííûéîòðåçîê [ a , b ] (ò.å.ñóììàâñåõ m i ïðè x i 2 [ a , b ] ),áûëàáûìàêñèìàëüíà(èëèìèíèìàëüíà).Ìàðêîâ ñóùåñòâåííîïðîäâèíóëñÿâðåøåíèèïîäîáíûõçàäà÷,ïîñòàâëåííûõ ×åáûø¼âûì,èïîäîáíàÿòåìàòèêàïðîäîëæàëààêòèâíîðàçâèâàòüñÿ èâXXâåêåïîäíàçâàíèåìòåîðèèìîìåíòîâ. ×åáûø¼âèÌàðêîâïðèøëèêýòèìçàäà÷àìâñâÿçèñíåêîòîðûìè ïðèêëàäíûìèâîïðîñàìè,âòîì÷èñëåèñâÿçàííûìèñòåîðèåéâåðî- ÿòíîñòåé.Êàêýòîíèñòðàííîíàïåðâûéâçãëÿä,íîíåêîòîðûåïîíÿ- òèÿòåîðèèâåðîÿòíîñòåéâîïðåäåëåííîìñìûñëåàíàëîãè÷íûïîíÿ- òèÿìöåíòðàìàññèìîìåíòàèíåðöèè.Äåéñòâèòåëüíî,åñëèïðåäïî- ëîæèòü,÷òîìàññû m i ñîñðåäîòî÷åíûâòî÷êàõïðÿìîéñêîîðäèíàòà- ìè x i èèõñóììà m 1 + ... + m n = 1 ,òîïîñëåñìåíûîáîçíà÷åíèé m i íà p i (êàêïðèíÿòîâòåîðèèâåðîÿòíîñòè)ôîðìóëàäëÿöåíòðàìàññ m 1 x 1 + ... + m n x n ïðåâðàùàåòñÿâôîðìóëóäëÿìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíû  ,ïðèíèìàþùåéçíà÷åíèÿ x i ñâåðîÿòíîñòÿìè p i : M  = p 1 x 1 + ... + p n x n . 14. Öåíòðûìàññ,ìîìåíòûèíåðöèèèòåîðèÿâåðîÿòíîñòåé 59 Àôîðìóëàäëÿìîìåíòàèíåðöèèîòíîñèòåëüíîòî÷êè x ïðåâðàùàåò- ñÿâôîðìóëóäëÿìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿñëó÷àéíîéâåëè÷èíû (  � x ) 2 : M (  � x ) 2 = p 1 ( x 1 � x ) 2 + ... + p n ( x n � x ) 2 . Ïðèâûáîðå x = M  ýòàôîðìóëàïðåâðàùàåòñÿâôîðìóëóäëÿäèñ- ïåðñèèñëó÷àéíîéâåëè÷èíû  : D  = M (  � M  ) 2 . ÔîðìóëàËàãðàíæà,ñâÿçûâàþùàÿìîìåíòèíåðöèèîòíîñèòåëüíî íóëÿèìîìåíòèíåðöèèîòíîñèòåëüíîöåíòðàìàññ,ïðåâðàùàåòñÿ âêëàññè÷åñêóþôîðìóëóäëÿâû÷èñëåíèÿäèñïåðñèè(òàêêàêñóììà ìàññðàâíà 1 ): D  = M (  � M  ) 2 = M  2 � ( M  ) 2 . ÀôîðìóëàËàãðàíæàÏóàíñîßêîáèäëÿìîìåíòàèíåðöèèîòíî- ñèòåëüíîöåíòðàìàññïðåâðàùàåòñÿâåùåîäíóôîðìóëóäëÿâû÷èñ- ëåíèÿäèñïåðñèè: D  = X 1 ¶ i j ¶ n p i p j ( x i � x j ) 2 . Ýòàôîðìóëàèíòåðåñíàòåì,÷òîâíåéíåèñïîëüçóåòñÿâåëè÷èíà ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ M  ,íîäëÿâû÷èñëåíèéîíàìåíååóäîá- íà,òàêêàêòðåáóåòïîðÿäêà n 2 àðèôìåòè÷åñêèõîïåðàöèé,àïåðâàÿ ôîðìóëàòîëüêîëèøüïîðÿäêà n îïåðàöèé. Ëèòåðàòóðà [1] ÌàõÝ. Ìåõàíèêà.Ì.:URSS,2011. [2] ÆóêîâñêèéÍ.Å. Òåîðåòè÷åñêàÿìåõàíèêà.Ì.:URSS,2011. [3] ÁàëêÌ.Á.,ÁîëòÿíñêèéÂ.Ã. Ãåîìåòðèÿìàññ.Ì.:Íàóêà,1981.(Áèáëèî- òå÷êàÊâàíòà;Âûï.61). [4] ÊîêñòåðÃ.Ñ.Ì. Ââåäåíèåâãåîìåòðèþ.Ì.:Ìèð,1966. [5] ÄâîðÿíèíîâÑ.Â.,ÊðàóòåðÇ. ×åìöåíòðòÿæåñòèòðåóãîëüíèêàîòëè÷à- åòñÿîòöåíòðàòÿæåñòè÷åòûðåõóãîëüíèêà//Ìàòåìàòè÷åñêîåîáðàçî- âàíèå.2012.Ò.1,61.Ñ.1019. [6] ÊîêñòåðÃ.Ñ.Ì.,ÃðåéòöåðÑ.Ë. Íîâûåâñòðå÷èñãåîìåòðèåé.Ì.:Ìèð, 1978. [7] ÃàøêîâÑ.Á.,×óáàðèêîâÂ.Í. Àðèôìåòèêà.Àëãîðèòìû.Ñëîæíîñòüâû- ÷èñëåíèé.Ì.:Äðîôà,2005. [8] ÃàøêîâÑ.Á. Ãåîìåòðè÷åñêèåíåðàâåíñòâà.Ì.:Ëèáðîêîì,2014. [9] ÃàøêîâÑ.Á. Ñîâðåìåííàÿýëåìåíòàðíàÿàëãåáðà.Ì.:ÌÖÍÌÎ,2006. [10] ÌÿêèøåâÀ.Ã. Ýëåìåíòûãåîìåòðèèòðåóãîëüíèêà.Ì.:ÌÖÍÌÎ,2009. [11] Ïîíàðèíß.Ï. Ýëåìåíòàðíàÿãåîìåòðèÿ.Ò.3.Ì.:ÌÖÍÌÎ,2009. [12] ÓñïåíñêèéÂ.À. Íåêîòîðûåïðèìåíåíèÿìåõàíèêèêìàòåìàòèêå.Ì.: Ôèçìàòãèç,1958.(Ïîïóëÿðíûåëåêöèèïîìàòåìàòèêå;Âûï.27). [13] ÊîãàíÁ.Þ. Ïðèëîæåíèåìåõàíèêèêãåîìåòðèè.Ì.:Íàóêà,1965.(Ïî- ïóëÿðíûåëåêöèèïîìàòåìàòèêå;Âûï.41). [14] ØòåéíãàóçÃ. Ìàòåìàòè÷åñêèéêàëåéäîñêîï.Ì.:Íàóêà,1981. [15] ÕðàáðîâÀ. Íåðàâåíñòâî×åáûø¼âà//Çàäà÷èÑàíêò - Ïåòåðáóðãñêîéîëèì- ïèàäûøêîëüíèêîâïîìàòåìàòèêå2011ã.Ñ.104126. Îãëàâëåíèå 1. Öåíòðûòÿæåñòèïëîñêèõôèãóðèïëàíèìåòðèÿ .............. 3 2. Öåíòðûòÿæåñòèèâåêòîðíàÿàëãåáðà ..................... 5 3. Öåíòðîèä÷åòûðåõóãîëüíèêàèïàðàëëåëîãðàììÂàðèíüîíà ...... 11 4. Êàêíàéòèöåíòðûòÿæåñòèòðåóãîëüíèêàèìíîãîóãîëüíèêîâ .... 13 5. Öåíòðòÿæåñòèïåðèìåòðàòðåóãîëüíèêà ................... 16 6. Öåíòðìàññ÷åòûðåõóãîëüíèêàèïàðàëëåëîãðàììÂèòòåíáàóýðà ... 19 7. Öåíòðòÿæåñòèòðàïåöèè ............................... 24 8. Öåíòðîèäòåòðàýäðà .................................. 27 9. Öåíòðìàññïîâåðõíîñòèòåòðàýäðà ....................... 29 10. Áûñòðîåïîñòðîåíèåöåíòðàìàññêîíå÷íîéñèñòåìûòî÷åê ...... 38 11. Áûñòðîåïîñòðîåíèåöåíòðàìàññìíîãîóãîëüíèêà ............ 41 12. Åùåíåêîòîðûåïðèëîæåíèÿìåõàíèêèêãåîìåòðèè ........... 43 13. Öåíòðûìàññèíåðàâåíñòâî×åáûø¼âà ..................... 51 14. Öåíòðûìàññ,ìîìåíòûèíåðöèèèòåîðèÿâåðîÿòíîñòåé ........ 58 Ëèòåðàòóðà ........................................... 60 ÃàøêîâÑåðãåéÁîðèñîâè÷ Öåíòðûòÿæåñòèèãåîìåòðèÿ Ïîäïèñàíîâïå÷àòü29.05.2015ã.Ôîðìàò 60  90 1 = 16 .Áóìàãàîôñåòíàÿ. Ïå÷àòüîôñåòíàÿ.Ïå÷.ë.4.Òèðàæ1000ýêç.Çàêàç ÈçäàòåëüñòâîÌîñêîâñêîãîöåíòðà íåïðåðûâíîãîìàòåìàòè÷åñêîãîîáðàçîâàíèÿ 119002,Ìîñêâà,ÁîëüøîéÂëàñüåâñêèéïåð.,11.Òåë.(499)2417483. Îòïå÷àòàíîâÏÏϾÒèïîãðàôèÿ½Íàóêà¿. 121099,Ìîñêâà,Øóáèíñêèéïåð.,6. ÊíèãèèçäàòåëüñòâàÌÖÍÌÎìîæíîïðèîáðåñòè âìàãàçèíå¾Ìàòåìàòè÷åñêàÿêíèãà¿, Ìîñêâà,ÁîëüøîéÂëàñüåâñêèéïåð.,11.Òåë.(499)2417285. E-mail: [email protected] ,http://biblio.mccme.ru

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